跳出数学教数学
——“你的头发有多少根”教学实录及评析
刘德武：北京教育学院宣武分院二部小学教研室教研员
课堂实录
一、引入课题
师：在数学课上我们学习了很多数，课本上有，课堂上老师也讲过，哪里还有数？
生：计算机里。
生：电脑里。
生：手机里。
生：电视里。
师：其实，不仅在课本上和生活中有数，我们的身上也有许多数，你能举个例子吗?
生：我们有2只眼睛。
生：1双手有10个手指头。
生：1分钟心跳80下。
生：人有1个头。
生：头发的根数也可以用数来表示。
师：你说说你的头发有多少根？
（学生摇头）
师：他提出了一个说不清的数，今天我们研究——（板书：你的头发有多少根）
［评析：教师以日常生活中司空见惯的问题“你的头发有多少根”来引起学生的关注，并用幽默、风趣、诙谐的语言调动大家的积极性，创设了良好的教学情境，提供了思考的空间。］
二、进行猜测
师：科学家在研究的过程中经常会用到猜测的方法。（板书：猜测）猜测很简单，但也很重要，猜猜你的头发有多少根？
生：50000根。
生：10000根。
生：5600根。
（教师板书：50000根、10000根、5600根）
［评析：猜测很简单，但很重要。教师鼓励学生进行猜测能调动学生的积极性，激发学生的学习热情。］
三、验证
师：猜测很重要，但仅停留在猜测上行吗？下一步该干什么？
生：计算。
师：我们根据什么计算？想一想，可能会用什么办法？
（学生独立思考）
师：说说你的想法。
生：一根一根慢慢数。
师：认真准确。
生：用计算器。
师：依靠科学是可以的，但要有具体方法。
生：用估算。
师：好。
生：把头发剪掉，一根一根地数。
师：放在什么地方数。
生：白纸上。
师：那刘老师的头发（满头白发）要是剪下来数，该放在什么纸上？
生：黑纸上。
（全场大笑）
生：用红外线扫描。
师：可以，方法不错。
师：大家的方法都很好，但有的实施起来很困难，我们小学生可以用什么方法？要用学过的知识，运用你的聪明才智，想想什么知识可以帮助我们解决问题？
生：估算。
生：加减乘除。
生：求平均数。
师：头皮的大小可以看作面积，我们学过哪些常用的面积单位?
生：平方米、平方分米、平方厘米。
师：用手比划一下，1平方米有多大？1平方分米呢？1平方厘米呢？能不能利用面积、面积单位的知识来解决问题？
生：可以先求出一根头发的面积。
生：可以先算出1平方厘米的头皮上有多少根头发，再乘以头皮的面积。
［评析：由让学生猜测一个人的头发有多少根到让学生想办法检验和证明，教师的要求提高了，学生的学习热情也会更高。］
四、实践
师：方案提出来了，下面是动手去做。（板书：实践）。怎么做呢？（板书：头发的根数=每平方厘米有多少根头发×头皮面积）现在我给每组发一张1平方分米的纸，这张纸分成100个小格，每格是1平方厘米。每组推选一个研究对象，进行测量。
（学生分组实践）
师：汇报一下，头皮的面积是多少平方厘米？
（教师随着学生的汇报板书：
组1：600平方厘米
组2：700平方厘米
组3：600平方厘米
组4：720平方厘米
组5：600平方厘米
组6：800平方厘米）
师：想想怎样能准确测出每平方厘米头皮上头发的根数？
生：数。
（学生实践后汇报结果，教师板书：
组1：55根
组2：50根
组3：50根
组4：55根
组5：60根
组6：50根）
师：第三步，可以计算了。
（学生计算，教师根据汇报的结果板书：
组1：33000根
组2：35000根
组3：30000根
组4：39600根
组5：36000根
组6：40000根）
师：我们所获得的数据不同，怎样才能保证结果比较准确？
生：求平均数。
师：好！计算量大，要认真、细心。
（学生计算，教师根据汇报结果板书：大约35000根）
［评析：学生以小组合作的形式成功完成了操作实践，在这个过程中，学生不仅经历着自己探究问题的过程，而且是情不自禁地想去努力做，这是在享受学习、体验成功。通过这样的学习，学生又怎能不热爱科学。］
五、验证
师：6个小组的同学经过共同努力，得到结论，操作实践基本结束。猜一下，下一步该干什么？
生：总结。
生：验算。
生：检验。
师：就是验证。（板书：验证）要验证什么？
生：验证当初的猜测。
师：我们的猜测是50000根、10000根、5600根。35000根大约在50000根和10000根之间。
六、反思
师：今天有没有成就感？你们真的很了不起，但是，很遗憾，我查了资料，上面说一个健康人的头发有10万根，有的能达到125万根左右，和我们的计算有很大的差距呢！
（学生感到惊讶）
［评析：当学生自以为成功解决了问题而沾沾自喜、洋洋得意、欢呼雀跃时，教师却果断地指出，你们的结论是不准确的，一石激起千层浪，学生一片哗然。如此的教学氛围，激活了大家的思维，有助于让大家进行反思。］
师：那你相信哪一个呢？
生：相信我们自己。
师：自信是好的，但不能盲目自信。我查的资料是许多人研究的成果，是比较权威的，比我们的研究更可靠，我们要相信生活、相信科学。现在我们还要做一件事——
（教师板书：反思）
［评析：教师注重引导学生反思和培养学生的自我评价能力，使学生感受到学习数学有方法，研究方法有价值。］
师：回头看看，基本思路是否正确？
生：正确。
师：头皮的面积有没有错？
生：没有。
师：每平方厘米头皮上头发的根数对不对？
生：对。
师：那就没问题了。
（学生大笑）
师：想想可能哪个环节上存在的问题比较大。
生：每平方厘米头皮上有多少根头发。
师：我曾见到过别的同学有两种比较好的方法，一是先在纸上挖出1平方厘米的洞，将一撮头发放到洞里，再把里面的头发揪出来数一下；二是先量一量1厘米的长度上有多少根头发，再求1平方厘米面积中有多少根。
师：今天我们花了这么多的精力，结果还得出了一个与实际相差甚远的结论，那我们到底有没有必要知道头发有多少根？
生：没有。
师：对了，许多英雄都不知道这个问题的答案，但丝毫不妨碍他们成为英雄。你知道哪些英雄？
生：王小二。
（全场大笑）。
师：你能告诉我王小二是谁吗？
生：王二小。
师：小英雄王二小不仅不知道他的头发有多少根，甚至也不知道他放的羊有多少根羊毛（注：此处刘老师课后做了更正，王二小放的是牛）。
生：还有邱少云。
师：连英雄都不知道这个问题的答案，那我们为什么要知道呢？这节课上了还有什么用呢？
［评析：听课听到这里，我以为这节课要结束了，没想到刘老师又抛出一个问题——我们为什么要研究人的头发有多少根，使学生都陷入了沉思。沉默了一会儿，学生领会了，原来主要是要让他们掌握一种研究问题的方法。］
生：人的头发有多少根只是一个例子，我们要通过学习它来掌握一种研究问题的方法，只有这样，即使以后遇到更复杂的问题，也可以去解决。
（听课老师报以热烈的掌声）
师：那我们以后遇到问题时可以用怎样的方法？
生：猜测—实践—验证—反思。
［评析：“人的头发有多少根”这个问题的结果并不重要，重要的是学生学会了探究的方法，体验到了数学学习的价值。而且，在思维的碰撞中，学生能不断丰富内心的体验，不断增强学习能力。］
教学反思
学生的学习活动是他们全部社会活动的一部分，他们对数学知识的认识过程应与他们身心的全面发展过程同步。因此，数学教师应力求“跳出数学教数学”。这里提到两个“数学”，前者指数学课本和数学课堂，后者指数学知识、数学方法以及数学思想等。“跳出数学教数学”的意思是说数学教师不能把自己和学生都死死地“捆绑”在教科书里，硬啃那些枯燥的公式和定义，而应该勇敢地“从书本里跳出来”，把教材内容与生活实践结合起来，在更广阔的空间开展教学活动，这样才会取得更好的教学效果与育人效果。
为什么要“跳出数学教数学”？我想谈两点理由。
（1）生活本身就是一个巨大的数学课堂。事实上，世界上哪一个空间或哪一段时间里没有数与形存在呢？小学生虽然年龄很小，但在他们的生活经历或生活体验中，也会有充满数学因素的内容。遗憾的是，我们当教师的往往没有引导学生对生活中客观存在的、大量的、极有价值的数学现象进行应有的关注和分析，反而因这些数学现象司空见惯而熟视无睹。如果能从某些生活现象中挖掘出数学因素，并充分利用，就能使学生由浅入深地理解数学知识，进而使他们认识到生活中处处有数学、数学中也处处有生活的道理，以培养学生从小善于观察生活、分析生活的习惯。
（2）人们都在生活中学习和成长。学生在观察、分析、处理生活的过程中，也渐渐积累了不少思维方法，有时还能表现出惊人的创造力。这是一种很强的生活能力，这种生活能力与数学能力只是领域不同而已，迁移过来，就可以为我们所用。“海纳百川，有容乃大”，数学课也应该敞开胸襟，把生活拥入自己的怀抱，使数学教学不断地充实和发展。
总之，“跳出数学教数学”就是要把学生的学习行为放在他们生活的大环境之中，让学生把学习数学的思维过程与认识生活现象的思维过程联系起来，这样就可以大大增强学生的数学意识，提高其学习数学的能力。
我始终认为教学过程要关注学生个体，从生活出发。在课堂中，我先让学生猜测数据（自己的头发有多少根），然后给学生以激励，再顺势而下，引出如下问题：我们估计得是否接近实际，谁能提供一种办法检验、证明一下我们的猜测？之后，学生思考、讨论、交流，筛选出最佳实施办法、方案，并动手实践，以小组合作的形式成功完成实践。紧接着我又鼓励学生用自己的实践结论，回过头来验证自己的猜想。当学生自以为已成功解决了问题而沾沾自喜时，我却果断地指出，你们的结论是不准确的，引发学生反思。如此的教学氛围，激活了大家的思维，调动了大家的学习积极性，学习活动进入高潮，一个又一个问题得到了解决。通过这一系列教学安排，学生在自觉不自觉中真正走进了“数学”。
专家点评
数学思想方法的获得，一是来自于教师有意识的渗透和训练，二是靠学生自身反思过程中的领悟。反思是学生数学学习活动中的重要内容之一，它并不以解决问题为唯一的目标。在教学过程中，教师可以有意识地引导学生自觉反思自己的思维活动，也可在学生找出答案后引导其进行反思，如引导学生反思自己是怎样发现和解决问题的，运用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，走过哪些弯路，有哪些容易发生（或发生过）的错误，原因何在，该记住哪些经验教训等。只有这样，学生才能对数学思想方法有所认识，其对数学的理解也才能由量的积累发展到质的飞跃。
在特级教师刘德武老师的课堂上，学生先是大胆猜测，然后自己动手实践、探究讨论，估算出了人的头发有多少根，之后刘老师总结了研究的方法——猜测、实践、验证。
整个教学过程让学生体会到从猜测到实际测量是一个实践的过程，实践结束后还要反思、验证自己的猜测是否正确。当我以为这节课将要结束了时，没想到刘老师又抛出一个问题，使学生都陷入了沉思。当学生领会了教师这样教学的目的是为了让他们掌握一种研究问题的方法时，刘老师点点头，说：“一个人的头发有多少根可能并不重要，重要的是我们共同经历了一个研究问题的过程——由猜测到实践再到验证这个过程。像‘哥德巴赫猜想’‘费马大定理’都是起源于一个猜想，同学们要敢于大胆地猜测，并在猜测的基础上进行实践、探究和验证，这是解决科学问题的一个重要方法。”学生听了频频点头。
反思智慧是美国心理学家加德纳提出的多元智能中的一种智能。引导学生对学习过程进行反思，能提高学生的自我评价水平，也是增强其创新能力的有效手段。刘老师在组织教学时，并没有局限于计算一个人的头发的根数，而是通过引导学生反思，揭示了蕴含于教学过程中的数学思考方法——验证法——用比较简单的例子来验证较为复杂的问题的方法，让学生不但了解了估算的方法，更体会到估算的价值，使学生感受到学习数学有方法，研究方法有价值。一位著名的哲学家曾说：“即使是学生把教给他的所有知识都忘记了，但还能使他获得受用终生的东西的那种教育，才是最好的教育。”我们所寻求的正是这样一种教育。
（广东省深圳市福田区教育局教研中心 黄爱华）