体验运筹思想感受数学魅力
——“打电话”教学实录及评析
刘松：浙江省杭州市文海实验学校校长助理
课堂实录
一、谈话引入
1．直接点题
（教师板书课题：打电话）
师：同学们打过电话吗？大家有没有想过打电话这件事里也会有一些数学问题？如果没想过，现在就想一想，可能会有怎样的数学问题呢？
生：关于电话号码的问题。
师：嗯！有可能。
生：关于电话费用的问题。
师：嗯！也有可能。
生：可能是关于打电话的时间的问题。
……
师：好，既然有同学说到了打电话的时间这个问题，老师这刚好有一个类似的问题，请大家帮助老师解答一下。
［评析：教师开门见山地提出问题，让学生略微思考一下，而后请两三名学生回答。对于学生的回答，教师都给予了肯定，非常好。新课标强调培养学生发现和提出问题的能力，这其实是需要我们在课堂上留给学生相应的时空的。另外，教师显然对此处的开放式设计做了充分的准备，如果刚好有学生说到了接下来要研究的问题，教师就顺势接上；如果没人提及，教师则自己提出。预设与生成的尺度把握得恰到好处。］
2．提出问题
师：如果老师打电话给1名学生需要1分钟，那么老师打电话给2名学生需要几分钟？
生：2分钟。
师：好。老师打电话给1名学生需要1分钟，那么老师打电话给2名学生当然需要2分钟。如果打给3名学生呢？
生：3分钟。
师：很好！如果要打给1023名学生呢？
生：1023分钟。
［评析：学生受定式思维的影响，一定都会顺势答出要2分钟、3分钟和1023分钟，这正是教师期望的结果。当然，对于最后一个问题，也许有人说的会不是1023分钟。没关系，只要有人说出一千多分钟，哪怕是说出几百分钟就可以了。事实上，一定会有人说出1023分钟。显然，教师在此处做了精心的预设。］
师：如果打给1023名学生，要1023分钟，60分钟等于1小时，1023除以60，大约等于17个小时，老师差不多要打整整一天的电话呀！有没有想过时间会更少的可能？（稍作停顿）今天我们就来解决如果老师打电话给1名学生需要1分钟，要打给1023名学生，究竟最少要多长时间的问题。
二、探究方案
1．策略分析
师：1023是个相对较大的数据。我们在解决问题时，面对一个比较大的数据，有没有什么好的策略可以使问题变得简单些呢？
生：……
生：变小一些。
师：说得好。他的意思就是说，我们可以把1023变得相对小一些，从简单情况入手探究规律。这是一种非常好的解题策略，我们称之为——化繁为简。（板书：化繁为简）
［评析：教师此处找了两个学生回答问题，第一个学生浑然不知，第二个学生说得有点沾边。事实上，让学生说出“化繁为简”四个字是很难的。如果有学生答出可以化简或相近的意思，教师就要好好表扬；如果没有人答出，教师则要自己点明并板书出来。这里关键是要唤起学生的策略意识。而对学生解题策略意识的培养，从某种程度上来说，可能比解题本身更重要。］
2．引导过渡
师：“化繁为简”是解决问题的一种很好的策略，解决刚才这个问题时，我们该“简”到什么程度好呢？数据太大，算起来比较麻烦；数据太小，又不足以显示我们的聪明智慧。课本上刚好有个问题，数据不大也不小，我们一起来看看吧！
［评析：教师在此处并没有让学生真的去回答化简到什么程度合适，而是用自言自语的方式说出了课本上的问题，简洁自然，非常好。］
3．出示课本上的问题
一个合唱队共有15人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请帮助老师设计一个打电话的方案。
师：明白题目的意思了吗？
生：明白。
师：请看自主学习要求。
4．出示自主学习要求的内容
（1）请为老师设计几种不同的打电话方案。
（2）小组交流，并根据用时的多少整理方案。
（3）想一想，为什么有的方案用时较多，有的方案用时较少？
（4）从用时最少的方案中，你能发现什么规律？
师：明白要求了吗？
生：明白。
师：好的，开始研究吧。
（学生或独立思考，或讨论交流。教师巡视指导）
［评析：教师留给了学生充分的时间去思考，此时教师可以巡视指导或参与讨论，这样有助于增强教学效果。］
三、分析方案
（一）最费时的方案
1．引导交流
师：通过刚才的讨论与研究，大家发现时间最长需要多少分钟？
生：15分钟。
师：如果要用15分钟，具体是怎样打电话的呢？
生：老师先打电话通知1名学生，用了1分钟；接着再打电话通知第2名学生，用了2分钟……如此下去，打给第15名学生，一共用时15分钟。
（教师结合学生的表述，用图式表示出来）
师：非常好的一种方案，老师不厌其烦地亲自给每一名学生打电话。如果用时依然是15分钟，还有别的打电话的方案吗？
生：老师先打电话通知1名学生，用了1分钟，老师就不打电话了。然后由第1名接到通知的学生打电话通知第2名学生，再由第2名接到通知的学生打电话通知第3名学生……如此下去，通知到最后一名学生，用时也是15分钟。
（教师结合学生的表述，也用图式把这种方案表示出来）
2．比较方案
把两种方案放在一起对比：
师：刚才的两种方案，用时都是15分钟。如果你是老师，你会选择哪种方案？
生：我选择方案B，因为省钱。
（许多学生笑了）
师：多精明的同学。有没有不同的选择？
生：我选择方案A。因为虽然有些费事，但亲自打电话，信息不会传错。
师（面对选择方案B的同学，笑着说）：瞧瞧人家的境界。
（全体学生都笑了）
［评析：学生选择哪种方案都是有可能的。其实这两种方案并无优劣之分，只是处理问题的风格不同，教师适度点评即可，并非一定要突出思想品德教育。但此处教师问和不问，体现着课堂教学的两种不同价值取向。］
3．拓展方案
师：同样是用时15分钟，难道打电话的方法仅此两种吗？还有没有别的可能？
（学生沉默。教师稍作停顿后，主动引导学生分析，可以把方案A和方案B结合起来或者说交叉起来使用。比如教师先打电话给1名学生，而后由这名学生分别打给其余的14名学生；或者教师分别打给2名学生，而后由第二个接到通知的学生再依次打给其余的13名学生；等等。具体的打法可以有很多种。）
［评析：同样用时15分钟，还有别的打电话的方法吗？对学生来说，这可能是个很难的问题，因为已经有了两种不同的打电话方法，难道还有别的可能？可能是有的，但此处并非本节课的重点，所以教师并没有让学生再去展开讨论，而是主动引导学生分析，让学生感知具体策略的多样性和丰富性。］
（二）比较省时的方案
1．引导交流
师：刚才有的同学说时间有更少的可能，让他们来说说自己是怎样设计打电话的方案的吧。
生：可以分工打。
生：可以分组合作。
……
2．有序思考
师：既然同学们谈到了“分工”和“分组”，那我们就按照顺序，从最少的分组情况入手，分析分析时间是否真的少了？
（1） 出示分2组的情况：
师：如果这样分组，你准备让2个组长分别再通知几名同学？
生：让1号组长再依次通知6名同学，2号组长再依次通知7名同学。
师：如果这样安排，最终用时多长时间？
（众生齐算：2+7=9分钟）
师：同样是分2组，时间是否可能再少些？
（众生思考）
师：因为两组是同时工作的，2号组长通知的人多一些，所以通知到最后1个人要2+7=9（分钟）。如果2位组长要通知的人数对调一下，则刚好可以1+7=2+6=8（分钟），也就是说两组可以同时结束。
［评析：同样是分两组的情况，但具体的安排不同，所用的时间也会不一样。教师这样的引导再次让学生感受到了方法的多样性，从而逐步体会到了优化思想的妙用。］
（2） 出示分3组的情况：
师：如果这样分组，你准备让3位组长分别再通知几名同学？
生：因为15-3=12，12÷3=4，所以应让每位组长再依次通知4名同学。
师：如果是这样，最后1名同学知道消息要用几分钟？
生：3+4=7（分钟）。
师：同样是分3组，时间能否再少点？
（有了分2组的经验，学生很快答出）
生：按照5，4，3的顺序，依次给每一组分配人数是最佳选择，这样的话，1+5=2+4=3+3=6，刚好在6分钟之内同时结束。
师：好极了！
（3） 出示分5组的情况：
师：如果这样分组，你准备让5位组长分别再通知几名同学？
生：因为15-5=10，10÷5=2，所以应让每位组长再依次通知2名同学。
师：如果是这样，最后1名同学接到通知要用多少分钟？
生：5+2=7（分钟）。
师：谁知道这种情况下怎样分工用时最少？
生：按照4，3，2，1，0的顺序依次给每组分配人数，这样1+4=2+3=3+2=4+1=5+0=5，刚好在5分钟之内同时结束。
师：棒极了。
［评析：分组合作是一种很好的解题策略。教师有意识地选择了几种典型的分组情况，让学生体会用时的多少，从而感悟分工合作的好处，而并没有一一去研究所有的分组情况，体现出了教学的智慧。］
3．小结反思
师：分2组时，用时最少有8分钟的可能；分3组时，用时最少有6分钟的可能；分5组时，用时最少有5分钟的可能。这样来看，是否分的组越多，用时就越少呢？
（众生讨论，有人站起来发言）
生：如果分成15组，每组1名同学，通知到最后1名同学要用15分钟，显然并非分的组越多，用时就越少。
师：你太聪明了！如果分组越多，用时就越少，我们干脆分15组好了。但分15组的话，要用15分钟，显然并非分组越多，用时就越少。这是一种非常好的极限思维方式。
［评析：分组合作，打电话所用的时间就会相应地减少。刚开始时，随着分组的增多，所用的时间会逐渐减少，但并非分组越多越好，到了一定的时候，分组越多，所用的时间反而会越多，这就是量变到质变的过程。如果有学生顺着分5组的情况继续往下想，假如分成6组，不管每组接下来如何调配人数，仅教师通知到第6位组长就要用6分钟了，显然也并非分的组越多，用时就越少。在小学数学的学习过程中，学生难得有这样的推理体验，教师的这个反思性问题问得非常有必要。］
（三）最佳方案
1．提出问题
师：刚才分5组，用时最少是5分钟，而如果分6组，显然要用的时间又变多了，难道5分钟就是打电话要用的最少的时间了吗？时间有没有再少的可能呢？谁发现了？请上台展示一下。
2．学生表述
（学生用图式展示并用语言表达。在此过程中，有的学生虽然知道了要用图式表示，但由于不清楚要用不同颜色或其他方式区分不同时段通知到的人而使整个图式显得非常杂乱；有的学生则只顾着画图而忘了解释或者解释不清。教师耐心地让学生画完或者说完自己的想法。）
师：刚才发言的同学的表述中有一个词出现的频率很高，谁听出来了？
生（异口同声）：同时。
师：你们真会听别人的发言！所有的人接到通知后同时再去打电话，时间就会尽可能地缩短。（板书：同时）让我们一起来学习一下这种有效率的打电话方法。
3．展示方案
师：用正方形和圆形分别表示老师和学生有什么好处？
生：便于区分。
师：谁知道为什么同样是用圆形表示学生，这里却选用了三种颜色？
生：表示一拨一拨的。（多么朴素的语言）
师：说得太好了！不同的颜色就表示不同时段接到通知的人，这样表示，非常便于观察。事实上，按照这种方式，圆形有几种颜色，就可以看出用时多少分钟。
4．引导填表
师：所有接到通知的人共同努力，同时打电话，每1分钟就可以比前1分钟多通知1倍的人，请仔细观察并认真填好下表。
（学生观察片刻后，与教师合作填表）
师：１分钟过后，通知了几个人？
生：１个。
师：现在一共有几个人知道？
生：２个。
师：第２分钟，两个人同时去打电话，又会通知到几个人？
生：２个。
师：现在一共有几个人知道？
生：４个。
师：第３分钟，４个人同时再去打电话，又会通知到几个人？
生：４个。
师：现在一共有几个人知道？
生：8个。
师：第4分钟，8个人同时再去打电话，又会通知到几个人？
生：8个。
师：现在一共有几个人知道？
生：16个。
师：除了老师，刚好通知到了多少人？
生：15人。
师：所有的人齐心协力，同时去打电话，竟然4分钟就够了，比刚才分组打电话要用的最短时间——5分钟还少，这是为什么呢？
生：因为没有人闲着。
师：说得好！刚才的各种方案中，无论如何分配，总有人闲着，所以时间自然就会多一些。而现在的方案中，每分钟，都没有一个人闲着，大家都在打电话，办事效率自然会提高，时间当然会少一些，这就是团结协作的力量呀！（停顿一下）会接着往下填表格吗？
生（大声地）：会。
（教师按照学生的回答，填充完表格）
5．发现规律
师：同学们一定都发现了内在的规律，所有的人齐心协力，同时去打电话，每过1分钟，知道消息的人数就会比前1分钟多1倍。这样10分钟后共有1024个人知道通知，即通知到了1023个人，这是用时最少的方案。当然，接到电话后谁再去通知谁，是要事先设计好的，而具体怎样设计则是另一个值得研究的问题，感兴趣的同学课后可以继续研究。
［评析：所有的人齐心协力，同时去打电话，时间自然会少下来，但分配好谁去通知谁而不至于打乱了电话则又是一个问题，尤其是人数比较多的时候。这个问题虽然值得研究，但并不是本节课要关注的，如果教师不点明，本节课的内容又似乎缺失了点什么，所以教师此处的蜻蜓点水式提醒很有必要。］
四、引导感悟
师：照这样的办法，每个人都不闲着，接到通知后，同时都去打电话，10分钟就可以通知1023个人。刚开始上课时猜通知1023个人，需要1023分钟的同学在哪呢？
（众生纷纷转头去看那位刚上课时大声说要1023分钟的同学，教师走到该学生面前，请其起立。）
师（微笑）：你现在有什么想说的？
生（苦笑）：我真倒霉！
师（亲切地摸着该生的头，顺着学生的话调）：前后对比，时间竟然缩短了100多倍，简直不可思议。不是你倒霉，而是数学思考太有魅力！
师：今天这节课就上到这里，下课！
［评析：让学生感受到数学思考的魅力，可以说是本节课的终极目标，但教师并没有用过多的语言去总结和描述，而是点到即止，说完后立刻宣布下课。这样做让人觉得意犹未尽，从而留给了学生无限的想象和体悟空间。］
教学反思
本节课基本上是遵循教材的安排和流程展开教学的，我在设计时主要做了三点尝试：
1．增加了问题难度
为了让学生更加充分地感受到数学思考的魅力，体验到数学的应用价值，从而培养学生喜欢学习数学的情感，上课伊始，我增设了“假如要打电话通知1023个人，需要多长时间”的问题，此时学生凭借已有的经验或者说由于受到思维定式的影响，感觉肯定要很长时间，甚至有人认为需要1023分钟。而随着研究的深入，大家最终发现，打电话通知1023个人竟然只需要10分钟。前后这么强烈的反差，让学生不由得感到惊讶、感叹，觉得心灵受到了震撼，而在惊讶、感叹和震撼中，他们自然能体会到数学的价值，喜爱数学的情感就会油然而生。实践证明，如此大跨度地增加问题的难度，使本节课的思维含量提高了许多，但这又是在学生可以接受的范围内进行的。
2．强化了策略指导
日本数学教育家米山国藏曾说过：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思路、研究方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使他们终身受益。”国内亦有专家总结说，小学六年数学教学要留给学生三大基本能力：一是逻辑推理能力，二是透过现象看本质的能力，三是化繁为简的能力。化繁为简要成为一种能力，必须要有强烈的化繁为简的意识和熟练的化繁为简的方法，所以我在教学增加的问题和课本例题时，有意强化了化繁为简的策略意识。但化繁为简的策略意识和能力究竟该怎样培养，我仍觉得自己的认识比较肤浅，还需要进一步探究。
3．丰富了情感教育
本节课内容的思维含量较高，对学生而言，学习起来不仅有一定的困难，而且也是比较枯燥乏味的，所以我在进行教学设计时，总是尽量发掘其中的趣味点和情感教育因素。多样化策略的探究及优化方案的探寻等系列活动不仅使学生增长了知识，还培养了学生喜爱学习数学的情感。我在引导学生比较同样用时15分钟的两种方案时，以及对用时最少方案的规律的探寻中，都有意识地渗透了责任心、分工合作、团结协作等做人处事的原则和方法。当然，这些渗透都是力求不留痕迹、悄然无声的。
专家点评
“打电话”本质上是一个解决问题的活动，它呈现的问题具有开放性和挑战性，学生没有现成的模式可以套用，需要积极思考，不断对信息进行加工和处理，这样就能使学生的思维水平和综合能力得到提高。在整个学习活动中，教师引导学生进行讨论，并在讨论过程中形成了全体学生感兴趣的问题，激起了学生的学习兴趣。在探索中，教师从学生已有的生活经验和可能达到的能力出发，运用灵活的教学方式，使完成学习任务变为学生内在的自觉要求。整个教学过程体现出如下优点：
1．创设紧密联系生活的情境
建构主义认为，学习总是与一定的社会文化背景（情境）相联系的，在生活情境中学习，学习者能利用自己原有认知结构中的相关经验去同化当前学习到的新知识，从而赋予新知识以某种意义。刘老师执教的这节课立足学生生活实际，将整堂课用一个情境、一条主线前后贯穿，在有效唤起学生已有的认知经验的基础上，引导学生综合运用知识；注重学生个体之间的互助合作，充分发挥学生的主体作用，让学生既学会合作交流，又善于独立思考；以学生自主探索为主线，激发学生学习数学的兴趣。这样有助于加深学生对所学内容的理解，进而培养学生的抽象能力和逻辑思维能力，培养学生的创新意识和应用能力。
2．充分体现以学生为中心的“人本”思想
学生在学习过程中充分发挥了自己的主动性，体现出自己的聪明才智和首创精神。比如从一个一个打电话到人人打电话，从节约钱到省时间……每个教学环节中学生都发挥了自己的聪明才智。同时，学生有多种机会在不同的情境中去应用他们所学的知识解决问题。比如用不同颜色和形状的图形来表示不同的人，采用画图的方法来形象地展示各种方案、呈现解决问题的不同策略等，都体现出了学生的智慧。另外，学生能根据自身行动的反馈信息形成对客观事物的正确认识，找到解决问题的方案。比如学生最初认为老师打电话给1023名学生需要1000多分钟，最后发现只需要10分钟就可以解决问题了，他们在活动过程中不断寻找解决问题的策略，并从中进行筛选，形成最优策略。
3．充分注重数学思想的渗透
数学实践活动就是要帮助学生获得数学活动经验，使他们能够较好地解决实际问题，感受数学知识之间的联系，体会数学在生活当中的作用。在这个过程中，使学生形成数学思想是核心。只有这样，学生才能提高数学知识水平，掌握数学技能与方法，运用这些数学知识、技能以及思想方法来观察、比较与处理现实世界中的具体问题，并在类比、归纳的过程中，建立数学模型，或是找出其共性与规律，形成数学的抽象和概括。刘老师在教学中较好地渗透了数学思想。比如，用不同的图形表示不同的人，运用了模型思想；运用树状图来帮助学生进行分析，体现出策略思想；引导学生从众多策略中选取最佳方案，体现出优化思想；等等。整个教学过程中，教师引导学生运用形式化的语言，表述出一种数学结构，并将实际问题用符号表示出来，转化成数学问题，然后进行运算和推理，最终解决问题。整堂课的教学立足于情境并超越了具体的情境，揭示了数学活动和数学思维的本质，把认识和推理提升到一个新的高度。
4．综合与学科并重
“打电话”是综合实践活动的内容，它需要学生综合运用所学的数学知识来解决问题，甚至需要学生把数学和其他学科知识联系起来。加强数学知识各部分内容间的联系，发展学生综合应用知识的能力，是这部分内容的一个重要的教学目标。在以往的某些课堂中，由于题材广泛、情境丰富、策略多样等原因，导致“数学广角”这一数学活动变成了“社会广角”的综合实践，失去了数学学科本身应有的“数学本真”。刘老师的这节课却很好地避免了这个问题，既发展了学生综合应用知识的能力，又充分体现了数学学科的特点。
在解决问题的过程中，教师鼓励学生充分运用已有的数学知识和经验来解决问题，比如用一一列举的策略解决问题；鼓励学生对已经掌握的数学知识进行组织，在每种策略中寻找数量关系，得出具体的数据，根据数据进行分析，从而确定策略的优劣。这样的教学方式使得学生有了思考和探索的空间，学生经历了一个收集信息、处理信息和得出结论的过程，并在此过程中学会了探索的方法。
（广东省深圳市福田区教研中心 罗忱红）