体验魔术般的变化，感受数学的魅力

——“神奇的莫比乌斯带”教学实录及评析

华应龙：北京第二实验小学副校长，北京教育学院兼职教授

课堂实录

师：我带来一个礼物。（神秘地看着学生）哦？魔术。想看吗？

生：想。

（教师先拿出准备好的一根红绳，再拿起一个信封，把信封两头拆开，将红绳从中间穿过，然后用剪刀从中间剪开，信封分成了两半，而红绳却完好无损。）

师：有人举手了，想说什么来着？

生：这个魔术我在哪本书上看到过。好像是信封后面有一个洞和一条红绳什么的，刚才你是从洞里剪过去的，所以红绳就没有断。

师：很大胆的想法。还有没有不同的想法？

生：从书中找找答案。

师：他想从书中寻找答案，那现在我们暂时不看，就用脑子想，你们觉得可能怎么做？

生：我觉得可能信封后面有一部分被剪开了，红绳从信封外面就穿过去了。

师：跟刚才那位女同学的想法差不多，是吧？谁还有不同的想法？

（教师板书：大胆猜想）

师：好，这位同学。

生：我觉得你有两条红绳，一条红绳剪断了，另一条红绳没有剪断，你拿出的是没剪断的那条。

师：他考虑的是有两条红绳。还有不同的想法吗？

生：我猜想信封后面有两条缝，你把红绳从一边拉出来，再从另一边穿过去，中间部分不剪，直接拉出来就可以了。

师：好。这个想法跟前两个想法有相似的地方。刚才我们想到问题可能出在信封或是红绳上，谁还会从不同的角度怎么想？来，你说。

生：老师，我想问一下，如果用其他形状的信封，你还能不能玩这个魔术？

师：这个女同学考虑的角度非常特别。换个其他信封行不行？是不是跟信封的形状有关？想得真好。好了，现在老师告诉你们，这个魔术是华老师专门到中国杂技团去学的，（学生将信将疑）真的，我真的去请教了魔术师。想知道究竟是怎么做的吗？

生（齐）：想。

师：还是不告诉你们。

生（非常失望）：哎呀！

师：同学们想想看，我们在看魔术表演时，除了能看到现场的表演，魔术师会不会告诉你其中的玄机？

生：不告诉。

师：不告诉我们，让我们想象，让我们展开想象的翅膀去思索，那样是不是更有趣味？大家家里能找到信封、红绳、剪刀吗？回去试一试。看到底能不能做成呢？想知道正确的答案，自己去寻找。现在我们开始上课。

［评析：兴趣是最好的老师。以魔术表演开课，独特、新颖，一下子就抓住了学生的注意力，激起了其学习的兴趣，学生由此产生了想要探究真相的巨大内动力。在华老师的鼓励下，学生展开想象的翅膀积极思索。教师以这种方式为学生营造了宽松、和谐的课堂氛围，很自然地，学生就兴味盎然地参与其中了。在这个过程中，学生的思维得到启发，师生、生生的交流对话拉近了师生之间的距离。］

师：通过刚才这番活动，我已经感受到了同学们的聪明劲儿，希望接下来的课堂同样如此活跃，让我和同学们一起快乐地学习吧！好，请看（拿出一张准备好的长方形纸条）这一纸条有几条边？几个面？

生：四条边，两个面。

师：四条边，两个面，一个正面，一个反面。那么，谁能将它变成两条边、两个面？（学生思考，教师观察）有五位同学举手了，但请大家先不要说话，让其他同学想一想，给其他同学一些思考的时间。我看到，有的同学已经动手去试了。

（教师走到一位女同学面前，拿出话筒）

生（边说边演示）：我觉得可以把纸条两边粘在一起，这样就是两个面、两条边。

师：我看见很多同学都做好了，举起来吧，（教师演示）是不是做成这样一个纸圈？（环顾教室四周）还真是。我们应该用掌声祝贺这位女同学，她非常快地想到了办法。现在，谁能把它变成一条边、一个面？大家应该尝试一下，动脑筋想一想，想到以后动手做一做。

（教师巡视，走到一位女同学面前）

师：好，请这位女同学说说她的想法。来，说一说你是怎么想的？重要的是尝试。

生：我觉得可以把它卷成很小很小的。

（教师要求演示，学生演示）

师：看到她的尝试了吗？她这样做怎么样？（其他同学发现纸条变成了两条边、一个面）你是怎样想到要这样卷的？

生：我就是随便想就想出来了。

师：哈哈，随便想就想出了一个非常有价值的想法。她是想越卷越紧，让长方形纸条由两个面变成一个面，但是，这样行吗？

生：不行。

师：哪儿不行？

生：还是有两条边。

［评析：开放性的问题激发学生去思考，在探究过程中，学生的思考层层深入。由“这一纸条有几条边、几个面”到“谁能将它变成两条边、两个面”，再到“谁能把它变成一条边、一个面”，问题层层深入，一个比一个有难度，但由于前面经历了探究的过程，积累了一定的数学活动经验，学生的自信心越来越强，在华老师“带着自信去尝试”的鼓励声中，学生又兴致勃勃地开始迎接新的挑战。］

师：还是两条边。看来，还可以进行其他的猜想。

生：我觉得可以把它揉成一个团。

师：哈哈，揉成一个团，行不行？

生：不行，没有边了。

师：对，揉成一个团，就好像是一个面了，可是它有没有边呢？似乎找不到边了。（环视教室）很好，同学们都在动手尝试。我看到有两位同学做好了。（指着一位学生）来，你认为自己做好了，请到前边来教教大家。

生（边演示边汇报）：我觉得把这一纸条像刚才一样做成环，再把这边翻一面，就做成了。

师（打开课件，指着屏幕）：其实就是像这样一根带子。她觉得这样做就可以了，大家会做了吗？（停顿一会儿）有的同学最后重叠时没有重叠好，所以没做成。好，现在请做成的同学把手举起来，（学生纷纷把手举了起来）不错，现在我们一起来学习怎么做。（边演示边讲解）首先把它做成一个普通的纸环，然后，左手、右手各拿一端，右手拿着的这一端旋转180度，重叠好，就做成了。好，打开，重来一遍。（教师再次演示，讲解）最后用胶水粘起来。

（学生操作，教师巡视指导）

师：做完以后看一看，是不是这个样子？如果不会，可以请同桌教你。做完的同学举起来，看还有谁不会？把接头部分粘紧。相互欣赏一下作品。

［评析：“观察—猜想—实验—验证”是数学活动常用的方法。在这一过程中，华老师作为一个引导者、组织者及合作者，不仅为学生开展数学活动提供了探究、思考的时空，而且十分重视开放性环境中的选择、调控和激励，不断鼓励学生想一想、做一做，强调手脑并用，真正体现了数学活动的特点。同时，华老师为了关注全体，不以少数人来替代大家，他边演示边讲解，这时的“出位”恰到好处。］

师：现在我们做成了这样一个纸圈，你们看一看这个纸圈，有没有发现什么问题？

生：我觉得它还是两条边。

师：非常好。同学们只提问题，尽可能跟别人的问题不一样，不作回答，不作判断。他说还是两条边，可我们刚才要求把它变成一条边，是一条边吗？很好的问题，还有问题吗？

生：我觉得还是有两个面。

师：非常好。是一个面呢还是两个面？第二个问题。

生：我不知道为什么沿着外面走会走到里面，沿着里面走会走到外面去？

师：很好，为什么？真有水平！第三个问题。

生：我想问把它压平了会成什么形状？

师：非常好的一个问题。第四个问题。先不管答案，我们只提问题。

生：它怎么求面积？

师：太好了。第五个问题。

生：这个图形怎么求周长？

师：对，顺势而来，怎么求周长？大家能提这么多问题，真好。其实，我们小时候就特别喜欢提问题，这是什么？为什么？来，这位女孩。

生：我有一次在家里试过，我把这种圈从中间剪开，永远也剪不成两个圈，只能剪成一个圈，而且这个圈越来越长，最后就绞成一团了，我不知道为什么？

师：这位女同学以前还研究过从中间剪开会是什么样，非常好。

生：我不知道求这个图形的面积和周长的条件，求梯形的面积是用上底加下底的和乘以高除以2，它的面积该怎样求呢？

师：我觉得他问得很好。他想到了梯形的面积等于上底加下底的和乘以高除以2，可今天我们做的是个什么图形呢？它怎么求面积呢？非常好！

生：求这个图形的面积的公式是什么？

师：行，还是跟面积有关。

生：如果要求它的边长，可不可以把它压平了之后用尺子来量呢？

师：行，还有同学在举手，还有问题提出来，非常好。这和我们刚才做活动一样，我们可能有很多很多的问题，有的问题解决起来可能会用很长时间，有的问题我们可能还解决不了。现在来回答。刚才有的同学说它看起来还是两条边？是一条边还是两条边，这个问题谁来解决，有什么好办法？

［评析：著名教育学家苏霍姆林斯基说过，“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。而在儿童的精神世界中，这种需要特别强烈”。华老师没有让数学活动停留在操作层面，而是在学生获得了感性经验后，鼓励他们大胆提问。学生面对纸圈，产生了许许多多的疑问，华老师以“这个问题谁来解决，有什么好办法”的提问引导学生去探究，从而激活学生的思维。］

生（边说边演示）：我认为是一条边。因为把边当作一条路，一直走，又会走回原点。边是连起来的，就不能当作两条边。

师：看到他是用什么走的吗？手指。好，大家用手指走一走。（学生操作）我发现有两位同学先用笔在边上标出起点，然后再走，你认为哪种方法更好？做完了吗？发现了什么？

生：又回来了。

师：又回来了。说明它是一条边还是两条边？

生：一条边。

师：看起来像是两条边，但是如果我们用手指沿着它的边走，会怎么样？对，发现是一条边。第二个问题，它是一个面呢还是两个面？为什么？

生：我觉得也可以用刚才的方法，用手指沿着它的面走，最后会走到原点。

师：他的表达非常准确，用手指沿着它的面来走。还有没有更好的办法呢？

生：可以用水彩笔在上面涂颜色。

师：你觉得用哪种方法好？用水彩笔涂颜色可以留下痕迹，我们可以看到哪些已经走过。但是，第一个同学的想法是基础，他想到用手指走，之后又有人想到用水彩笔涂颜色更清楚。

好，大家试一试。

（学生操作，教师巡视）

师：画完以后你发现了什么？

（学生自由发言）

师：我觉得同学们说得特别好。我听到两种声音，一种声音说走回来了，第二种声音说都画上了，这很重要，说明它是几个面？

生：一个面。

师：好，第二个问题解决了。第三个问题。刚才那位女同学问为什么？经常追问为什么，我们会变得越来越聪明，越来越有智慧。为什么从这个面就滑到了另外一个面呢？为什么两条边就变成了一条边呢？多好的问题。你们真棒。很多同学想到了，很好。为什么？这个问题有点难，同学先在小组里交流一下。

（学生激烈地讨论起来）

师（击掌示意停止讨论）：刚才我看到了同学们在小组里讨论交流的情况，大家的声音控制得真好，小组内的同学能听到，又不干扰其他同学，特别好。现在谁来说说想法？你们小组研究以后得出什么结论？最后一个小组请一位同学来发言。

［评析：“为什么从这个面就滑到了另外一个面呢？为什么两条边就变成了一条边呢？”这个富有挑战性的问题，一下子将学生引入思考状态。华老师组织学生开展小组讨论，时机恰到好处。“刚才我看到了同学们在小组里讨论交流的情况，大家的声音控制得真好，小组内的同学能听到，又不干扰其他同学，特别好。”华老师巧妙地对学生如何有效进行小组合作学习给予了引导。］

生：我们小组认为是那个转弯点让这个图形变成了一条边、一个面。因为一转过来一条边就可以和另一条边连在一起，一个面也可以和另一个面连在一起，这样就可以来回转了。

师：我认为你回答得非常好！有那么多同学还在举手要求补充，觉得还没说完，对吗？刚才他的回答中很好的一点是启发我们从做法上来讨论。谁能说得更明白些呢？我们请提出问题的这个同学来说说。

生：我们小组讨论后认为，因为交接点是正面和反面接在一起的，就像跨过一道门一样，从正面跨到了反面，所以它才会永远绕不完。

师：说得好不好？

生（齐）：好。

师：是不是更清楚一些了？好了，同学们，既然大家都明白了，我们把它表达得更清楚些。华老师把纸条的一面涂上颜色，一面不涂颜色，刚才同学们已经给了启发，（再次演示做法）我们发现什么了？

生：里面转到外面，外面转到里面。

师：正面和反面接在一起了，就成了一个面，明白了吗？

生：明白了。

师：有时候追问“为什么”很有价值。刚才我们问为什么是一条边、一个面，现在能解决了吗？

生：能。

师：为什么是一条边？

生：我觉得它是一条线，永远也绕不完，最后这条线还要绕回原点。

师：我们现在要回答的是为什么，你刚才说的是现象。好，那位穿红衣服的同学。

生：我觉得还是做法上的问题。因为它正面和反面的交接处旋转了180度，所以它成了一条边。

师：他说得很简单，但击中要害，还是跟做法有关的。谁能边演示边讲解？

（学生再次演示并讲解，教师带头鼓掌）

师：学习就是这样。有时候我们要把它说具体，难度很大，跟做法有关就是最好的答案。怎么做的？（教师再次演示、讲解）怎样说得更明白？

生：上边旋转180度就变成了下边，和下边连接在一起，上边和下边交错了位置，就只有一条边了。

师：说得非常清楚明白。当我们把边旋转180度的时候，上边在往下走，下边在往上走，最后上边和下边连接起来了，这样两条边就连在一起成了一条边。那么，如果沿着中间这条线剪开会是什么结果？先想象一下。

生：我觉得可能就还原了。

师：还原了，变成一张纸条了。非常大胆的猜想。

生：我认为把它一分为二了。

师：一分为二，这个成语用得真好，就是说分成两个这样的了。

生：我觉得应该是两个圈靠在一起，掉不下来。

师：又不一样了。谁还有不同的想法？

生：我认为可以分成两个完全一样的图形。

师：这么多的想法，看来大家都非常大胆。结果究竟是怎样的？怎么办？

生：试一试。

师：做吧。（学生尝试，教师巡视）做出来的同学举起来给大家看，是一个圈还是两个圈？

生：一个。

师：没想到吧。我们猜测应该是两个圈，结果还是只有一个，但是比刚才那个大了。我有一个新发现，这个同学剪成的是一张纸条，怎么回事？

生：我是沿着交接处剪的。

［评析：教师不断引导大家大胆猜想、小心求证。在师生交流中，大家的思想产生碰撞，这激励学生不断去探索。同时，在与学生交流的过程中，华老师很注重对学生表达能力的培养。］

（教师板书：小心求证）

师（看见有的同学还在继续剪）：行，既然大家特别想剪，那就继续剪吧。如果再沿着中间剪开，又会怎样呢？先猜猜，会是什么结果？现在，你有什么想法吗？

生：我觉得会更大。

师：会变成一个、两个，还是四个圈？

生：还是一个。

师：你说呢？

生：我觉得再剪开就断了。

生：我觉得会更细、更长，再剪下去就会断。

师：来，同学们，试一试。（学生操作，教师巡视）剪完了的同学举起来，说说你发现是几个圈？

生（齐）：两个。

师：这两个圈怎么样？

生：套在一起了。

师：想到了吗？

生：没想到。

师：好，放下，同学们。我觉得刚才那个声音非常好听。我们先进行了那么多的猜想，然后动手去做，真正感受到了这个纸圈的奇妙。在生活中有什么地方，我们能创造性地把它用上去？

生：我觉得可以把我们的眼镜也做成这样，这样还可以拿它当潜水员的潜水镜。

师：想到眼镜上了，不错。

生：我们可以拿它来当狗套，还可以做成橡皮筋将汽车套起，一个连一个拉着走。

师（指着屏幕上的纸圈）：这个纸圈有什么特点？像这种一条边、一个面的东西在生活中哪些地方可以用？

生：我觉得可以用它做翻滚列车的铁轨，永远也走不完。

师：同学们玩过过山车吗？如果把过山车的轨道设计成一条边、一个面的，就永远也走不完。下次同学们玩过山车的时候观察一下轨道是不是这样的，如果不是，自己可以设计，还能申请专利。还有哪些地方可以用到它？

生：还可以用它来当皮带。

师：很大胆的想法，但还可以想想怎么样去完善。

生：可以做手铐，这样的手铐怎样挣脱也挣脱不了。

师：这又是一个大胆的想法。来，我想这个画面大家应该都很熟悉。（出示屏幕：一个小男孩在听录音）

生：磁带第一面用完了还可以接着用第二面，它是翻过来的。

师：听歌的时候，一面听完了，就换一面。学了今天的内容，你有没有什么想法？

生：可以把磁带设计成这个样子，就不用换面了。

师：如果把磁带的两个接头这样接上，那样的磁带还用不用换面？

生（齐）：不用。

师：只要你愿意，可以一直听下去。真应该去申请专利。不过，遗憾地告诉你们，这专利已经被一个日本人申请注册了。刚才我们已经感受到了这样一个神奇的纸圈带来的惊喜。刚才有同学问这个图形的周长、面积怎么求，公式是什么。下课的时间已经到了。（学生听后，感到很遗憾）不过，我可以把答案告诉大家，这个图形是没办法求周长、面积的。

［评析：华老师引导学生大胆猜想、动手实践，制作了神奇的纸圈，并引导学生寻找生活中的“神奇纸圈”，发挥想象看能否创造性地用上它，这让学生体会到，数学来源于生活，又能服务于生活。］

生：因为它是一直循环着的，所以没办法求。

师：你是这样理解的。今天我们接触的纸圈和以前学习的长方形、正方形是不一样的，那些图形能求出周长和面积，而我们今天做的这个纸圈是拓扑学研究的内容。（板书：拓扑学）什么叫拓扑学呢？其实，它还有一个有趣的名字叫橡皮泥上的几何。橡皮泥可以拉长，也可以压缩。试想，既然是一会儿拉长了，一会儿压缩了，还算不算它的周长和面积呢？

生：不算。

师：这个图形叫什么名字。知道吗？大家可以尝试给它取个名字。

生：我觉得可以叫混循环图形，因为它是由圆形转变而来的。

师：这个同学特别聪明，把循环小数的概念在这儿拓展了一下。同学们，其实这个图形有一个很特别的名字。（板书：莫比乌斯带）为什么叫莫比乌斯带？

生：可能是由莫比乌斯发明的。

师：正是这样。1858年，德国数学家莫比乌斯在一个偶然的情况下发现了这种神奇的带子——只有一条边、一个面的带子，后来就把它叫作莫比乌斯带。好了，同学们，（出示课件：中国科技馆大厅里的“三叶纽结”）在中国科技馆大厅里有个“三叶纽结”，它每天不停地旋转。（课件展示“三叶纽结”旋转的过程，学生发出阵阵惊叹）同学们，这个特别美妙的“三叶纽结”就是根据莫比乌斯带的原理设计的。最后那位男同学问如果把这个带子压平了会是什么样子，其实，有一位大数学家就曾经研究过，同学们课后可以自己动手实践一下。好了，同学们，下课。

生（全体起立）：老师，再见！

教学反思

从整节课来看，我较好地完成了教学目标，学生在“动手做”的活动中深切地感受到了莫比乌斯带的无穷魅力，被激发出了强烈的好奇心和创造欲望。陈省身教授所说的“数学好玩”写在他们脸上，写在他们眼中，写在他们心里。

我为教材增加这样的学习内容而喝彩，为自己成功的教学设计而感到乐悠悠！

以魔术导入，比直接出示莫比乌斯带或者在提出一个一般情况下无法解决的问题后引出莫比乌斯带效果好很多，因为这样更能让学生真切地感受到莫比乌斯带像魔术般神奇的变化，从而激发学生的探索兴趣。在这个过程中，我并不是将莫比乌斯带和盘托出，而是给学生以创造和想象的时空。教学实践证明：不单莫比乌斯能发现这种带子，我们的学生也能够发现。只不过莫比乌斯是无意间的发现，而我们的学生是有目的的诉求。

在探寻莫比乌斯带的奇妙特点时，我坚持让学生先想一想、猜一猜，再做一做，剪完以后再想一想“我为什么没有猜中？为什么会是这样的？”。这样，就不只是让学生动手做，还要学生动脑想，从而有效地培养了学生的空间想象能力，大胆猜测、小心求证的意识，以及勤于反思的习惯。

针对一般的课上学生的动手操作多是遵师命而为，学生只是操作工，不是探究者的情况，我适时地放手，给了学生充分的自主创造的时间和空间，让学生开动脑筋提出猜想，动手验证，这有效地激起了学生的创造热情和探索欲望。

最后的教学环节不是定位于介绍应用，而是立意在创造和欣赏。当学生发出“唉——我妈妈早生我几年就好了”的感慨时，我窃喜不已，我要的就是这种效果——我们一样能创造！

在此，我要特别感谢在本课的研究过程中，刘兼、张梅玲、张丹、张思明、刘可钦、吕建生、孙晓天等教师给予的热忱指导！

教学，同样是一门遗憾的艺术。满足之余，我在回想那几处遗憾——

在学生沿线剪完后，我问：“现在，你有什么想法吗？”我的预设正与后两位学生回答的一样，而当有学生说还能剪时，我该不该让学生再剪？我没试过，可以让学生去试吗？整节课的内容，对学生来说是处处出乎意料，但对我——教者来说都是意料之中的。我没让学生继续剪，潜意识里是怕出乎我的意料，不可收拾？还是想要完成我的教案？其实，我不是怕出乎我的意料（说句老实话，我现在上课，心底里总渴望着出现“节外生枝”的场面，觉得这样的课堂够刺激，有挑战，充满着张力，展现着功力），真正的原因是为了完成教案，为了展示莫比乌斯带的神奇，同时也是为学生后面的创造积蓄能力。

那么，是根据学生的反应来组织教学，还是根据教师的主观预设来控制课堂？教师的设计肯定是较为理想的，但脚下走出来的才是路。自然的才是最美的！

虽然为了上这节课，我看了20多本相关的专业书籍，知道莫比乌斯带有很多有趣的、神奇的性质，虽然发给学生的画好线的纸条，都是我抽空一张一张亲手做成的，但是想起鲁迅先生《作文秘诀》中的“有真意，去粉饰，少做作，勿卖弄”，想起普罗泰戈拉的“人是万物的尺度”，我该以“生”为本还是以“圈”为本呢？再想到教学目标，我知道该怎么做了。

专家点评

听了华老师执教的这堂课，我久久不能平静。这是一节数学活动课，其内容属拓扑学范畴，对小学生来说不太好理解，如果组织不好就会使人感到枯燥无味。然而，华老师独具匠心的设计和富有个人魅力的教学方式使学生在自主、合作、探究的学习过程中对数学学习产生了浓厚兴趣，使“以生为本”的理念在课堂教学中落到了实处，体现了知识与技能、数学思考与动手实践的融合，在提高课堂教学有效性的同时构建了数学课堂文化。这堂课的成功之处主要表现在：

1．构建了和谐的课堂文化

有位教育学家说过，富于文化的课堂活动应是真、雅结合，快乐而有实际意义的。为了真，课堂活动应既与现实生活相贴近，又不与科学知识相背离；为了雅，课堂活动应精心设计，精致而巧妙。华老师执教的这堂课，无论是开课前的魔术引入和“这一纸条有几条边？几个面？”等提问，还是组织的探究活动，每一个环节都是那么真实而自然，独具匠心，反映出华老师的教育智慧和精湛的教学艺术。课堂上的每一分钟，学生的学习热情始终是积极高涨的，在这样的课堂中，学生是快乐的、幸福的，学生的学习是有效的。

华老师非常注重从人的角度出发进行教学，教学过程中处处体现出对人的关怀和重视，无论是师生对话，还是生生对话，都充分流露出尊重、沟通、宽容、欣赏。例如，在讨论“为什么从这个面就滑到了另外一个面呢？为什么两条边就变成了一条边呢？”时，一个学生代表小组汇报说：“我们小组认为是那个转弯点让这个图形变成了一条边、一个面。因为一转过来一条边就可以和另一条边连在一起，一个面也可以和另一个面连在一起，这样就可以来回转了”。尽管这个学生的回答还不足以说明问题，但华老师没有嘲笑、责怪，而是面带微笑，说：“我认为你回答得非常好！有那么多同学还在举手补充，觉得还没说完，对吗？刚才他的回答中很好的一点是启发我们从做法上来讨论。谁能说得更明白些呢？”正因如此，华老师才构建出一个以心与心的交流和沟通为基础的，充盈着时代气息，洋溢着浓浓师生情谊，涌动着生命活力的课堂。

2．充分体现了数学活动的特点

本节课属于数学活动课，这种课具有实践性、综合性、思考性、数学性的特点。教学中，华老师设计了“变魔术—做纸圈—剪纸圈—说用途—说收获与体会”等活动，为学生提供了大量的观察、猜测、思考、操作、验证的时空，使学生在自主探索和合作交流过程中能真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。在活动中，华老师启发、引导学生用纸条做成只有一个面、一条边的圈。当有学生不知道怎样做时，当学生做成了却难以理解这是一个只有一个面、一条边的圈时，华老师采用了“师生合作动手实践—学生通过观察提出问题（大胆猜想）—鼓励学生通过动手做来解决问题（小心求证）”的教学方式，从而顺利地突破了难点。为了让学生了解莫比乌斯带的用途，华老师在让学生充分想象后，利用课件展示过山车、磁带、“三叶纽结”等物体，让学生直观地感受了它的作用，从而使学生不仅学会了将长方形纸条制成神奇的莫比乌斯带，在其魔术般的变化中感受数学的无穷魅力，还拓展了数学视野，提高了学习数学的热情，使课堂教学收到了实效。

（四川省小学教师培训中心  谢定兰）