让想象展开翅膀
——“线的认识”教学实录及评析
郎建胜 浙江省金华市红湖路小学
课堂实录
1.激活旧知
师：同学们在一年级时学过线段，在我们身边你能找到线段的例子吗？请你指一指。
生1：草稿本的边（从本子边的一个端点指到另一个端点）。
生2：黑板的边（指着黑板一条边上的一个点）。
生3：桌子的边（从桌子一条边的一个端点指到另一个端点）。
师：哪位同学的指法最好？为什么？
生4：男同学（即生1）指得最好，因为他把全部都指出来了。
生5：蘑菇头的女同学（即生3）指得最好，因为她是把整个长度都指出来了，不像另一位女同学只指了一点。
师：大家有一个共同的认识，就是在指线段的时候要从一端指到另一端。用这种方法指一指你身边的线段。
师：想一想，这些线段有什么共同的地方？
生：他们都是一条直线。
师：嗯，都是直的。
生：它们都有两个端点。
师：大家总结得很好。
［评析：从指身边的线段入手，激活学生的旧知识。通过对指线段的方法进行讨论，突出线段的特点：有两个端点。］
2.探索新知
师：下面请大家来看3条不同的线。（出示红外线灯）如果把它看成一条线段，它是从哪里到哪里？（一名学生从一端指到另一端）为了表达的方便，我们把它称为“1号线”。
师：现在这条线要变了，从这一头射出一条光线，如果没有任何物体阻挡它，那么它是从哪里到哪里？
生：从这里（指着红外线灯的一个端点）到看不到的地方（手指指向空中）。
生：到宇宙。
师：到宇宙的什么地方？
生：到它能照到的地方。
生：到很远很远的地方。
生：到无限远的地方。
师：“无限远”这个词用得好！我们把这条线称为“2号线”。
师：这条线还要变。它的两端都能射出光线（这个红外线灯是由两个红外线灯连接而成的），如果两端都没有任何物体阻挡它，那么它又是从哪里到哪里呢？
生：从这边的无限远到那边的无限远。
师：也就是说这条线的两个头我们还能不能找到？
生：不能。
师：这样的一条线我们把它称为“3号线”。
［评析：红外线灯是一个经过精心选择的教具，既是学生非常熟悉的玩具，又能让学生对3种线产生直观感受。让学生说3种线分别从哪里到哪里，在说的过程中激发想象力、体会“无限”的含义，并初步感受3种线的不同特点。］
师：现在开动你那智慧的大脑，想一想，这3条线有什么不同的地方？
生1：1号线最短，3号线最长，2号线中等。
师：她是说3条线的长度有区别。2号线、3号线有多长？
生（齐）：无限长。
师：1号线呢？
生（齐）：有限长。
（师板书：长度、无限、无限、有限。）
生2：1号线有两个端点，2号线这边有一个端点，那边没有端点，3号线两边都没有端点。
师：他是说3种线的端点的情况有区别。谁能更明确地说一说3种线的端点的情况有什么区别？
生3：1号线有两个端点，2号线有一个端点，3号线没有端点。
（师板书：端点、2个、1个、0个。）
师：除了长度与端点的情况有区别，还有什么区别？
生4：1号线是两端都看得见的，2号线是有一端看不见的，3号线是两端都看不见的。
师：有一端看不见是什么意思？
生4：就是朝这边一直长啊长的，所以看不见端点。
师：我明白你的意思了。“一直长啊长”的意思可以用“延伸”这个词来表达。谁能用“延伸”这个词来说一说3种线的区别？
生5：1号线不能延伸，2号线可以向一端无限延伸，3号线可以向两端无限延伸。
（师板书：延伸性、不能延伸、向一端、向两端。）
师：我们知道1号线叫“线段”，为了表达方便，我们应该给2号线、3号线也取个名字，大家知道它们分别叫什么线吗？
生6：2号线叫“射线”，3号线叫“直线”。
（师板书：线段、射线、直线。）
（这时黑板上形成如下板书。）
师：通过同学们的共同努力，我们从3个方面总结了这些线的特点。请大家看着板书，自己说说这3种线的特点。
师：再请大家看看每种线的3个特点之间有什么联系？能不能用“因为⋯⋯所以⋯⋯”把它们连起来说一说？
生7：因为线段有两个端点，所以它不能延伸，长度是有限的。
师：说得怎么样？建议大家把掌声送给他。
生8：因为射线有一个端点，所以它可以向另一端无限延伸，长度是无限的。
生9：因为射线可以向一端无限延伸，所以它只有一个端点，长度是无限的。
师：说法不同，但都表明了一点，3个方面的特点是相互联系的。
生：因为直线没有端点，所以它可以向两端无限延伸，长度是无限的。
［评析：3种线的特点都是由学生通过观察、比较得出的，而且教师能引导学生把每种线3个方面的特点联系起来考虑，深化对每种线本质特点的认识。］
师：刚才我们举过很多线段的例子，大家能不能举出射线与直线的例子？
生：电灯发出的光是射线。
生：不对，电灯发出的光是朝四面发射的，不是朝一个方向的。
师：你的意思是说，电灯发出的光中的一束才能看成是射线，是吗？那么，电灯发出的一束光线一定是射线吗？
生：电灯发出的光如果被东西挡住，那就不是射线。
生：灯光被挡住的话就不能延伸了。
生：灯光被挡住的话就又多了一个端点。
师：大家表达了一个共同的意思，即如果一束灯光被挡住了就不是射线了。看来，笼统地说灯光是射线是不妥当的，那么灯光在什么情况下是射线呢？
生：往天上照的时候是射线。
生：在没有障碍物的时候。
师：光线朝天上射，万一刚好射到一架飞机上那就不是射线了，是吧？这个讲法概括性很强，不管怎么样，只要没有东西挡住，它就是射线了，是吧？
生：激光是射线。
师：有东西把激光挡住呢？
生：没有障碍物挡住时，激光是射线。
师：好的。直线呢？谁能举出直线的例子？
生：一个两端都能发光的手电筒朝两边照，没有障碍物就是直线。
师：刚才大家举射线与直线的例子都是举的光线的例子，能不能举出不是光线的例子？
生：子弹发射的路径是射线。
生：子弹发射时没有障碍物才是射线。
生：我认为不对，子弹要掉下来的。
师：有没有可以一直射下去不会掉下来的子弹？
生（齐）：没有。
师：看来枪里射出的子弹的路径也不是射线。
生：树一直长啊长，就是射线。
师：有没有一直长啊长的树？
生：大海里轮船一直开就是射线。
师：有没有轮船能一直开下去？
师：我们举来举去，除了光线好像没有什么东西能够被看成是射线。我们再回过头来研究光线。如果真的没有东西阻挡它，它就真的能够永远、一直、不停地延伸吗？
生：不能！光线会越来越弱的。
师：看来光线也不是真正意义上的射线。
生：没有什么东西能看成是射线。
师：说得好！那么射线哪里有呢？告诉大家，射线存在于人们的大脑当中，是人们为了便于研究数学而创造出来的一个概念，生活当中没有什么东西能被看成是射线，直线也是这样。所以，同学们，数学是一门非常需要想象力的科学。下面就让我们展开想象的翅膀，再来想象一下射线与直线的样子。
［评析：数学来源于生活，但又高于生活，数学中的概念往往是经过“理想化”处理的，因此，数学学习既需要对现实材料的抽象与概括，也需要大胆而丰富的想象力。在上述的教学环节中，教师有意地让学生在举例中屡屡受挫，在学生一筹莫展时，适时说明射线与直线是想象的产物，使学生豁然开朗，并感受到想象对于数学学习的重要性，形成正确的数学观念。］
师：为了进一步研究这3种线，下面我们要把它们画下来。大家想到用什么工具来画它们？
生（齐）：直尺。
师：为什么要用直尺来画？
生：如果没有直尺的话就不可能画得很直。
师：你言下之意是说这3种线有一个共同的特点是——
生：笔直的。（师板书：笔直的线）
［评析：看似不经意的问题实际上颇有深意，直指3种线的共同特点。］
师：继续想！这3种线中哪种线最难画？难在哪里？
生：直线与射线最难画，因为线段长度是有限的，射线与直线是无限长的。
师：是啊！我们的本子是有限的，怎么画得下无限长的直线与射线呢？但我相信凭着同学们的智慧能想办法画出这3种线，并且让人一看就能明白画的分别是什么线。请大家把自己的想法画在草稿本上。
［评析：只有弄清了“难在哪里”，才能有针对性地采取措施，有效地解决问题。弄清“难在哪里”作为一种元认知技能对数学学习有着重要的意义。教师不仅让学生反思“难在哪里”，还放手让学生自己想办法解决问题，给予学生充分的探究空间。］
（展示学生的画法。）
师：猜一猜他画的3条线分别是什么线？为什么？
生：第1条没有省略号，是线段；第2条一边有省略号，是射线；第3条两边都有省略号，是直线。
师：（问画的同学）你画的是这意思吗？（生答：是）这位同学想到了用语文里的省略号来表示无限延伸的意思，非常好。
师：有谁看懂了这种画法？
生：第1条没有无限延伸，是线段；第2条向一端无限延伸，是射线；第3条向两端无限延伸，是直线。
师：这位同学用汉字来表示无限延伸的意思，也能让人一看就明白，但数学上一般不用汉字来表示，而常常用一些符号来表示。
师：有谁看懂了图2这种画法？
生：第1条没有无限延伸，是线段；第2条向一端无限延伸，是射线；第3条向两端无限延伸，是直线。
师：这位同学用汉字来表示无限延伸的意思，也能让人一看就明白，但数学上一般不用汉字来表示，而常常用一些符号来表示。
师：这样表示可以吗？
生：射线要一直射下去的，他画的没有一直射下去。
生：他画的没有一直延伸下去。
师：你认为他没有表示出射线与直线的无限延伸？
生：我认为他已经表示出来了，没有端点的这边就表示无限延伸。
师：你的意思是说，他画上端点表示——被挡住了，不延伸；没有端点表示——无限延伸。看来他的想法刚好与其他人相反。一般人都想到用一个符号来表示无限延伸，他的想法刚好相反，无限延伸很难表示，就反过来，用一个符号来表示“到此为止”，没有这个符号则就表示无限延伸。这种想法很好，当你朝一个方向去想却想不明白的时候，可以换个方向来思考。我们应该把掌声送给他。而且老师要告诉大家，数学界正是用这种方法来表示这3种不同的线的。下面我们来认一认这3种线。
［评析：看来学生确实有无穷的创造力！教师对学生的每一种表示方法都肯定了其合理的成分，给予中肯的评价。通过上述教学，不仅让学生掌握了3种线的画法，同时也让学生认识到在线段上画出的两个端点只不过是一种符号，表示“到此为止”之意，它并不比线段上其他的点大。］
师：下面我们还要把这3种线给标记下来。老师先做示范，以直线为例。在直线上任意取两个点A和B，这条直线就可以记作“直线AB”或“直线BA”，读作“直线AB”或“直线BA”。如果也用这样的方法来标记线段，你会取哪两个点呢？
生：任意地取两个点。
生：取两个端点。
师：你认为取哪两个点更好？
生：取两个端点更好，因为两个端点确定了，这条线段就确定了。（老师在线段上标出两个端点C和D，学生读出线段）
师：用这样的方法来标记射线，你又会取哪两个点呢？
生：取一个端点，另一个点任意取。
（师取端点O，再任取一点E。）
生（齐）：读作“射线OE”或“射线EO”。
师：射线OE与射线EO，大家读着感觉上有什么不同吗？
生：射线要有射出去的感觉。
师：对呀！射线是有方向的，所以一般来说射线只有一种读法，这里读作“射线OE”，不能读作“射线EO”。
［评析：线的标记方法是一种规定性的知识，通过讨论让学生理解其合理性，这样的教学与直接把规定性知识告诉学生的教学效果是不同的。］
3.练习巩固
（1）画一画。
①你能把下面的线段变成射线或直线吗？
②下面是一条直线，你能从图中找到射线与线段吗？
③用自己的话说说什么是射线？什么是直线？什么是线段？
（2）下面说法正确的画“√”，错误的画“×”。
①笔直的线叫“直线”。（）
②小明画了一条4厘米长的直线。（）
③直线与射线都比线段长。（）
④孙悟空的金箍棒是直线。（）
⑤光线一定是射线。（）
［评析：这组练习紧紧围绕本节课的重点与难点，活而不难。第1题中，通过学生的“画”与“找”渗透3种线之间的联系，并在此基础上让学生用自己的话说说什么是射线、直线和线段，不求表达有多准确与完美，允许学生有个性化的理解，而且使个性化的理解基于学生本身的数学活动经验；第2题则针对一些容易混淆的概念进行辨析，使学生加深对3种线的特点的认识。］
4.反思质疑
师：今天我们学习了什么知识？你有什么收获？
生：今天我们学习了线段、直线和射线。
生：今天我们学习了线的认识。
生：我知道了什么叫“射线”和“直线”。
生：我知道了射线可以朝一端无限延伸，直线可以朝两端无限延伸，线段不能延伸。
师：大家还有什么问题？
生（齐）：没有。
师：不要急于说没有！善于提问是善于学习的表现。问题可以是你不会的，也可以是你会的。你认为比较重要的、比较容易错的、特别需要提醒大家的，都可以提。
⋯⋯
［评析：看来如何加强提问、质疑能力的培养，是一个有待深入研究的课题。］
5.拓展延伸
师：大家暂时没有问题，老师这里倒有一个问题。今天我们说表示直线时可以在直线上取两个点，那么为什么要取两个点？为什么不取1个点或3个点呢？这个问题有点难，建议大家先做做课本（人教版四年级上册课本）上第36页的第2题，再来思考这个问题。下课！
［评析：第36页的第2题要求学生“过一点画直线与过两点画直线，并说说从中发现了什么”。上述思考题把本节课的内容与后续内容紧密联系起来，同时让学生带着问题离开课堂，妙！］
教学反思
“线段、射线与直线”是小学数学教材中的一个常规内容，在10年前我就讲过这个内容，并进行了一些思考。当时的教材编排是先引入直线，老师们一般按以下的步骤进行教学。
（1）认识直线：把一条线拉紧，就成了一条直线；
（2）认识线段：直线上两点间的一段叫作“线段”；
（3）认识射线：直线上一点和它一旁的部分叫作“射线”；
（4）比较3种线的异同，概括3种线的特点。
在教学实践中，我感到这样的教学不利于学生正确地理解3种线，主要原因是：①这样的教学混淆了“直线”与“直的线”的概念，“把一条线拉紧”只能给人以“直的线”的形象，而不是直线的形象；②这样的教学违背了“从具体到抽象”的认知规律，学生在生活中看到比较多的是线段，因而对线段有比较丰富的感性认识，而射线与直线则要抽象得多。鉴于以上的认识，我提出了一个重组教学内容的设想，并以“根据认知规律重组教学内容”为题写了一篇文章发表于《小学青年教师》2002年第2期，设想按以下的步骤进行教学。
（1）观察、比较、分类，认识“笔直的线”与“弯曲的线”；
（2）通过“看”“摸”“描”“比”等数学活动认识线段，总结线段的特点；
（3）认识射线：线段向一端无限延伸就称为“射线”，对照线段的特点总结出射线的特点；
（4）创造直线：引导学生创造一种“笔直的线”，它既不是线段也不是射线，学生创造出来之后，把这种线命名为“直线”，对照线段与射线的特点总结出直线的特点；
（5）比较异同，进一步明确3种线的特点。
新的教学思路取得了较好的教学效果，但还是存在一些问题。（1）理解射线与直线主要借助两个手段：①利用多媒体演示线段向一端或两端无限延伸，但多媒体屏幕的有限性不利于学生对射线与直线的无限性进行理解；②通过举射线与直线的实例帮助理解，但现实生活中的线长度都有限，所举实例都不足以支撑学生对射线与直线的无限性进行理解。（2）射线与直线的画法是约定俗成的，属于规定性知识，但其在直观上给人以“有限”的感觉，不利于学生对射线与直线的无限性进行理解。
新课程改革以来，教材的编排有了改进，要求学生先初步认识线段，在此基础上认识射线与直线，这样的改进显然顺应了学生的认知规律。同时，新课程的教学理念也引导我们深入地思考数学与生活的关系。根据新课程的教学理念，我重新审视对“射线与直线”这一内容的教学：数学来源于生活，但又高于生活，数学不是客观事物的机械的反映，而是经过了“理想化”处理的，射线与直线的概念就是一个十分典型的例子。生活中本就没有射线与直线的实例，试图从生活中寻找实例来帮助理解，难免使教学陷入尴尬的境地。射线与直线的概念存在于人们大脑之中，是人们想象的产物，因此理解它们也应该主要依靠想象。在这种认识的指导下，我对射线与直线的教学进行了新的尝试，基本思路是让学生展开想象的翅膀，利用想象来建立概念。
红外线灯是经过精心选择的教具，我把两个红外线灯连在一起，可以向两边发射光线。它本身可以看成线段的模型，向一端发射光线时可看成射线的模型，向两端发射光线时可看成直线的模型。我用红外线灯演示3种不同的线，然后紧紧抓住一个问题引导学生展开想象：每条线分别是从哪里到哪里？通过对这个问题的深入讨论，学生能较好地理解什么是“无限延伸”，同时通过对这个问题的讨论突出了3种线的本质区别。
在教学中我也安排了“让学生举生活中射线与直线的例子”这一环节，但目的不是想借实例来帮助理解射线与直线，而是为了更好地触发学生的想象力。在举例中，学生发现很难找到恰当的例子，甚至连前面演示的灯光也不是严格意义上的射线。在学生一筹莫展之时，我明确指出，生活中本就没有射线与直线，它们存在于人们的想象之中，是想象的产物，然后引导学生展开想象，想象射线与直线的无限延伸。这样的处理是对数学与生活的关系的正确把握，同时也有利于培养学生正确的数学观。
在教学线段、射线与直线的画法时，我没有把这一规定性的知识简单化地传授给学生，而是先让学生找出画图时的困难点，然后放手让学生自己解决问题，尊重学生个性化的表示方法，通过各种表示方法的比较与评价，进一步认识3种线的特点，并认识到书上的方法是一种约定俗成的表示方法，画出来的端点只是一个符号，表示“到此为止”，没有画出端点则表示可以无限延伸。这样的教学有利于学生理解射线与直线的无限性，同时也避免给学生造成误解。
通过对这一内容的再次实践，我更坚信一点：数学是需要想象的科学。通过这样的教学，孩子们强烈地感受到，学习数学是需要展开想象的。
专家点评
“线段、射线与直线”是小学数学“空间与图形”中的一个基本内容，老师们不太喜欢拿它来上公开课，因为：①生活中缺少射线与直线的原型，学生不容易建立概念，也比较难以激发学习的兴趣；②从知识的性质来看，这基本上是一些规定性的知识，比较难体现教学的探究性；③如果把规定性的知识用传授的方法教给学生，学生不太容易接受，甚至会产生一些错误的认识，例如，笔直的线叫作“直线”；线段上有两个“比较大”的端点；从一点出发，朝一个方向“射”出去的线叫“射线”⋯⋯因此老师往往会左右为难。
郎老师对这节课的教学进行了有益的尝试，有一些独到而成功的做法，很有特色。
1.借助想象理解射线与直线的概念
有人认为数学是逻辑性很强的学科，因而觉得学习数学是不需要想象力的，这是对数学的一种误解！数学是关于模式的科学，数学学科的抽象性为数学活动提供了自由想象的空间。同时，数学来源于生活而又高于生活，数学不是生活的机械反映，数学中许多概念都基于想象。因此，数学活动“可以”而且“需要”展开丰富的想象。
射线与直线就是这样的例子。在生活中没有射线与直线的物理模型，即使有，学生也观察不到它的全貌，射线与直线存在于人们的想象之中，是想象的产物。有的老师在教这两个概念时努力地引导学生举出生活中的实例，想借实例来帮助学生理解，这是一种“缘木求鱼”之举！难怪始终走不出“现实中的线有限长”与“直线、射线无限长”的怪圈。
郎老师巧妙地利用红外线灯作为教具，演示3种不同的线，并紧紧抓住“这条线是从哪里到哪里”这个问题，引导学生进行想象，建立射线与直线的概念。郎老师也让学生举射线与直线的例子，但其目的不是借助实例帮助学生理解，而是通过“找”，让学生体会“找不到”，正在学生因“找不着”而困惑时，教师一语点破，使学生顿生豁然开朗之感，而教学也因此豁然开朗，这正可谓“置之死地而后生”。
2.把“规定性”的内容上出了“探究性”
我始终坚持这样的观点：能让学生自己探究的知识要尽可能地让学生自己探究，但探究学习的方式不可滥用。通常来说，“规定性”的知识是不太适合进行“探究式学习”的，但郎老师在这方面有了新的突破。
线段、射线与直线的画法是一个“规定性”的知识，数学上用画有两个端点的线表示线段、画出一个端点的线表示射线、不画端点的线表示直线。但如果我们只是把这种表示方法作为一种规定性知识传授给学生，学生容易产生误解，以为线段上的两个端点比别的点更大一些。而实际上，数学上所说的点是没有大小之分的。郎老师在上课时让学生想办法画出3种不同的线，学生提出了问题：“射线与直线是无限的，那该怎么画？”郎老师适时地放手让学生自己想办法解决这个难题，实践表明孩子是有创新天赋的，学生提出了一些很有价值的方法。
对于学生1，郎老师肯定其想法的合理性，然后告诉他：“数学上一般不用汉字表示某种含义，而是用数学符号。”
对于学生2，郎老师充分地肯定其能把语文中的省略号借用到数学中来表示“无限”这一含义的创新之举。
对于学生3，郎老师充分地表扬他能“反”着想，别人是想着如何表示出“无限延伸”，而他是用一个符号表示“到此为止，不延伸”，还告诉学生数学上正是用这样的方法来表示3种线的。这样，学生不仅掌握了3种线的画法，而且也理解了这样的画法是非常合理的。
在教学3种线读法的时候（这也是一个规定性的知识点），郎老师也把理解规定的合理性作为探究点。先示范直线的读法：在直线上任意取两点标上字母A和B，读作“直线AB”或“直线BA”。然后让学生探究用这样的方法表示线段时取哪两个点最好？为什么？表示射线时要取哪两个点？怎么读？通过探究明白：线段要取两个端点（确定了两个端点就能确定一条线段），射线只有一种读法（因为射线是有方向的）。
郎老师是如何把“规定性”的知识上出“探究性”的？剖析郎老师的教学过程可以看出，他把理解规定的合理性作为这类知识的探究点。提出问题后，他先让学生尝试解决，充分尊重学生个性化的想法，然后对各种观点、方法进行分析、比较、评价，体会各种观点、方法的优越性及局限性，从而体会规定的合理性。
针对规定性知识的教学，通过探究让学生理解规定的合理性与直接把规定告诉学生，其教学效果是不同的。
（江苏淮安天明教育集团校长卢专文）