数——科学的语言

——“数字与信息”教学实录及评析

贲友林：江苏省南京师范大学附属小学

课堂实录

一、导入课题，了解数的编码功能

（屏幕出示：）

师：认识吗？看到1，你想到了什么？

生：1个苹果。

生：我想到比赛第1名。

生：我想到了1张桌子。

师：1个苹果、1张桌子，这里的“1”表示什么？

生：数量。

（教师板书：数量）

师：大家的发言比较积极，感谢第1位发言的同学！刚才有同学说，想到比赛第1名，这里的“1”，以及“第1位发言”中的“1”，表示什么？

生：次序。

生：顺序。

（教师板书：顺序）

（继续出示：）

师：这是10，它可以表示数量吗？可以表示顺序吗？举例说说。

生：10个梨，“10”表示数量。

生：第10名，“10”表示顺序。

（继续出示：）

师：你又想到了什么？

生：110个苹果，“110”表示数量；第110名，“110”表示顺序。

生：我想到了警车。

生：报警电话。

师：110，是一个数，可换个角度看，1，1，0这三个数字的组合，传递给我们的信息是一个特殊的电话号码。我们通常怎么读？（学生回答）它还表示数量或顺序吗？（学生摇头）这是把三个数字进行编码。

（教师板书：编码）

师：数字组成数，可以用来表示数量、顺序，表达信息；数字通过编码，也表达了一定的信息。这就是今天我们要一起探讨的内容。

（教师板书课题：数字与信息）

二、初步了解编码规则

（屏幕出示的“110”变为“011”）

师：如果看到三个数字这样组合，你有什么想法？

生：我觉得这是一个编码，因为它把0放在了第一位。一般把0放在第一位的，都是编码。

生：我们以前写数时，0不能放在首位。

生：好像在哪儿见过这个编码。

师：你们在哪儿见过？

生：我在缆车上见到过。

生：我玩的神奇宝贝卡片上有。

生：我在运动员的衣服上见过。

（屏幕出示一位穿着011号球服的运动员的图片）

师：这位运动员的编号是什么？

生：011。

师：编号时，可以用0开头。为什么要以0开头呢？

生：这由运动员的人数而决定。因为运动员的人数是三位数，所以要用三个数字来编码；如果运动员的人数是两位数，那只要两个数字。

师：从他的发言中，我们能感受到“011”这个数字编码表达了什么信息？猜一猜，这场运动会的运动员人数是哪一种情况？

（屏幕出示：①几十人；②几百人；③几千人；④几万人）

（学生选择答案②）

师：如果这场运动会有几千人参加，刚才这位运动员的编码是什么？

生：0011。

师：与以往我们学习的认数、写数不同，编码可以用0开头。同一组编码，所用数字的个数，也就是编码的位数应该相同。

三、研究身份证号码，领会编码信息

师：其实，我们每个人都有编号，你知道是什么吗？

生：身份证号码。

师：你知道我国公民的身份证号码是多少位数吗？

生：18位。

师：有17位、19位的吗？课前，我们每位同学已经调查了自己家庭成员的身份证号码。现在，请你把这些号码抄写在课前发的纸上，检验一下是否都是18位？

（学生在下面的格子中抄写）

师：通过抄写，大家发现身份证号码都是18位数的吗？

生：我爸爸是军人，他用的是军官证，军官证号码不是18位数。

生：我的身份证号码是18位，但是我父母的身份证号码是15位。

生：我的身份证号码是18位，我的爸爸妈妈的身份证号码也是18位。

师：身份证号码有18位的，也有15位的，还有不同的吗？

生：我和我妈妈的身份证号码是18位，我爸爸的身份证号码是17位，最后是一个“Ⅹ”。

师：这是怎么回事？等会儿我们再探讨这个问题。对身份证号码，你知道多少？身份证号码中的数字，表达了哪些信息呢？请大家前后4人为一个小组先进行交流。

（学生开展小组活动，交流各自了解的身份证号码所表达的信息）

（这是一节公开课，在学生交流的同时，屏幕出示这些文字呈现给听课老师——友情提醒：今天我们借助身份证号码研究一些数学问题，身份证号码系个人隐私，请各位老师不要记录学生出示的身份证号码，谢谢。）

（教师展示一位学生抄写的全家三人的身份证号码，隐去身份证号码前注明人物身份的内容。）

师：大家在小组里交流了很多内容，我们已经感受到，从身份证号码中，我们可以获得关于个人的许多信息。这是我们班一位同学和他的爸爸、妈妈的身份证号码，你能猜出哪个是孩子的身份证号码吗？

生：我一看就知道第一个号码是我们班同学的身份证号码，因为身份证号码中第7位到倒数第5位表示的是她的出生年月日。

师：身份证号码中的数字表达了出生日期的信息。你能到讲台上来一边圈注一边介绍她们全家三人的出生日期吗？

（刚才发言的学生来到讲台上，一边用笔在身份证号码的几个数字下面画线，一边介绍：第一个人的出生日期是1998年4月24日，这就是我们班这位同学的出生日期；第二个人的出生日期是1970年4月10日；第三个人的出生日期是1966年4月30日。他说完后，教师请提供这几个身份证号码的同学确认他说的是否正确。）

师：从他的发言中，我们知道了身份证号码中间的8个数字所传达的信息是出生年月日。请大家看一看自己抄写的父母的身份证号码，说一说爸爸、妈妈的生日。记住爸爸、妈妈的生日，他们会很感动的。

（学生边看父母的身份证号码边口述父母的出生日期）

师：请大家继续看展示的这三个身份证号码，你还知道什么？

生：我知道最前面的两个数字代表的是哪一个省，“32”代表的是江苏省；后面的两个数字代表的是持有人所属的市，“01”是南京市；之后的“02”代表的是所属的区。最后的4个数字表示什么信息，我也不知道。

生：我发现他们身份证号码的第5位和第6位是不完全一样的。他的爸爸、妈妈中有一个人和孩子是同一个区的，都是“02”；还有一个人是另一个区的，是“03”。

生：根据发言，我猜测，他们三个人不是住在一个区内。

（学生都笑了起来）

师：他的发言谈到“猜”，其实他所说的“猜”，在这里是指观察、比较、分析和推理。大家说是吗？

（学生纷纷点头）

师：从几位同学的发言中，我们知道了身份证号码的前6位数字所表达的信息与什么有关？

生：地址。

师：后4位数字表达的信息，你认为又应该与什么有关呢？

生：我认为最后的4位数字跟怎么区分这个人有关。

师：那我们展示的这三个身份证号码，你能猜出哪一个是爸爸的，哪一个是妈妈的吗？

生：我觉得第三个身份证号码是爸爸的，他是1966年出生的，妈妈是1970年出生的，爸爸要比妈妈大。

生：妈妈也可以比爸爸大。

师：呵呵，这样的想法很有趣。看来，从我们目前知道的身份证号码的数字所表达的信息，还不能解决这个问题。其实，我原先对身份证号码的数字所表达的信息也有些不清楚，于是我请教了一位警察。我们一起听听她对身份证号码的介绍，好吗？

（播放录音：我国现行居民身份证是全国统一编号的，由18位数字组成，每个公民一个号，做到不重、不漏、不错。

身份证号码中，第1～6位数为行政区划代码，行政区划指公民第一次申领身份证时常住户口所在地；第7～14位数为出生年月日代码；第15～18位数为顺序码、校验码，其中第17位数，奇数分配给男性，偶数分配给女性。校验码是按一定算法计算出来的。如果您的身份证校验码是10，就用罗马数字“Ⅹ”来代替。）

随着介绍，屏幕依次呈现：

师：这段介绍，澄清了我们的一些认识。能具体说说，你又知道了什么？

生：我知道了，第二个身份证号码是妈妈的，因为它的倒数第2个数是偶数；第三个身份证号码是爸爸的，因为它的倒数第2个数是奇数。

师：身份证号码中正数第17个数字，表达了关于性别的信息。

（教师展示身份证号码前注明人物身份的内容，验证刚才同学的发言）

生：前面有同学说身份证号码是17位，末一位是“Ⅹ”，现在我知道了，这末位是罗马数字，表示10的意思，写法和字母“X”一样。

师：身份证号码的末位为什么要用罗马数字来表示呢？为什么不用阿拉伯数字表示10呢？

生：这样身份证号码就有19位了。

生：我有一个问题，那10以后的数是不是都用“Ⅹ”来写呢？

师：最后一位校验码是按照一定的算法算出来的，只可能是0～10中的一个数。明白了吗？

生：那为什么不换一种算法，使算出来的校验码是0～9中的一个数呢？

师：你的想法有意思！

生：我有个问题，我抄写的这一个身份证号码是我爸爸的，可怎么倒数第2位数字是偶数0呢？

该学生的同桌（看了一下他抄写的身份证号码）：他爸爸的身份证号码是15位的。

师：在这之前，也有同学说到身份证号码有15位的，你知道身份证号码为什么会有15位的吗？15位身份证号码与18位身份证号码有什么不同呢？

生：我知道15位身份证号码比18位身份证号码少出生年份的前两个数字，也就是没有1，9，还少最后一位，也就是没有校验码，所以只有15位。

（在学生回答的过程中，课件展示身份证号码从15位到18位的演变过程）

师：谢谢你的回答！大家再想一想，身份证号码为什么要从15位升至18位？

生：为什么要有校验码，我不知道。但我知道，在没有进入21世纪时，大家都是一九几几年出生的，这样就可以不用“1”和“9”表示出生年份；进入21世纪，如果不用“2”和“0”，那么2001年出生的人，就可能被当作1901年出生的。

师：大家听明白他的意思了吗？关于校验码，主要是身份证防伪用的。身份证号码从15位升至18位，是因为表达的信息要准确，编号不重、不漏、不错。

四、开展编码活动，初步掌握编码方法

师：正如刚才录音所介绍的，全国十几亿人，使用了18个数字作为身份证号码来编码，就保证了一人一号。如果给我们南京师范大学附属小学的一千多名学生编码，你觉得可以怎样编？表达哪些信息？需要几个数字？请每位同学先独立思考，再在小组里交流，过一会儿我们全班交流。

（学生活动）

师：哪个小组先来展示你们设计的编码？

生（一个小组的学生代表）：我们认为只要用四个数字就行了。前两个数字用“52”，表示五年级2班，我们班有47人，而我的学号是37号，就在“52”后面写“37”。我的编号是5237。

生：我觉得如果这样编码，那么等到了六年级，他的编码又要改为6237，这样每年都要改，麻烦。我想从一年级1班的第一位同学开始编码，第一位同学编为0001，直到一千多，这样每人一个号码，即使就读的年级变了，编码也可以不变。

生：我不同意这样编，你这样编码，数字反映的信息太少了。

生（一位学生到讲台上板演，边板演边讲解）：我们小组认为可以用五个数字来编码。前两个数字表示入学的年份，如我们是2004年入学的，前两个数字就用“04”；接下来的一位数字表示班级，如我们在2班，就写“2”；最后两个数字是各人的学号。

生：我认为这样编，还少了年级的信息。

生：这里面有年级的信息。例如，在2004年的时候，我们在一年级；在2005年的时候，我们在二年级；今年2009年，我们在五年级。

师：我听明白你的解释了。这样的编码，在小学六年，都不用更换了。根据这样的编码方案，我校三年级6班的一位同学，学号是3号，怎样编号？

（教师随着学生口答板书编号，在板书“066”时故意写成“0606”。有学生指出写错了。）

生：应该写成“066”。表示班级时只写“6”，不要写“06”。

师：为什么表示班级只用一个数字，不用两个数字呢？

生：因为我们学校每个年级只有6个班级，所以表示班级时，一个数字就够了。

（教师将板书的编号修改为“06603”，接着板书：03303）

师：从这个编号中，你获得的信息是什么？

生：他是2003年入学的，现读六年级，在六3班，在班上的学号是3号。

师（指着黑板上板演的“03303”“06604”“042□□”这几个编号中的第三个数字）：这里的“3”“6”“2”分别表达了什么信息？

生：3班、6班、2班。

师：对！不同的数字，表达了不同的信息。

师（指着“03303”）：这里的3个“3”分别表达了什么信息？

生：第一个“3”表示2003年，后一个“3”表示3班，最后一个“3”表示学号3。

师：我们发现，相同的数字，在不同的位置上，表达了不同的信息。请大家再想一想，我们这会儿编号，怎么没有像编身份证号码一样把反映市、区和出生年月日的信息都写进去呢？

生：因为我们都在同一个省同一个市，大多数同学是同一个区的。

生：我认为编号中不用反映这么多的信息。

师：看来，我们编号要根据不同范围和不同要求来进行，既要准确、唯一，又要简便。是这样吗？

五、编码在生活中的应用

师：你还知道生活中有哪些用数字编码表达信息的例子？

生：超市里的每件物品上都有不一样的条形码。

师（随机出示商品条形码的图片）：商品条形码，有“商品身份证”之称。

生：汽车的车牌号。

师（出示汽车车牌号图片）：观察汽车车牌号，你发现了什么？

生：在编码时用了文字、字母、数字。

生：我们旅游时住的宾馆，房间的门牌号是编码。

生：在图书馆，我看到每本图书上都有编号。

生：我们乘坐公交或地铁时用的月票卡，还有银行里的信用卡，都有卡号。

生：信封上的方框里要写的，是邮政编码。

（结合学生的回答，屏幕一一呈现相关图片）

师：编码在生活中随处可见。火车车次，飞机航班，股票代码，银行、公司、酒店职员的标牌……都使用了编码。

师：看了这些，你的感受是什么？

生：生活中，编码无处不在。

生：数和数字，能简明地表达信息。

师：我想起了英国坎特伯雷大主教凯里说过这样一段话，今天我们都成了号码，有银行户口号码、国家保险号码、信用卡号码、护照号码等等。没有号码，我们有时候就像不存在似的。

（教师用课件展示凯里所说的话，学生阅读）

师：哈哈，一不小心，我们都成了号码。不过，面对生活中的编码，我们需要解读它表达了哪些信息。通过今天这节课的探讨，我们对数字表达信息有了许多新的认识。在这节课结束时，再送给大家一句话——

（课件出示：数——科学的语言）

教学反思

设计、执教“数字与信息”，因为思考，我的认识在不断地提升。

电话号码、邮政编码、身份证号码、汽车车牌号、商品条形码等广泛存在于生活中，为学生所熟悉，可其中所蕴含的数学内容却又常常被忽略。实际上，当这些内容展现在学生面前时，正可以成为学生建构对“数学”的认识的契机。

数学，不应简单地等同于数学知识的汇集，而应被看成是人类的一种创造性智慧。数学研究和数学学习，是思想实验和“准实验”，需要研究者、学习者亲身实践和体验。通过开放性学习，使数学的可靠性建立在“数学共同体”的公共信念之上，有助于让学生获得共识。虽然小学生在能力方面与数学家、研究者相距甚远，但通过学习，他们理解数学、运用数学的能力会不断增强。数学学习是动态的、开放的数学活动。在数学学习活动中，我们要关注活动的结果，也要关注活动的过程。正如毕达哥拉斯所说：“在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。”在数学活动过程中，学生积累基本活动经验有其必要性与独特的价值。

从符号学的角度看，编码是一种符号行为。编码是在特定的符号对象领域里，应用某种编码规则把能指和所指结合起来，并在能指和所指的关系上体现符号的意指作用。在编码时，规则是至关重要的，没有规则便没有编码。规则，不是由教师直接授予的，而应当建立在共同体认同的基础之上。要让学生感受规则、领悟规则、设计规则，这决定了在教学“数字编码”这一内容时最好采用活动的形式，让学生在活动中学习和发展。

我们在头脑中要厘清的是，这次教学，不是就编码中的数学知识、方法简单地加以学习，而是让学生开展与数字编码有关的活动——解读编码现象、感受编码规则、参与编码设计。为什么教材中这一内容的标题是“数字与信息”，而不是“数字与编码”？我认为，编码，是反映、表达信息的方式与手段，通过编码可以建立数字与信息之间的联系，而要让学生理解这一过程，最好的方式就是让学生开展数学活动，让他们在活动中学习。于是在活动中我这样进行引导：“他的发言谈到‘猜’，其实他所说的‘猜’，在这里是指观察、比较、分析和推理。”其意图，正是基于灵活性教学的考虑，而这，也赋予课堂以生机。在给全校学生编码的活动过程中，我采用先在小组内交流再在全班交流的形式，让编码规则在完善过程中被大家理解、接纳。而对于“不同的数字，表达了不同的信息”“相同的数字，在不同的位置上，表达了不同的信息”等内容，我进行了合理引导，凸显出其中的数学内涵。数学教学中，以活动促进学生发展是很好的教学方法，活动的数学学科价值是不能丢失的。

在教学时，我由学生常见的电话号码入手，引出“数字编码，表达信息”这一活动的主题。学生以往对由数字组成的数的认识是它可以表示数量与顺序，如何将新课的学习与学生原有的认识联系起来？我指出，数字组成数，表示数量、顺序，表达了信息；数字可以编码，也可以表达一定的信息。于是，我在上课伊始，逐个呈现“1”“10”“110”“011”，让学生初步感受到数字不止具有表示数量和顺序两大功能，在引发认知冲突的基础上，引出本课课题。而这一过程，又使学生对数字功能的新认识悄然建立在已有的认知结构的基础上。关于教材中的“邮政编码”与“身份证号码”，我觉得它们传递的教学语言有雷同之处，现实生活中，邮政编码与身份证号码，距离学生生活更近的是后者，于是我舍邮政编码而用身份证号码完成相关的问题探讨。这是基于学生生活经验作出的对教材的自主处理。数学活动的设计，不应只注重其外在表现方式，而应注重其内在品质，要根据学科特点与学生年龄特点，设计真正处于学生“最近发展区”的活动，设计具有挑战性、激励性的活动，激发学生复杂的思维。一言概之，数学学习活动，既要为了学生，也要基于学生。

新课程标准提出要给予学生更多自主活动、实践活动、亲身体验的机会。但在实际数学教学中，一些教师只追求活动表面的热闹，设计的教学活动显得随意、散漫、肤浅，这往往使活动流于形式，对于这种倾向，我们必须予以关注。活动的目的、品质决定了活动的有效性。我们的教学目的应是以活动促进学生发展，所以活动要真正具有教育价值并适合于学生，活动要真正为学生的发展服务。

专家点评

苏霍姆林斯基曾说：“人的内心深处都有一种根深蒂固的需要——总想感到自己是发现者、研究者、探寻者。在儿童的精神世界中，这种需求特别强烈。但如果不向这种需求提供养料，即不积极接触事实和现象，缺乏认识的乐趣，这种需求就会逐渐消失，求知兴趣也与之一道熄灭。”在数学教学中如何满足学生“发现者”“研究者”“探寻者”的精神需要，如何引领学生在学习的过程中不断获得知识、能力、方法，不断拥有自主学习、自我探索与自由发现等综合素养的历练？贲老师为我们提供了值得学习和品味的教学实例。

1．抓知识联系，让学生领悟数学的内涵

贲老师首先引领学生从最熟悉的数字“1”开始走进课堂学习。“1”可能是什么？1个苹果、1张桌子……“1”代表的是数量，也可能是第1名、第1位……“1”代表的是顺序。这样的教学过程较好地凸显了以数字“1”为代表的数字的意义及其深刻的数学内涵。

接着，学习的内容由“1”变成“10”，变成“110”，在教师的精心设计中，“110”这个特殊的三位数打破了学生已有的认知，因为它不难引发，也必然引发学生联想到报警电话。显然，“110”的出现使编码成为学生学习与关注的新焦点。

1，10，110，011，这样一些学生常见的数字组合，在贲老师的数学课堂中变得十分有意义，相信在场的学生都会获得数学精神的浸润和数学品格的滋养。

2．抓自主学习，让学生拥有发现的眼光

对于身份证号码，学生熟悉中掺杂着陌生，贲老师以此作为学生自主探索学习的切入口。在学生课前已对家庭成员身份证号码进行了调研的基础上，贲老师采用小组交流、自主发现的方式，让学生在交流与互动中增长知识。代表性别、出生年月日以及所在地区编码的数字被学生一一发现，而关于身份证号码中后四位数字编码代表什么，学生的意见不一，因为他们无法根据自己已有的知识经验找出答案，此时贲老师以一位警察的录音介绍满足了学生对未知的渴望，这样的解答在此情此景中显得那样必要和自然。让学生自主，但不放任。贲老师从学生的实际需求出发，让学生在与同伴、师长、教材的对话中提升学习的能力，培养探索的精神，充分体现了教师以生为本的教育追求和独具匠心的教育方法。

3．抓学以致用，让学生分享探寻的愉悦

有位著名的数学家曾经说过：“看一个国家的科技水平只要看这个国家对数学知识的应用程度就可以了。”这无疑说明了数学应用的重要性。在小学生学习数学的过程中，同样要让他们懂得学以致用。

本节课中，贲老师设计了给南京师范大学附属小学一千多名学生编码的活动环节，学生针对可以怎样编、表达哪些信息、需要几个数字等主题进行小组讨论，设计了多种方案。全班交流时有的小组认为只用四个数字就行了，“5237”代表五年级2班的37号同学；有的小组立刻提出了质疑，即到了六年级时他的编码又要改为“6237”，这样编码太麻烦；有的同学提出一人一号，一千多号就可以了；另一位同学则认为“这样编码数字反映的信息太少”……在提出方案、否定方案、修改方案的过程中，学生体会着编码的方法，感受着实践的愉悦。我们有理由相信，学生在这样的学习过程中也一定感受到了数学的价值，培养了学以致用的数学应用能力。

4．抓教材优化，让学生获得发展的张力

教材是什么？教材是连接教师与学生的教学中介，是教学的资源和素材。贲老师在研读教材后，将教材中“邮政编码”的内容，替换成学生熟悉并可能产生学习兴趣、有着丰富学习内涵的“身份证号码”的内容。我想这是优化教材并科学地理解教材的一种尝试，这是尊重学生并尊重学生自身发展的内在需求的一种教育表达。

教学“编码在生活中的应用”这一内容时，贲老师以开阔的视野，对教材中呈现的内容予以丰富，通过对银行信用卡、学生的考号、电话号码、邮政编码、车次编号、图书编号、居住房屋编号、商品条形码编号等的集中列举，使学生感受到“生活中编码无处不在”，数字编码“能简明地表达信息”。同时，贲老师借助车牌号的编码，引导学生了解编码方法的多样性，即编码可以使用文字、字母和数字及其组合，从而提高学生对“编码表达信息”的解读与运用能力。英国坎特伯雷大主教凯里所说的那段话的引用，自然贴切，意味深长。课的最后，贲老师又一次加深了学生对知识的理解，把学生的学习收获归结到对“数”作为科学语言的认识上。

贲老师以他的课堂教学诠释和表达着这样的声音：要为学生提供一个开放的、面向实际的学习时空。他不仅为学生建构了一个有效探究、有意义学习的成长环境，同时也为我们提供了一个会取材、善设计、能组织、有智慧的教学案例。

纵观全课，教学过程环环紧扣，教师引导学生从感受到认识进而应用，步步深入，自然、深邃、灵动、大气。贲老师以其先进的课程观、教学观，开放的教学思想，营造着有效对话的课堂氛围，打造着适合学生发展的数学课堂，形成了自己独具特色的课堂教学风格。

（南京师范大学附属小学校长           闫勤）