擦亮思维的火花

——“小小设计师”教学实录及评析

孙明：黑龙江省骨干教师、省数学学科最佳教师

课堂实录

一、图片赏析，入情入境

师：同学们，我们家乡哈尔滨还有一个美丽的名字，你们知道是什么吗？

生：冰城。

（教师出示课件：冰雕图片）

师：是啊，冬天的哈尔滨仿佛一个冰雪的世界，一座座栩栩如生、晶莹剔透的冰雕作品给我们带来了美的享受，也吸引着许多中外游客。你们看，设计师们正在为即将开幕的冰雪节紧张地忙碌着。同学们，作为家乡的小主人，我们也来为冰雪节做些有意义的事，你们说好吗？这节课，我们就来当一回小小设计师。（板书课题：小小设计师）

二、提出问题，抓住关键

1．提出问题，激发思考

师：现在就有一项任务要请大家来帮忙。大家看（出示课件：冰雪大世界会场全景图），这是冰雪大世界的会场，为了增添节日的气氛，组委会要在这个正方形场地的四周像这样（出示课件：插旗子）插上彩旗，每边的旗数相等，要想知道一共需要多少面旗，可以怎样计算？

［评析：以冰雪大世界会场插旗子这一学生熟悉的、具有挑战性的、现实生活情境中的问题为载体，激发了学生爱家乡、建设家乡的美好情感，也使学生从中体验到数学学习的价值与数学思考的乐趣。］

生：可以用每边的旗数×4。

师：哦，你是这样想的，那其他同学是怎么想的呢？

生：我不同意。如果那样算，角上的旗就算重复了，应该再减去4。

师：看来大家对这个问题有不同的想法，到底应该按哪种方法来计算呢？我们是不是应该亲自验证一下呀？

生：是。

2．简单验证，解决关键

师：这个场地太大了，旗子又那么多，算起来可能比较麻烦，我们先换一种简单的情况来研究这个问题。（出示课件：小冰雕三维立体图）这是一座小冰雕，在它的底座四周也要插上旗子，每边插6面，一共要插多少面?

生：24面。

生：20面。

生：20面。

师：那大家数数吧。

（学生数后得出结论：20面）

师（面对一位学生）：刚才你说24面，你是怎么想的？没关系，说出自己的真实想法。

生：我用6×4=24。

师：咱们数是20面，你知道是怎么回事吗？

生：算重复了。

师：你能够发现问题，很好啊。你能不能再说说哪里算重复了？

生：4个角上的点算重复了。

师：看来，在算周围一共有多少面旗的时候，一定要注意什么问题？

生：4个角上的旗不能重复计算。

［评析：坚持课堂学习无差错，会使每一个学生都积极思考，努力获得肯定性评价，从而更有利于激发学生大胆发言，努力创新。］

三、合作探究，解决问题

1．小组合作，算法多样

师：同学们想一想，你们能找到哪些计算方法呢？老师给你们准备了图纸，请同学们在小组内互相交流一下，大家可以在图纸上圈一圈、画一画、算一算，看看哪个小组的方法多。

（学生以小组为单位合作探究不同的计算方法）

师：现在我们来看看大家都想到了什么方法?

生：我们小组是这样想的，每条边上都有6面旗，有4条边就用6×4，得24面旗，然后再减去角上重复的4面旗，算式是：6×4-4。

师：大家看他们的方法是不是这样的。（课件演示，如下图）这个小组的同学在计算的时候注意到了什么问题?

生：4个角上的点重复计算后还要减去。

师：不错，这个小组的同学思考问题很周密。大家还有不同的方法吗？

生：我们小组是先看上下两条边，再看左右两条边，上下两条边上各有6面旗，左右两条边上各有4面旗，我们列的算式是：6×2+（6-2）×2。

师：这个小组是把角上这4面旗分别安排在上下两条边里，方法也不错。

生：我们小组是每条边都算5面旗，所以用（6-1）×4。

师：你们是怎样安排角上这4面旗的呢？

生：每条边只算一个角上的。

师：这样就避免了重复，安排很巧妙。还有不同的方法吗？

生：我们是先不看角上的4面旗，这样每边就是4面旗，然后再加上4个角上的旗的数量，可以用（6-2）×4+4。

师：你们也是考虑到了角上的4面旗，做到不遗漏，很好。

生：老师，我还有不同的方法。我先把这20面旗斜着分成两份，数出其中的一份是10面旗，然后用10×2，也等于20。

师：哦，你是先数出一份中旗子的数量，再乘以2，好，这样也可以解决问题。刚才，老师发现还有一位同学想出了不同的方法，请他给大家讲讲。

生：我是先每次都圈两面旗，圈出4份，再圈3面旗，圈出4份，所以用3×4+2×4。

师：能够有自己的方法，很好。同学们看，这样计算也可以解决问题。真没想到，同学们能够从不同的角度思考，想出了多种解决问题的方法，很了不起。而且，无论是用哪一种方法，大家都抓住了关键性的问题——角上的旗不要重复计算。

［评析：学生在合作探究中出现了多种思考方法，教师给予充分的时间和空间让学生表达自己的想法，这样，学生才能真正学到东西。］

2．应用算法，解决问题

师：我们再来看刚才的问题，（出示课件：插旗子）要知道会场四周一共需要多少面旗，首先要知道什么？

生：要知道每边插多少面旗。

师：老师告诉你们，每边插30面旗，大家运用刚才的方法算一算吧。

生：30×4-4。

生：（30-2）×4+4。

生：（30-1）×4。

师：看来，同学们已经掌握了这些计算方法。刚才有两位同学用的是这样的方法，（指板书：10×2，3×4+2×4）这回你们怎么不用这种方法计算了呢？

生：这样算麻烦。

生：这样还得一份一份地数。

师：看来我们以后在解决问题的时候应该寻找一种普遍的方法。今天，我们借助一个简单的例子解决了大场地插旗子的问题，复杂问题简单化是我们学习数学时应掌握的一种很重要的思考方法。同学们看，经过大家的计算，将会有116面彩旗插在会场的四周，大家高兴吗？

四、变式应用，总结规律

师：现在，我们就一起走进会场看一看。（出示课件：三座小冰雕立体图）又有问题要请教小设计师们了。

师：我们要在这3座冰雕的底座四周安装彩灯，每边装8盏，每座冰雕分别需要多少盏彩灯？老师给大家准备了图纸，同学们可以任选题目，任选方法，独立思考，看谁算得又对又快。

（学生独立计算）

师：算完的同学可以和同桌交流一下自己的想法。（几分钟后，多数学生都算完了）好，现在来说说你们计算的结果。我们先来看这个三角形冰雕。

生：我是用8×3-3，因为每边按8盏灯来算的话，三角形有3条边，用8×3就把角上的灯重复计算了，所以要再减3。

生：我列的算式是：（8-1）×3。我是每边都按7盏灯来算的。

生：我列的算式是：（8-2）×3+3。

师：谁明白他的想法？

生：这种方法是先不算角上的灯，每边6盏，3条边就是18盏灯，再加上角上的3盏灯。

师：解释得很清楚。有没有计算五边形冰雕底座四周要安装多少盏灯的？

生：8×5-5。

生：（8-1）×5。

生：（8-2）×5+5。

师：我们最后看这个六边形的冰雕，你们是怎样计算的？

生：（8-1）×6。

生：8×6-6。

（教师根据学生的回答板书）

6×4-4  （6-1）×4  （6-2）×4+4  6×2+（6-2）×2

8×3-3  （8-1）×3  （8-2）×3+3

8×5-5  （8-1）×5  （8-2）×5+5

8×6-6  （8-1）×6

师：同学们运用自己的方法解决了这几个问题，现在请大家仔细观察这几个算式，（指第一列算式）它们之间有什么共同的地方？你能发现什么规律？

生：这几个算式的方法都是相同的。

生：都是用每边的数量乘以边数减去角数。

师：通过对算式的观察，能够从中发现规律，真不简单。根据这种方法，再看看这几个算式，（指第二列算式）它们又具有怎样的规律呢？

生：都是用每边的数量减去一个角上的点，再用它们的差乘上边数。

师：我们一起看看是不是这样。同学们，刚才我们在解决问题时，抓住了问题的关键——角上的灯不能重复计算，从多种角度思考，想出了不同的方法。并且，我们通过对这些方法的分析、归纳，发现了每边数、边数和角数之间的关系，找到了解决问题的规律。在我们的实际生活中有许多数学问题，只要我们用数学的眼光、数学的思维去寻找其中的规律，就可以解决更多的实际问题。

［评析：算出每座冰雕底座四周要装多少盏灯并不是孙老师的目的，建立解决这类问题的数学模型才是其真正的意图。而教学情境的创设，正是为了将学生引入问题的情境，让学生带着兴趣和探究的欲望去理解数学思想，抽象数学规律，建立数学模型。在解决了计算四边形会场四周旗子总数的基础上，孙老师把问题进一步发展为解决正三边形、正五边形和正六边形的同类问题。学生在解决这些问题的过程中，能对前面所学的知识有所巩固，更重要的是，通过对以上内容的分析、整理和归纳，学生还能发现其中存在的普遍规律。］

五、全课总结

（教师出示课件：学生设计作品展示）

师：同学们，今天这节课，你们运用所学的知识为家乡的冰雪节出了一份力。看，经过你们的设计，一座座冰雕在灯光的映衬下更加绚丽多彩，童话般的冰雪大世界将为我们家乡的冬天增添一道亮丽的风景线。在此新年到来之际，让我们共同祝愿家乡越来越美。

教学反思

让学生感受数学思想，培养学生的数学思维能力是小学数学教学的重要目标。这节课，我力求把一些重要的数学思想通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来，在教学中的每一个环节不失时机地对学生进行数学思想的渗透，培养学生严谨、有序、全面思考问题的能力。我主要在以下几方面感受颇多：

1．化难为易，解决关键问题

上课伊始，我和学生围绕“冰雪大世界正方形会场的四周要插上彩旗，每边的旗数相等，共需要多少面彩旗”这个中心问题展开研究，引发学生的思考。当学生提出用“每边的旗数×4”时，我引导学生用比较简单的例子进行验证，也就是我们常说的复杂问题简单化。学生很快发现问题，用“每边的旗数×4”的方法计算，角上的四个点就重复计算了。这个发现对学生解决问题起着至关重要的作用。

2．多方思考，体现策略的多样性

我鼓励学生从不同角度思考，寻找解决问题的方法，为学生搭建展示、交流的平台。课上，学生观察图纸，在图纸上圈一圈、画一画，思维非常活跃，想出了多种不同的方法，而且每种方法都注意到了关键问题——四个角上的点不能重复计算。学生经历了自主探究的学习过程，掌握了解决这类问题的方法，拓宽了思路，实现了资源共享。

我们在鼓励方法多样化的同时，也要考虑到方法的择优化。我让学生运用自己的方法计算大场地的旗子总数，既巩固了学生所掌握的方法，又使学生体会到各种方法的优势与不足，从而寻求更佳的解决问题的策略。

3．归纳概括，建构数学模型

数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，教师要引导学生经历抽象数学模型的过程，这一过程应该建立在学生大量的感性认识的基础上。当学生解决了正方形会场插彩旗的问题之后，我将教材问题进一步深化，让学生运用知识的迁移和类推，尝试解决正三边形、正五边形、正六边形冰雕底座安装彩灯的问题，并把计算方法进行归纳、整理，总结出方阵问题中隐含着的数量关系，在学生头脑中建立一个解决这类问题的数学模型。这种模型是在学生经历了猜想、实验、推理、归纳等一系列探索过程之后形成的，学生真正理解了它，并能真正运用它去解决更多的实际问题。我想，这一定会让学生在经历数学探究的过程中又一次受到数学思想的熏陶。

专家点评

“小小设计师”是小学数学四年级的综合与实践运用领域的内容。孙老师将教材原有的内容进行创编，融入富有现实意义的、鲜活的生活素材，即冰雪大世界会场四周插彩旗和冰雕底座四周安装彩灯的问题。教师以这些情境为载体，让学生带着积极的情感态度，带着家乡小主人的责任感，投入解决问题的过程中，这既激发了学生爱家乡、建设家乡的美好情感，也使学生从中体验到数学学习的价值与数学思考的乐趣，使数学回归生活。

弗赖登塔尔认为：“数学学习的过程就是数学化的过程。”传统的数学教学忽视了数学化的过程，把现成的数学强加给学生，学生只是记住了抽象的定义、规则、定理，而不知道它们的来龙去脉，因而常常不会使用它们。要改变这种现状，就要让学生学习“数学化”。一方面应该让他们学习如何将非数学的现实“数学化”，根据客观现实形成数学概念，归纳数学规律，构造数学模型，以保证数学的应用性。另一方面，要让他们学习如何构造数学内容，“数学化”数学本身。

教师让学生思考并计算冰雪大世界会场四周插的彩旗的数量，然后化繁为简，让学生感受到解决问题可以先从简单的情况入手，再抽象出一般的规律。当学生在合作探究中想出了多种思考方法时，教师并没有满足，而是将学生的思考引向深入，引导学生将复杂问题简单化，并学会举一反三，发现其中普遍存在的规律。

用数学的眼光去观察生活现实，并提炼出解决这类问题的数学方法，这个过程就是“数学化”的过程。可以看出，让学生建立数学模型还不是孙老师的最终目的，让他们形成一种技能，学会思考方法，反过来再去解决问题，这种“数学化”的思想才是其根本目的。这种融情寓理的互动式交流，正是孙明数学教学的独特风格，而冰雪大世界的会场布置这个情境是其中一抹亮丽的色彩。

这节课，孙明老师本着扎实、有效的教学原则，恰当合理地通过现代化教学手段，利用多媒体课件模拟出冰雪大世界会场的现实情境，呈现出小冰雕的俯视图，抽象出冰雕底座的平面图形，然后又通过演示，清晰地呈现了不同计算方法的思维过程，加上会场4个角上的旗被重复计算的直观演示，为学生，尤其为那些抽象思维能力还不强的学生搭设了思维过渡的桥梁。可以说现代技术手段给学生的思维发展提供了一个支点。

回味孙明老师的课堂教学，朴实中流淌着真诚，扎实中透着精雕细琢的预设，细腻中融入了情，蕴含着理，尊重中迸发出动态生成的火花，课堂焕发出勃勃生机。

（黑龙江省教育学院初教部数学教研室  高枝国）