一堂“好玩”的数学课

——“‘五角星’进课堂”教学实录及评析

唐彩斌：杭州市现代小学数学教育研究中心主任

课堂实录

一、     引出五角星，提出数学问题

师：这是我们国家的国旗和国徽，在国旗和国徽上有一个共同的图形，是什么图形？

生：五角星。

师：你们认识五角星吗？

生：认识。

师（追问）：那你们能不能说说什么样的图形是五角星？

（学生虽说认识但表述起来却显得有些吃力）

师：有些事物我们虽然很熟悉，但当有人突然问它是什么的时候，我们可能就会觉得表述困难，那我们就换种说法，请大家说说五角星是怎样的？

（学生尝试解答）

师：尽管你们很难准确说出五角星的特点，但是你们一定能判断下面哪个是标准的五角星。

（说明：五角星在超级画板中是可以变化的，我在图形变化的过程中让学生判断它是不是标准的五角星。）

师：那么五角星到底有哪些特点呢？今天我们就一起来研究研究。

师：请同学们观察标准的五角星（强调“标准”是为了限定研究的范围，以下论及的五角星都是标准五角星），结合我们学过的知识和研究其他平面图形的方法，大家能不能提出一些数学问题？

（学生可能提出的问题：五角星是不是对称图形？五角星的每个角是多少度？怎么计算五角星的周长和面积？五角星中有多少个顶点和交点？五角星的中心点在哪里？五角星的五个顶点是不是在同一个圆上？如果把五角星的五个顶点连起来是一个什么图形。）

师：刚才大家提出了很多关于五角星的问题，我们选择其中的一些按顺序来尝试解决。

二、独立思考，合作解决

1．研究五角星的形

师：五角星是不是对称图形？有几条对称轴？

（学生作出判断）

师：请画出五角星的对称轴。

（作业纸上有两个大小不同、角度不同的五角星，学生在作业纸上画对称轴。）

2．研究五角星的点

师：五角星的点有什么特点？

生：对称轴的交点就是中心点。

生：可以把五角星看成五行，每行四个点，可一共不是二十个点，而是十个点。

生：我刚才画了一个圆，发现五角星的五个顶点都在一个圆上。

师（追问）：是不是所有的五角星都是这样的呢？

生：应该是的。

（教师运用超级画板来展示，拖动其中一个顶点，五角星可任意变大变小，但是无论是哪个五角星，其五个顶点都在同一圆上。）

3．研究五角星的角

师：我们再来研究五角星的角，主要研究它的五个顶角。五角星的一个顶角是多少度？

启发学生说出下面的方法：

（1）方法1：因为∠2＋∠4＝∠7，∠3＋∠5＝∠6，∠1+∠6＋∠7＝180°

那么∠1＋∠2＋∠3+∠4＋∠5＝180°；

所以五角星一个顶角的度数是180°÷5＝36°

上面右边的这组图用来启发学生发现“三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和”这一定理。学生所需要的知识基础是已学内容“三角形的内角和是180°”“平角的度数是180°”。

（2）方法2：根据三角形的内角和为180°，可以推算出正五边形的内角和是540°。因为正五边形有五个内角，所以它的一个内角是108°。这样就可以推算出∠6＝72°，那么∠7＝72°，∠1＝180°-72°×2＝36°。

（3）方法3：五角星所在的正五边形的内角和为180°×3＝540°，正五边形有大小相等的五个内角，而其中的每个内角可看作被五角星的两条边分成了大小相等的三个角，所以求五角星的一个顶角可以用540°÷5÷3＝36°。

4．研究五角星的周长和面积

（1）师：怎样计算五角星的周长和面积？要求它的周长只要量出哪一条线段的长度就可以了？

生：只要量得一条边的长度，乘十便是五角星的周长。

（2）师：计算面积最少需要量哪几条线段的长度？为什么？

（学生尝试测量与计算。教师组织学生相互交流，引导学生发现要先量出OA的长度，以及OA边上的高，求得三角形OAF的面积，然后乘10就是五角星的面积。）

（3）教师视学生的学习情况补充问题：五角星的面积与它外接的圆中空白部分的面积哪个大？（提供一个样例：所在圆半径为3厘米）

5．研究五角星的黄金比

（1）五角星中有很多线段，教师引导学生探讨这些线段之间有着怎样的关系呢？教师要求学生在五角星中找出几组具有黄金比的线段。比如：IH∶（ ）=EI∶（ ）=EH∶（）=0.618

（2）教师运用超级画板展示动态五角星，引导学生验证不同的五角星中相应的线段都具有黄金比的性质。在超级画板中拖动五角星，相应线段的长度会发生变化，但对应线段的比不变，都是0.618。

三、回顾整理，操作应用

师：学习了今天的知识，你对五角星有了哪些进一步的了解？

生：五角星有五条对称轴，一个顶角的度数是36°。

生：还知道了只要测量其中的一条线段就可以求出五角星的周长，知道其中两条线段的长度就可以计算出五角星的面积。

生：五角星中很多线段之间的比例是黄金比。

生：五角星的五个顶点在同一个圆上。

师：对于学习数学有哪些体会？

（教师引导学生回忆研究五角星的过程，让学生谈学习收获）

四、数学欣赏，课外延伸

1．数学欣赏

关于五角星的数学问题有很多很多，例如著名的“奇妙的五点共圆”：给出一个五角星，它的每一个小三角形的外面都可以画一个圆，每相邻的两个圆交于两个点。另外还有很多美妙的五角星图案，如转动的五角星、美妙的五角星和五边形、奇妙的五角星风车等。

2．数学百花园

五角星如此奇妙，除了中国，世界上还有50多个国家的国旗中有五角星图案，如美国、澳大利亚、新加坡等国家的国旗中就有五角星图案。另外，五角星的起源很早，在幼发拉底河下游（现属伊拉克）发现的一块公元前3200年左右制成的石板上就有五角星图案了。更有趣的是，古希腊的毕达哥拉斯学派将五角星作为他们的徽章或标志，称之为“健康”。还有更多的关于五角星的美妙问题等着我们去发现！

3．实践作业

请同学们根据所学的知识制作一个五角星。

教学反思

关于这节课的教学设计与实践，我有很多想法与体会，现谈谈自己的一些认识。

1．有数学味的材料才可作为数学“综合与实践”的内容

我认为作为课程的“综合实践活动”与数学学科中的“综合与实践”应该有不同的教学定位，数学学科中的“综合与实践”应该更关注数学的学科性。尽管目前我凭借已有的研究还无法说出数学学科中的综合与实践活动有哪几类，具体又有哪些内容可供不同年级的学生选用，但是我在教学中已经渐渐明确了方向，那就是数学学科中的“综合与实践”要借助现实生活中的一些事物，针对数学内容开展实践活动，要把数学知识和技能的应用、数学活动经验的积累以及数学思想的渗透作为活动本身是否有价值的标准。若综合实践活动仍然停留于表面形式，那就肯定不是数学教学的目标所在。

具体说来，我在这节课的教学中主要做了如下几方面工作：

（1）关注学生提问能力的培养，强调解决问题的策略。我要求学生看着一幅简单的图从数学的角度提出问题，而这些问题恰恰是预设要解决的问题。当面对众多问题时，我引导学生分门别类地去解决，从整体到局部，从五角星的点到线，到五角星的周长和面积，让学生在这个过程中学会解决问题。

（2）借助本节课的教学巩固已有知识，拓展思维。判断一个图形是否是轴对称图形，怎样画圆，怎样应用已有知识“三角形的内角和是180°”来推算五角星的一个顶角的度数，怎样计算五角星的周长和面积，怎样估计出五角星中哪些线段之间的比例是黄金比……解决这些问题都要应用数学的基础知识和基本技能，在这节课上，这些知识和技能已经不再是孤立的存在，而是联系在一起的。从另一个角度来说，这些知识和技能已不是在原有水平上的重复，而是在综合应用中有了新的发展。尤其是在推理五角星的一个角的度数时，虽然要求学生要有“估”和“量”的基础，但严谨的推导可以说是对学生逻辑思维能力的重要挑战。

（3）注重数学欣赏与文化导引。与五角星相关的图案的欣赏，一方面能增强学生欣赏数学美的能力，使其萌发学习数学的兴趣，更重要的是能够激发学生继续探索更多数学问题的欲望。另外，相关的文化史料也是富有教育意义的，从中国国旗中的五角星图案到其他国家国旗中的五角星图案，从公元前3200年左右制成的一块石板上的五角星图案到毕达哥拉斯学派的标志，都充满了人文气息，我们应该承认这些也是数学。

2．有数学味的软件才能成为数学教学的独特手段

在IT界有句话：“一个软件什么都能做，就说明它什么都做不精。”数学软件也一样。在这节课上，我除了用常用的PPT软件来辅助数学教学外，还特别引入了超级画板（由张景中院士研发，拥有我国自主知识产权，免费版）。在判断一个五角星是否是标准五角星的过程中，利用超级画板可以任意调整五角星的每条边；在验证五角星的五个顶点是否一定共圆以及五角星中线段之间的比例是否存在黄金比等问题时，在超级画板中拖动五角星中的任意一个点，都可以随意改变五角星的大小，而且在变化中更容易引导学生发现五角星中不变的特性。与日常教学相比，利用超级画板来教学能让教学变得更“任意”，这有助于学生抽象数学本质属性，概括出一般的特点。当然，在欣赏的环节中，我所展示的用超级画板制作而成的转动的五角星、五点共圆、五角星风车等更是奇妙无比。

3．有数学味的眼光才是数学教学追求的本质目标

五角星，一个学生非常熟悉的图形，在现实生活中，人们因熟悉而觉得它有些普通，但当它出现在数学的课堂上时，却唤起了学生从数学的角度来思考它的欲望。我借助五角星，不断激活学生已有的数学经验，试图引导学生用数学的眼光来看待五角星。

然而，五角星是充满数学味的图形，其数学内涵还有很多。实事求是地说，起初我也觉得五角星是个比较简单的图形，用一节课来讲就够了。后来在备课的过程中，我不断查找资料，才发现原来五角星奇妙无比。我国学者王方汉先生以“五角星”为主题写出了专著，已故数学家和数学教育家傅种孙的教育文选中有一篇名文叫《从五角星谈起》，这些作品旁征博引，娓娓道来，给了我很大启发。

五角星除了可用于植树的问题外，还可用于其他问题。五角星内一共有三类角，它们之间的大小的比为1∶2∶3，这是可以继续引申的，七角星中各类角的比是1∶2∶3∶4∶5，九角星中各类角的比是1∶2∶3∶4∶5∶6∶7……除了不同长度的线段成等比关系外，其实五角星中每一个角上的三角形底角都是72°，顶角是36°，这样的三角形是黄金三角形。如果只量一条线段的长度能不能求出五角星的面积，比如测量出半径能否求出所在圆内的五角星的面积？答案是肯定的。因为五角星的面积与所在圆的面积的比值是确定的。那么这个比值是多少呢？正五角星的轮廓线围成的区域面积约占其外接圆面积的。你可能觉得这个数据太大，其实我们还可以用一个分母较小的近似分数来表示，就是正五角星的轮廓线围成的区域面积约占其外接圆面积的。

五角星，用日常的眼光来看，它是“简单得不能再简单了”，但是从数学的眼光来看，它却是“美妙得太美妙了”。

专家点评

下课后，唐彩斌老师又一次问我：“这部分内容可以作为小学数学的教学内容吗？”我们交流之后，达成了这样的共识：小学数学的教学内容不是一成不变的，只要是适合小学生学习的、对学生发展有益（特别是能够激发学生的学习兴趣、能培养学生的思维能力）的内容，应该都是可以的。

唐老师执教的这节课给我以下几点启发：

1．数学好玩

第一，五角星是那么美，其特性（轴对称、五点共圆、黄金比例等）令学生甚至教师都觉得神奇；第二，唐老师利用超级画板软件不断拖动图形，使其产生无穷变化，不仅令学生感到有趣，而且促使学生积极主动地观察、思考和想象；第三，课堂中学生的积极性被调动了起来，他们学习起来轻松愉快。

2．数学味浓郁

教学中处处折射出数学的思维和研究方法。“这些五角星是标准五角星吗”“结合我们学过的知识和研究其他图形的方法，大家能不能提出一些数学问题”“五角星的一个角是多少度”“计算面积最少需要度量哪几条线段”……处处体现出教师引导学生用数学的眼光看问题和解决问题。另外，计算角的度数，计算五角星的面积，更是数学的内容。

3．注重数学研究方法的指导

研究一个图形时，我们怎么研究？从哪些方面去研究？唐老师按照“五角星美吗—怎么美—为什么美”这样的思路引导学生去探索，并从学生所提问题和自己的补充中逐步归纳出点、角、形、线、面等几个方面，使学生在潜移默化中学到了从数学的角度研究问题的方法。

另外，唐老师敢于尝试研究新的领域，这也是值得称赞的。新课程改革以来，大家对“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等数学中的三个领域的研究比较多，对“综合与实践”这一领域的研究还是比较少的，更别说拿这一内容来上公开课了。

当然，我还有一些没想明白的问题。比如：

（1）为什么要上这节课？我们已经学习了三角形、长方形、正方形、梯形等，还有必要专门研究五角星吗？

（2）有些问题是否有必要一定要让学生弄明白？是否可以将其作为学生进一步研究的引子，使学生带着问题走进课堂并且带着问题走出课堂？如从五角星的一个顶点引出的两条对角线将这个内角分成了三个小角，这三个小角是相等的吗？为什么？

（《小学教学》副主编  殷现宾）