给思维一个支点

——“烙饼问题”教学实录及评析

刘全祥：中国教育学会小学数学教学专业委员会理事

课堂实录

一、谜语导入

（课件出示谜语）

师：世界上最快而又最慢，最长而又最短，最平凡而又最珍贵，最易被忽视而错过了又最令人后悔的是什么？

生：是时间。

师：很好！同学们，你们知道哪些关于时间的名言呢？

生：一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。

生：抛弃时间的人，时间也会抛弃他。

生：时间就是生命，时间就是速度，时间就是力量。

生：你热爱生命吗？那么别浪费时间，时间是构成生命的材料。

师（小结）：同学们，你们真了不起，知道这么多关于时间的名言。既然时间这样珍贵，那我们做事之前就要合理地安排，做事合理安排就等于节约时间。（板书课题：合理安排）

［评析：好的开始是成功的一半。趣味盎然的谜语，既揭示了这节课的主题，同时也极大地激发了学生的兴趣。课伊始，趣就生。］

二、探究新知

（一）观察主题图，搜集信息

（课件呈现主题图）

师：观察主题图，你能从图上获得哪些信息？

生：每次只能烙2张饼，2面都要烙，每面3分钟。

师：每次只能烙2张饼是什么意思？是不是说锅里必须放2张饼？

生：不是。每次只能烙2张饼是说锅里最多只能同时放2张饼，当然，如果只有1张饼时也可以只放1张。

师：2面都要烙呢？

生：2面都要烙是说1张饼要想真正烙熟的话，正面要烙，反面也要烙。

师：图中妈妈说的话，可以看作这次烙饼的规则，即每次只能烙2张饼，2面都要烙，每面3分钟。记住了吗？

（二）围绕主题，探索新知

1．烙1张饼、2张饼，进一步明了烙饼规则

师：假如妈妈只烙1张饼，需要多少时间？

生：6分钟。

师：能具体说说吗？

生（边说边演示）：烙饼的正面需要3分钟，翻过来烙另一面也需要3分钟，一共需要6分钟。

师：烙2张饼呢，需要几分钟？

生：也是6分钟。（边说边演示）我把2张饼同时放在锅里，先把它们的一面烙熟，需要3分钟；把2张饼同时翻过来，把另一面烙熟，也需要3分钟，一共6分钟。

师：有没有不同的想法？（大多数学生摇头）看来全班同学都赞同他的观点。老师有个问题想问大家，同学们注意到没有，1张饼和2张饼在数量上是不同的，但烙饼所用的时间是一样的，为什么？

生：张数虽然不同，但都烙了2次，所以用的时间是一样的。

师：也就是说烙了多长时间关键是要看——

生：烙了多少次。

师：要想减少烙饼的时间，就应该尽可能减少——

生：烙的次数。

师：怎样才能减少烙的次数呢？

生：每一次烙的时候，锅里都尽可能放2张饼。

［评析：简单的东西教得不简单。1张饼、2张饼的烙法虽然简单，但响鼓重敲之下，却敲出了“怎样烙饼才最合理”的实践策略。］

2．烙3张饼，体验符号化思想

师：3张饼怎样烙呢？静静地思考一下，可能是几分钟？（停顿一下）同学们可以在头脑中想，也可以在练习本上画一画，想不明白、画不明白的可以和同桌商量，也可以用学具在桌上摆一摆。

（学生自主尝试，教师巡视，学生答案主要有2种）

［评析：分层次要求学生，既能适应不同学生不同发展层次的需要，同时又能促使学生形成多样化的思维策略。］

师：烙3张饼需要多少分钟呢？

生：12分钟。

师：为什么是12分钟呢？你是怎样想的？能不能说一下？

生：我是这样想的，（边操作边讲解）我先在锅里放2张饼，烙完一个面再烙另一个面，这样需要烙2次。剩下1张饼，正面和反面各要烙1次。这样一来，我烙饼共烙了4次，每次3分钟，所以一共需要12分钟。

师：讲得很好！这是王馨语同学的想法，老师听得很明白，相信同学们也听得很明白。王馨语说烙3张饼需要12分钟，有没有不同的答案？

生：老师，我认为只要9分钟就够了。（边说边操作）我先把2张饼放到锅里，等其中一面熟了之后，我把其中的1张饼拿出来，把剩下的那张饼翻过来，再把第3张饼放进去，2张再一起烙；3分钟后，我把2面都熟了的那张饼拿出来，把最先拿出来的那张饼放进去，再烙一次。这样一共烙了3次，每次3分钟，9分钟就够了。

（很多学生很茫然）

师：谢墨雨同学讲得怎么样？其实讲得很好，但老师有这样一种感觉——听着听着就有些走神了，有些听不明白谢墨雨同学表达的意思了。同学们，你们是不是也有这样的感受？

（学生点头）

师：是因为老师和同学们听得不认真吗？（多数学生摇头）这就奇怪了！老师和同学们听得这么认真，谢墨雨同学也讲得很好，但为什么我们听着听着就不明白谢墨雨同学表达的意思了呢？

生：老师，整个过程太繁杂了，不只是听，我说着说着有时自己都绕不过口了。

［评析：适时地“矮化”自己，增强了学生对老师的认同感，拉近了师生的心理距离，同时从另一个侧面彰显出符号化思想引入的必要。］

师：看来只凭借讲解确实很难让人听明白，有没有更好的方法让同学们一下子就清楚明了地知道你是怎么想的？

（学生沉思）

师（点拨）：同学们，结合我们的学具想一想，我们的学具有什么特点？

生（欣喜地）：老师，我有办法了。你要我们准备的学具是分为2层的圆片，我把其中的3个打开，平摊在桌上，我先烙这2个面，就在这2个面之间连1条线，（边说边操作）同样的……这样一共连了3条线，说明要烙3次，每次3分钟，一共9分钟。

（全班响起热烈的掌声）

［评析：1个圆片分为2层，为学生思维的展开提供了支点；教师恰到好处的点拨，又为学生思维的发展提供了方向，所以从机械枯燥的逻辑思维转向形象清晰的符号化思维就顺理成章、水到渠成了。］

师：同学们都热情地鼓掌，看来大家都赞同这种方法。关于这种方法，你们有什么想问的？（停顿1分钟）哦，都没有！同学们没有，老师倒有。老师有一个问题想请教汪明荃同学，（教师在学生作品上加了1条曲线）你为什么那样连而不这样连呢？

生：老师，挨着的2个面表示的是同一张饼的正反两面，同一张饼的正反两面不能同时烙。

师：也就是说挨着的2个面之间不能连线，是吗？这个方法怎样？

（学生回答略）

3．烙4张饼，探讨烙饼时间与个数的规律

师：烙3张饼最快只要9分钟，那烙4张饼呢，最快需要几分钟？

（学生自主探索，教师个别指导后交流）

师：烙4张饼最快需要几分钟？谁来说一说？

生：我认为需要12分钟。我是这样想的，（边说边演示）我把4张饼分成2组，2个2个地烙，一共要烙4次，所以要用12分钟。

生：老师，我认为也要用12分钟。不过我的想法和姜苑同学的有点不同，我是这样烙的（边说边演示）……烙了4次，也是12分钟。

师：2种烙法，你们觉得谁的烙法更合理一些？

生：老师，我赞同姜苑同学的烙法。因为2个2个一起烙，正面烙了再一起烙反面，省力、方便。

生：老师，我补充一点。请武思琪同学想一想，如果只有3张、4张饼倒无所谓，但是如果饼很多，比如说有100张、200张，第一张饼剩下的那一面要和最后一张饼剩下的那一面一起烙，这多麻烦呀！可能烙着烙着第一张饼放在哪里都不知道了。

师：哦！老师明白你的意思了。你的意思是说分饼的时候在不增加总的时间的前提下尽量2个2个一组，是这样的吗？

（学生点了点头）

师：怎样在不增加总的时间的前提下尽量2个2个一组？我们等会儿再接着研究。（转向武思琪）你觉得同学们的意见怎么样？接受吗？（武思琪接受了同学们的意见）我们再来看看武思琪画的，难道武思琪的想法就没有值得我们学习的地方吗？

生：老师，我觉得武思琪画的挺简单的。比如每张饼的面上她都没有写“正”“反”两个字？

师：这里不写“正”“反”两个字影响我们分析解题吗？（学生回答略）数学是简约的艺术，能够简化的不妨尽量简化。还有吗？

（学生陷入了沉思，教师点拨）

师：同学们想一想，如果我增加一张饼，需要多少时间？

生：老师，我知道了。用武思琪这种方法可以很快就知道需要用多少时间。你们看，在最后一张饼和第一张饼之间添1张饼，从图上可以看出此时比刚才多了一条线，多一条线就是多了3分钟，所以烙5张饼需要12+3=15（分钟）。

生：老师，我补充一个发现。我发现有几张饼就有几条线段，也就是有几个3分钟。

师：所有的情况都是这样的吗？

生：有一种情况例外，当饼的个数是1时，不符合这条规律。

师：其他的呢？

生：都符合这条规律。

师：烙5张饼最快需要几分钟？

生：3×5=15（分钟）。

师：烙7张呢？

生：3×7=21（分钟）。

［评析：教学需要优化，但优化不能以牺牲学生的个性体验为代价。针对班里所有学生都一边倒的局面，教师看似随意实则精心的一句问话，让学生不仅发现了第二种策略简约的特点，而且也通过其发现了烙饼的张数与所需时间的关系。］

4．烙6张饼、7张饼，品味实际烙饼的策略

师：看来从数学角度来分析，武思琪的想法还是非常有价值的。但是，数学源于生活，还必须服务生活。在生活中怎样烙5张饼，才既合理又不超过15分钟呢？

（学生自主尝试后汇报交流）

师：烙6张饼、7张饼需要几分钟呢？同学们想一想，想不明白的也可以在纸上画一画。

（学生汇报）

师：同学们注意到了没有？在实际生活中烙饼有什么规律？

生：充分利用每口锅每次能烙两张饼的规则，尽量2个2个一组，如果不能整分的话，那最后一组分3个。

（教师小结）

［评析：数学要教给学生的不是“死”的知识，而是“活”的智慧。在教学中，教师引导学生再一次回到生活，让学生进一步体验合理安排的实践策略，使随机应变的思想和具体问题具体分析的实践智慧润物无声地滋润着学生。］

（三）练习拓展

师：经过刚才的学习，我们知道了怎样烙饼可以节省时间，但是在现实生活中，人们往往用比较大的锅来烙饼，如果1口锅同时能烙4张饼，那么烙6张饼最快需要几分钟？同学们课后可以研究一下，以后我们再来交流。

教学反思

“烙饼问题”是小学数学中新增的教学内容，属于综合与实践领域。由于它与课本中前后内容关联不大，相对于其他内容，选择这一内容来借班上课更加方便。因此，很多教坛新秀常常用它来一显身手。

在听其他教师讲这一内容时笔者发现，当烙一两张饼时，学生还能条分缕析、清清楚楚，但当饼的数量增加到4张、5张、6张时，大多数学生就糊涂了。这时，即使少数尖子生在黑板前演示，但由于饼的数量实在太多，而且学生的演示动作一下就完了，所以多数学生仍然如坠云里雾里。

“是不是学生太笨了？”每当此时，我脑海中总会浮现这样的疑问。然而，换了另一个地方听其他教师讲课，发现一批又一批学生的眼神仍然是茫然的，我喟然了！

是啊！将心比心。多少次，与其他听课教师一起，望着优等生在黑板上演示烙多张饼的过程，有几次我是自始至终注意力高度集中？如果不是事先对该知识很了解，即使全神贯注，又有几个教师完全听明白了学生在讲些什么？

成人尚且如此，又何况十一二岁的孩子。看来，问题不在于学生，而在于教材，在于我们的教学设计。

新的教学方法的设计应以“问题”这一多种教学方法设计时的不足之处作为直接的出发点（这也就是所谓的“问题意识”），应更加重视各种教学方法（包括新设计的方法）的比较与优化，从而真正促进实际的教学工作。郑毓信教授的话或许能给我们以启示。

“是啊！有没有方法能将眼花缭乱、转瞬即逝的翻烙饼的过程凝固成学生可看、可感、可触摸的静止过程？

“日思夜想，似有所获。饼有两面，为了区分已烙的面和未烙的面，教师常常将圆片涂上不同颜色。既然如此，何不将两张圆片装订在一起，一张表示正面，一张表示反面，需要的时候再把圆片展开，这样不就不用把饼翻来翻去了吗？而且，哪两张饼的哪两面一起烙只需在这两个面之间连一条线，这样翻来翻去的过程不就‘静止’地凝固在黑板上了吗？

“更重要的是，它还有利于学生思维的进一步深化。既然圆片能代表饼，那不如干脆画两个圆圈，在里面写上“正”“反”，表示先烙的面和后烙的面。当然，还可更进一步，直接画两个圆圈，“正”“反”都不需要写……在拾级而上的过程中，符号化思想呼之欲出。”

欣欣然中，我似乎有所得！欣欣然中，我又有了继续尝试的勇气与欲望。

专家点评

真实的课堂摈弃演练和作假，有效的课堂追求简单和实用，互动的课堂要求对话和共享，生成的课堂需要耐心和智慧。参考这些标准来审视刘老师这堂课的教学，我发现这堂课有以下一些值得肯定的地方：

1．给思维以支点，让解决问题真正成为每一个学生的实际行动

对于“烙饼问题”，学生最头疼的是既要烙正面，也要烙反面，反映在操作上，就是需要不停地翻转烙饼，这无形中增加了思考的难度。当烙饼的数量少的时候还无所谓，可是当烙饼的张数增加到三四张时，正如案例中所呈现的，其复杂性就充分显现出来了。正是因为清楚地看到了这一点，刘老师另辟蹊径，利用烙饼要烙两面这一特点，化不利为有利，将代表烙饼的圆片教具设计成两层，演示时将圆片展开，这样不仅避免了翻来翻去的繁琐，同时也为学生用符号化思维进行思考提供了契机：把圆片当作饼，同时烙的就在两圆片之间连一条线。这样机械、单调、繁琐、一闪而过的讲述过程就凝固成简单、清晰、持久、可视的连线过程，大大降低了思维难度，使“怎样安排才能尽可能快地吃到烙饼”这一思考性强、难度大的问题真正成为每一位学生实实在在的思考对象。

2．给发展以阶梯，让学生在层层递进的探究活动中逐步深入

这突出表现在两个方面。（1）刘老师在教学中设计了由浅入深、层层递进的探索活动。刘老师围绕“怎样烙才能尽快吃上饼”这一主题，设计了四个探究活动，这四个探究活动各有指向，层层深入：探讨1张饼、2张饼的烙法，是为了让学生进一步明确烙饼的规则；探讨3张饼的烙法，是为了让学生体验符号化思想的作用及其引入的必要性；探讨4张饼的烙法，一是为了让学生初步感悟实际生活中烙饼分组的策略，即为了方便，应尽可能2个2个一组，二是为了让学生发现饼的个数与所需时间的关系；探讨5张饼、6张饼的烙法，则是进一步让学生感悟实际烙饼应掌握的分组策略。（2）刘老师组织了拾级而上的操作活动。具体地说，刘老师组织了三类操作活动。在探讨烙1张饼、2张饼的情况时，教师让学生借助学具进行操作，显然，这里学生的操作属于直观动作水平；在探讨烙3张饼的情况时，教师要求学生结合学具的特点想一想“有没有更好的办法让同学们一下子就清楚明了地知道你是怎么想的”，从而有意识地将学生的操作由直观动作水平提升到符号操作水平；最后，教师让学生丢掉学具，“在脑子中想一想，想不明白的也可以在纸上画一画”，教师的要求又进了一步，学生的思维此时已提升到抽象逻辑水平。教师设计的这两组活动都是由浅入深、由易到难，而学生也就在这精心预设、层层推进的活动中拾级而上，得到了实实在在的发展。

3．给灵性以空间，让学生在成功与失败的来回穿梭中生成智慧

学生到学校上课，不仅仅是为了学到知识，更重要的是为了变得更聪明。从上述案例中，我们可以感受刘老师努力追求智慧教学的种种尝试。仅举一例，在探讨烙4张饼需要多长时间时，学生有两种方案：分组烙（姜苑同学的方案）与循环烙（武思琪同学的方案）。作为实际问题的操作策略，分组烙显然更具有可操作性。当全班学生几乎一边倒地赞成分组烙（姜苑同学的方案）时，教师有意识地加强了引导，说：“武思琪接受了同学们的意见。我们再来看看武思琪画的，难道武思琪的想法就没有值得我们学习的地方吗？”这样就将学生的注意力聚焦到武思琪的方案的两个优点上：（1）抽象程度更高，武思琪直接把饼的正反两个面画成两个随意的圆，显然，这里武思琪已经跳出了饼的具体的物象，仅仅把它当作一个符号，思维已上升到符号化水平；（2）武思琪的方案更具有结构性，看到这一个图形，学生很容易发现饼的个数与烙的次数的关系，聪明的学生甚至还会联想到封闭图形中的植树问题，这不，饼的个数就等于线的条数，有多少条线，就需要多少个3分钟。

我们既要看到成功中的精彩，也要看到失败中的美丽。上述教学设计的突破也在于此，学生通过分析、比较，不仅明确了各种策略的价值和适用范围，体悟了具体问题具体分析的策略，更重要的是，学生在反思中形成了取长补短的思想和兼收并蓄的多元价值理念，而这又恰恰是新时代人们倡导的一种十分重要的人生态度和追求。

（湖北省教育厅教研室  刘莉）