采取多种途径培养学生的空间观念
——“立方体拼图”教学实录及评析
李映华 深圳市福田区荔园小学
课堂实录
1.情境引入
师（激情地）：同学们，在五彩斑斓的数学世界里，我们曾经游览过美妙的数字乐园、神奇的图形王国和智慧的运算天地，今天这节课，李老师将带领你们去叩响数学世界的又一扇大门。听，敲门声⋯⋯
（课件显示虚拟的图形王国情景，生全神贯注观看。）
师：奇妙不奇妙？
生（恍然）：奇——妙。
师（激趣地）：在这片天地里，可藏着许许多多的奥妙呢！大家想不想随老师一起去走近它，发现它，并且去创造它？
生（兴奋地）：想！
［评析：“开课”别出心裁，妙趣横生。虚拟的动态情景抓住了“童心”“童趣”，学生们怀着强烈的期待，不由自主地投入到了本节课的学习活动之中。］
师：喔，老师给你们带礼物来啦！（师端出放有10多个立方体模型的一个篮子）来，看看是什么？
生：小方块。
生：正方体。
师：正方体又叫——立方体。来，跟着说一遍。
生（齐）：立——方——体。
师：看到这些东西，想玩吗？想用它们玩什么呢？
生：拼积木。
生：搭房子。
⋯⋯
师：哦，听上去好像都跟拼图有关。好，这节课，就让我们一起来玩“用立方体拼图”。（出示课题）
2.探究新知
（1）实物操作。
①玩玩拼拼——初步建立空间感知。
师：首先进行“30秒看图、拼图比赛”活动。出示图之后，先观察，老师喊“开始”后，再动手；喊“停”，就立即停下来。能做到吗？
生（齐）：能！
师：现在请每位同学从桌子抽屉里拿出老师为大家准备的小立方体。
（生拿出，做好准备。）
师（环视）：可以开始了吗？
生（兴奋且专注地）：可以！
师：预——备，看好了——
（课件出示图。）
（全体学生注视几秒后。）
师：开始！
（学生独立拼图，师巡视，30秒之后⋯⋯）
师：停，请拼完的起立！
（全班学生几乎都站了起来。）
师：拼得准确无误嘛，看来，这幅图是简单了点儿。坐下！下面，来个复杂一点儿的，敢不敢？
生（齐）：敢！
师：好，预——备——
（课件出示图。）
（全体先观察，再拼图，师巡视，30秒后⋯⋯）
师：停，请拼完的起立！
（大部分同学都站了起来，师环视。）
师：有这么多人完成了，好厉害！（面向站起来的人，话锋一转）我想知道，你们是怎么拼的，怎么拼得这么快？能和大家一起分享分享吗？
生：好啊。
师：谁愿意上前来摆给大家看？（一生上前）现在，让我们管好自己的小手，注意看！注意听！
［评析：建立空间观念作为数学思考的一个重要目标，在第一学段的教学中，教师应将培养的侧重点定位在直接感知的基础上进行。这里，观察、操作等方法是形成直接感知的重要的、有效的手段。这一环节，教师创设了“30秒看图、拼图比赛”活动，一方面，为下面即将展开的有序的交流活动积累了图形活动方面丰富的经验；另一方面，利用学生求胜心切的心理，使学生在前面已形成的积极主动性得以延续。］
②交流拼法——形成有序思考。
生1（边拼边说）：我先拼下层的5个，接着拼中层的3个，再拼上层的1个。（随即图2完成）
师：怎么样？很漂亮！和屏幕上的一模一样。先拼下层，再中层，再上层，这样的拼法好像有一定的顺序呢，什么顺序？
生2：从下往上。（师板书）
师：对了，有一点值得一提，老师看见的好像和你们看见的不大一样。我在中层只看见2个，他却说中层有3个，还有1个在哪儿呢？还有，我明明看见下层只有2个，他却说有5个，另外的3个在哪儿呢？
生3：是被遮住了。
师：指指看。
（生1指着摆出的实物图，试着一层一层说明被遮住的部分。）
师：电脑显示可能看得更清楚。
（此时，电脑呈现上下分解图，见图）
师：看来，完成一幅拼图，不仅要留意看得见的部分，还要留意——（生：看不见的部分）好了，刚才我们一起分享了按从下往上的顺序进行拼图的经验，那么，还有其他的拼法吗？
生4（上前边拼边说）：也可以按从左往右的顺序来拼，我先拼左边的5个，再拼中间的3个，最后拼右边的1个。
师：可以吗？
生：可以。（师板书：从左往右）
师：不过，我还是觉得有一个地方和大家看到的不一样，（指左边）在这儿只有3个呀，你们却说有5个，还有2个呢？
生4：（将图2转过来，指背面）在这里呢！
（电脑呈现左右分解图，见图，显示被遮住的部分。）
师：是这2块吗？想想也是，如果没有下面的2块，上面的这几块怎么能站起来呢！喔——，中间好像也有1块被遮住了呢。（电脑继续显示中间被遮住的1块）在这儿！
师：好了，刚才，我们一起分享了按从左往右的顺序来拼图的经验，（板书：从左往右），那可不可以按从右往左的顺序来拼呢？
生（齐）：可以的。
师：还有其他的拼法吗？
生5（上前边拼边说）：我按从后往前的顺序来拼，后面摆3个，中间左面摆2个，右面摆2个，前面摆1个，再1个。（板书：从后往前）
生（齐）：可以啊。
师：看看电脑显示。
（电脑呈现分解图，见图。）
师：从后往前可以拼，那从前往后呢？
生：也可以。
师：还有其他的拼法吗？
生6（边拼边说）：我先拼多的部分，再摆少的部分。
师：咦！听清了吗？这叫什么顺序？
（生作思考状。）
师：就叫“先整体，后局部”的顺序，好吗？还有谁用了这种方法？
（有很多同学举起了手。）
师：那么，以上这几种拼法，你觉得哪种拼法最简单？
生：先拼主体部分，再局部调整的方法较简单。
⋯⋯
师：原来，拼一幅图有这么多秘密武器！（对照黑板，师生共同总结）可以按从下往上或从上往下的顺序；可以按从左往右或从右往左的顺序；也可以按从前往后或从后往前的顺序；从整体到局部也不失为一种好方法。总之，就是可以按一定的顺序来拼。另外，在拼图时还要注意什么呢？
生：遮住的部分。
生：看不见的部分。
师：对极了！遮住的部分怎样去发现它呢？
生：靠想象。
师：是啊，拼图怎能没有想象力呢！
生：以看见的部分作参照，去发现遮住的部分。
师：不错，同学们刚才谈到的这些经验正是李老师想告诉大家的。我提议用刚才谈到的这些拼法再进行一次拼图比赛，时间仍然是30秒，如何？
③再次拼图——强化有序操作。
生（齐）：好。
师：预——备——（课件显示图）不忙不忙，先仔细地看一看，想一想你准备按怎样的顺序来拼？
（生安静地观察。）
师：想好了吗？开始！
（全体学生紧张地完成拼图，30秒后⋯⋯）
师：停，拼完的起立！
（生几乎全部起立。）
师：好棒！来，祝贺一下。
［评析：学生在操作的基础上，通过思考与交流，逐步将散乱无序的观察纳入从几个不同的角度去研究的三维世界，在这一过程中，发展了对三维空间的认知能力、有序的思考能力及语言表述能力。同时，老师的及时追问及多媒体课件的配合使用，让立体拼图中那些“看不见”的部分，得以动态地呈现，有效地突破了教学难点。］
（2）抽象操作——深化空间感知。
师：刚才，我们做了照样子用实物拼图的练习，如果不用实物，单靠想象，你能在脑子里拼出一个个的立体形状吗？来，试一试。
（课件依次呈现两幅图，见图。）
师：请看箭头所示方向，想一想：这幅图是按什么顺序来拼的，拼成后的立体图形是怎样的？下面有两幅图的答案，请同学们用手势一一表示“√”或“×”。
（课件依次呈现三幅图，见图。）
（生用手势一一表示对错。）
［评析：通过视图呈现，并且用快速抢答、逐步缩短视图时间的方法训练，可逐步摆脱直观图，迅速建立表象，发展学生的空间想象能力。］
（3）算组合图形小方块的个数。
师：好，我们刚刚做了拼摆立体图形的练习，现在，如果让大家算一算拼摆这一个立体图形要用多少块小方块，并以算式的形式写出来，这个问题你可以解决吗？请列式计算下面图形中所含小方块的总个数，方法越多越好。拿出笔和练习本来。
（课件出示图。）
（学生独立完成。）
师（巡视后）：我已经看到很多种计算方法了。现在，同桌之间可以按这样的提示交流交流。
（课件显示。）
这幅图我按从________到_______的顺序来看，分几层？每层各有几个？
列式为：_______________
（同座交流。）
师：好，停。来汇报汇报。
生1：我从上往下看，（课件显示图）上面1个，中间3个，下面4个，列式为1+3+4=8（个）（板书）。
师：对吗？还有谁也是这样列式的？请举手。
生2：我是从左往右看的，（课件显示图）左面5个，右面3个，列式为5+3=8（个）（板书）。
师：谁也是这样列式的？请举手。
生3：我是从前往后看的，（课件显示图）列式为1+2+2+3=8（个）（板书）。
师：可以吗？有谁这样算了？还有其他的方法吗？
生4：6+2=8（个）。
师：解释解释。
生4：分看得见的与看不见的两部分，看得见的有6个，看不见的有2个。
师：谁也想到了？好有创意！
生5：我是这样列式的，4+4=8（个），我把上面的一个移到第2层的缺口处，（生边说边让课件显示图）这样就可以变成两层，每层都是4个，所以列式为：4+4=8（个）或4×2=8（个）。
师（感叹）：移动一个小方块，就使得计算变得这么简单，妙法啊！想不到计算这幅图所含小方块的总个数会有这么多方法！（指课件）既可以用按顺序分层叠加的方法，也可以用看得见的与看不见的两类相加的方法，还可以用移动小方块，重新组合图形，然后再相加的方法，这些方法都是靠大家自己动脑获得的，同学们了不起啊！你们看，开始我们在拼图形时，要求按一定的顺序去拼；后来在计算小方块的总个数时，要求按一定的顺序去数、去算，其实，顺序就是一定的秩序，这就是数学展示给我们的一种秩序美！
［评析：此环节要求学生在按一定顺序观察立方体拼图的基础上，将其结果转化为有序的算式来表征，形成了策略性知识，培养了学生的数学思考能力。］
3.综合练习
（1）基础练习。
师：下面就让我们带着刚刚学到的本领去迎接新的挑战。
下面这幅图（见图14）将按一定的顺序分层，请填写每一层小方块的个数，并列式计算它所含小方块的总个数。（生齐说，师填写）
生：前后组合，列式为：2+2+3=7（个）或2×2+3=7（个）（课件显示）。
生：上下组合，列式为：1+3+3=7（个）或1+3×2=7（个）（课件显示）。
（2）拓展练习。
师：下图是由下面哪两个图形拼起来的？请分别用手指表示序号（见图）。
（生用手指表示。）
师：为什么大家不选1和2？
（生回答。）
师：看来，我们没有跳进陷阱。（课件隐去下面的3个小图形）现在，请你用多种方法计算出上图所含小方块的总个数。在练习本上列式。
（生独立完成后，全班汇报。）
生：从上往下，列式为3+5=8（个）。
生：从左往右，列式为5+2+1=8（个）。
生：从前往后，列式为2+4+2=8（个）。
生：2+2+2+1+1=8（个）。
生：2×3+1+1=8（个）。
生：移动2个方块，列式为2×4=8（个）或4+4=8（个）或4×2=8（个）。
⋯⋯
师：下面，老师给大家带来了一幅和这个图形长得很像的图，请看（课件显示下图），我们不妨分别叫它们为“图甲”“图乙”。请问：图甲与图乙相比，哪堆方块多？多几个？
生：图乙比图甲多5个。
师：为什么？你是怎样知道的？
生：图乙里含有图甲，把图甲从图乙中移走，就剩下多的部分，正好5个。
生：算一算就知道了。
（3）游戏。
师：最后，让我们来玩一个非常有意思的游戏。老师这里有几个组合的立体图形，它们的身体被蒙住了。现在，请你用手隔着布去摸一摸，感受感受它是由多少个小立方体搭成的。（两幅图分次出示，略）
（指名学生上前来摸，之后大家一起数一数。）
［评析：练习的设计有层次感。系列化、多变的练习内容，使学生落实了知识点，拓展了学习空间。］
师：同学们，仅仅用几个普普通通的小立方体就能搭出这么多美丽的图形，这不由得让人叹服，数学太神奇、太美妙了！有人说“数学有形式的美、造型的美”，试想一下，如果这些小方块是一粒粒组成生命和宇宙的微小颗粒，是一块块垒砌高楼大厦的方砖，是一座座鳞次栉比的楼房⋯⋯那么，我们在未来不知会创造多少伟大的奇迹！而这一切的一切，都跟数学有关。
［评析：“结尾”拓展自然，渗透了文化。教者从搭立方体图形，联想到了自然生活，试图对数学与自然、数学与美作一种诠释，在某种意义上提升了数学文化。］
4.全课总结
师：这节课，我们玩了什么？你有什么收获？
生：（略）
师：同学们，这节课，我们不仅仅学会了一些方法，更重要的是我们学会了如何去发现和创造。
教学反思
2007年11月，受浙江省杭州市现代小学数学教育研究中心之邀，本人有幸在“小学新数学教学改革50年探索成果推广会”上讲了一节观摩课，课题指定为“立方体拼图”。
记得那是浙教版教材刚刚通过国家课题成果鉴定，各种教学资源相对匮乏的一个时期，我手头仅有从网上下载的两页电子版教材（试行稿），其他的什么也没有。这为本节课的设计带来了一定的难度。
但反过来想想，这未必不是一件好事，它可以促使我深入地学习与思索。我可以打破教材条条框框的限制，随意采撷一个现实情境，随意打造一个数学问题，去促成知识的建构、策略的形成以及目标的达成。
在对相关章节知识的学习与消化过程中，这节课的整体设计思路一步一步向我走来。首先，我将本节课的教学目标做了分层与细化：（1）让学生学会有序地观察三维世界，学会有序地表征立方体拼图中的总个数，实现从观察结果到算式表达的转化；（2）帮助学生积累观察立体图形的经验，培养空间观念、数学思考能力及解决问题的能力；（3）培养学生积极的情感与态度。
有了目标定位，教学活动才得以具体展开。20多天后，当我在杭州把自己的拙作奉献给来自全国5个省市的教育专家及同仁们的时候，受到了大家的一致好评，实际教学效果超过了预期。虽说初战告捷，但在仔细聆听了专家们的点评，反思了教学过程之后，我仍然觉得整个教学设计有需要改进的地方。
（1）动手“搭立方体”这一竞赛活动，学生普遍显得很轻松，交流拼法的过程也来得太容易，看不到学生太多的“苦苦思索”的痕迹。数学学习的内容应当是现实的、富于挑战性的，以“玩玩拼拼”这一活动展开教学，虽然是在学生原有的认知水平与经验基础上展开的，但对二年级学生来说，这样的设计是否低估了他们先前的经验？若这样的设计较浅，应该怎样改进才能充分接近学生的“最近发展区”？
（2）在进行完“拼图比赛”活动后，学生初步形成了有序的观察思考经验，在学生能有序地列式计算之后，若再补充“给定小方块的个数，让学生任意拼摆立体图形”这一环节，是否更能激发学生的求异思维，为学生的拼摆活动提供更多层次的思考与探索的机会，增强学生思维的坡度，使学生在切身的感受与体验中发展空间观念？
（3）综合性练习环节若按这样的层次来设计，学生收获是否更多？
第1层：老师出示一幅图，学生照图摆。摆完之后，请学生说明摆法，强调有序性。
第2层：看一眼立体图形，再拿走，边回忆边摆。摆完后，同样让学生回忆摆法。
第3层：按要求设计立体图形。
①自己设计一个立体图形，从一个方向看过去，有一个立方体看不见，设计完之后，相互交流检查。
②自己设计一个立体图形，从一个方向看过去，有两个立方体看不见，设计完之后，相互交流检查。
此练习设计，第1层为基础性练习；第2层有利于逐步摆脱直观图，迅速建立表象；第3层是一项综合性的实践活动，在短时间的设计过程中，要考虑立体图形的整体形状、每个小方块之间的位置关系、怎样才能使看不见的个数符合要求，这需要学生有快速反应能力与空间想象力。
以上的练习设计，内容更开放，学生的学习更自主，若有第2次试教的机会，我一定愿意尝试。
专家点评
读了李映华老师执教的“立方体拼图”一课的课堂教学实录，我觉得整节课无论是从学生的参与状态，还是从教师的引领状态来看，均较好地实现了教学目标，本节课的设计突显了以下几个特点。
1.教学目标定位的突破
在由“几何初步”向“图形与几何”的变革中，“立方体拼图”是一节崭新的内容。由于小学新思维数学教育丛书一贯强调空间概念的建立对培养学生思维能力的作用，故本节教学内容一直是本版教材的保留内容。“立方体拼图”在原现代小学数学教材中，是以智力游戏题的形式呈现的，并没有单列一节，教学时仅限于移动方块、重组图形、正确计算。在新发行的新思维版教材中，本节内容的处理与以往有了明显的不同。鉴于学生已认识了长方形、正方形，这节课将立方体作为学具，从拼摆活动入手，将教学目标做了进一步的分层与细化，特别是对发展性领域目标的达成，给予了较多的关注。如通过拼摆活动，引导学生有序地观察与思考；通过计算立方体的总数，引导学生有序地列式表征；通过多种方法的实际操作练习与脱离直观的拼摆练习，培养学生的多向思维能力与空间想象能力；通过观察与交流，培养学生有序的语言表达能力等。不难看出，本节课就是在这样处心积虑的构思安排中，使教学目标一步一步落到了实处。
2.突显空间观念的培养
发展空间观念是“图形与几何”教学的一个重点，是培养数学思考能力的一个重要方面。新思维版数学教材无论是从学习内容的选编、教材的呈现方式，还是从培养的方法途径上，均给予了较多的关注。同样，本节课也采取了多种途径来培养学生的空间观念。
（1）观察与操作。
开课的“30秒拼图比赛”活动，就帮助学生积累了丰富的直观经验。
（2）图形的分与合的教学。
在拼图比赛中，教师出示一幅图，让学生照图拼摆。此时，学生们会从不同的角度去观察视图，想象这些立方体之间的位置关系，迅速在脑子里进行合与分的操作，再用实物动手操作，从而在有序地交流及算式表征过程中，形成策略性的知识。学生运用这些策略性的知识去监控自己的学习信息加工过程，长此以往就形成了学习方法。在抽象操作这一环节，学生摆脱了直观图，依靠表象在头脑中进行分与合的训练，长期做这样的专项训练，有利于发展学生的空间观念。
（3）解决问题策略多样化。
如学生能从不同的角度去观察视图，用不同的计算方法来表征立方体的总个数，这样的过程同样可以发展学生的空间观念。
（4）数形结合的运用。
本节课突出体现了数形结合的思想，当要求从数的角度去表征立方体图形的总个数时，使形更加数量化；当要求从形的角度去刻画数时，会使数更形象直观，也能使学生更好地理解算式的意义。当学生在头脑中不断地进行数与形的转化时，这个过程对发展学生的空间观念自然是有益的。
3.练习内容系列化，练习方式多变换
一为基础练习，通过看图填空来巩固有序观察与计算。
二为拓展练习，练习1增加了辨别训练，旨在进一步突破难点，发展想象能力；练习2是在练习1的基础上生发的，旨在与练习1的对比过程中，学会灵活运用知识。
三为游戏练习，旨在拓展学生的想象空间，培养空间感知能力；练习安排的多层次，旨在拓展学习的空间，关注学生解题能力的培养，以实现不同学生的思维提升。
4.多媒体课件的恰当使用
教者自制了合适的配套课件，动画设置恰到好处。画面的分解与合成既展示了学生认识和探索图形的过程，突破了难点，又使教学活动生动有趣，是发展学生空间观念和实践能力的有效途径。
（著名数学教育专家邱学华）