以生为本的教学
——“垂直与平行”教学实录及评析
姚金玉 广东省东莞市塘厦第三小学
课堂实录
1.创设猜想情境
师：同学们，请注意看，（师出示两根小棒）这里有两根小棒，只要老师一松手，这两根小棒就会怎么样？
生（齐）：掉在地上。
师：对，会掉落在地上。那么，同学们来猜想一下，这两根掉落在地上的小棒会是怎样的一种位置关系？请同学们把自己的想法画在这张白纸上。
（学生动手把自己的猜想画在纸上，师巡视并挑选几个有代表性的作品。）
师：同学们刚才在自己的纸面上画了两条直直的线来表示那两根小棒，实际上是画出了在一个平面上两条直线的位置关系。（课件出示：平面上的两条直线的位置关系）
2.建构平行与垂直的概念
（1）相交与不相交的分类。
师：同学们请看，这是同学们画出来的几个比较有代表性的图形，老师把它贴在这里作为我们今天的研究对象。
师：为了方便研究，我们给它们编上序号。
师：请认真观察这几组图形，如果我们用分类的方法来研究它们。那么你们准备分几类？谁和谁是一类？怎么分？为什么这样分？请把你的分类方法写在本子上，然后和同学在小组里讨论学习，交流各自的想法。
（学生进行分类并在小组中进行讨论。）
师：好！哪位同学愿意代表你们小组上来说说？
生：我们小组认为分成两类，把图形①和②分为一类，把图形③和④分为一类。
（教师根据学生的分类调整图形摆的位置。）
师：你为什么要这样分？你的理由是什么？
生：①号和②号的图形是不交叉的，而③号和④号的图形是交叉的。
师：交叉？什么叫交叉啊？谁跟谁交叉啊？
生：（学生用手比画）是这条线和这条线交叉了。
师：（师在图形③中标出a和b，并指着说）你的意思是这条直线a和这条直线b互相交叉了？
生：对。
师：好了，同学们，不要总是说“交叉”，这在数学上称为“相交”（板书：相交），互相交叉就是相交。
师：同学们有没有发现，直线a和直线b相交以后有一个点，它也有一个名称，知道叫什么吗？
生：交点。
师：对，数学上把两条直线相交以后出现的点称为“交点”。
师：来，同学们一起来看④号图形，它有交点吗？
生：它也有交点。
师：你能到这儿来指一指它的交点吗？
生（指着④号图形）：这就是它的交点。
师：既然它有交点，说明这两条直线也——
生（齐）：相交！
师：③号和④号图形都是相交的，所以把它们放在一类。其他的两个图形，这位同学认为它们是不相交的，所以放在另一类。这位同学说得有没有道理？有没有同学有不一样的想法？
生：老师，我不同意他的分法。
师：你有什么想法？
生：我也认为分两类，不过①号图形是一类，其余图形是一类。
师：你这样分的依据是什么？
生：①号图形不相交，②③④号图形都是相交的。
师：我们刚才说了，两条直线，相交以后都会出现一个交点。③号和④号图形有交点，我们刚才已经研究过了，那②号图形有交点吗？
生：有！它是有交点的！
师：我们看不见呀！
生：直线是可以无限延长的，把②号图形的两条直线画长一点，它们就有交点了。
师：好，我们一起来看看课件的演示。（课件演示②号图形相交）
师：怎么样？
生：哦，原来这两条线延长后是可以相交的。
师：对，这两条线都是直线，可以无限延长，延长后，它们就相交了。
师：那①号图形呢？它会不会有这种延长后再相交的情况呢？我们一起再来看看①号图形，它们会不会相交？（课件演示①号图形不相交）
师；怎么样？
生（齐）：不相交！
师：那再延长一点，它们会不会相交呢？
生：老师，它们是永不相交的。
师：说得非常好，这种情况无论我们再怎么延长，它们都是永不相交的。
师：看来，我们把平面上两条直线的位置关系按照相交和永不相交分类，得到了——（师用手在黑板上比画）这是一类，这是另一类。
（2）一般相交与特殊相交的分类。
师：如果我们要对这3个图形进行进一步的分类（师指着相交的3个图形），你认为可以怎样分呢？为什么这样分呢？要不要和小组内的伙伴商量商量？
生：要。（学生在小组内进行交流、讨论）
师：都有结果了？好，让我们来分享一下各小组的研究成果。
师：对于这3个图形，你是怎样分类的呢？
生：我们小组是把快要相交的②号图形分为一类，把③号和④号已经相交了的图形分为一类。
师：嗯，这位同学是这样分的，还有没有不同意见？
生：把②号和③号图形分为一类，④号图形为一类。
师：你为什么要这样分呢？说说你的想法。
生：②号和③号图形中的两条直线是斜斜地相交的，④号图形中相交的两条直线是直直的。
师：同学们注意看，这些直线相交后都形成了几个角？
生：4个角。
师：这些角有特点吗？
生：②号和③号图形相交后形成的角都是锐角和钝角，而④号图形形成的角是直角。
师：是直角吗？我们找个工具来验证一下。
（老师用三角板的直角把4个角都进行一次比量。）
师：两条直线相交以后形成的4个角都是直角，这种情况蛮特别的！按照这位同学说的，我们可以把这种比较特别的情况分为一类，而其他相交后的角都不是直角的分为一类。
（3）理解平行与垂直的概念。
师：同学们，我们把几位同学为我们提供的图形进行了分类（师用笔在黑板上圈一圈），这是第一类，这是第二类。数学上把这第一类当中的两条直线的位置关系称为什么呢？像这样的（师指着另一边）两条直线的位置关系又称为什么呢？（师拿起数学书）
师：请同学们打开课本第56页，认真读一读书上是怎么描述的。
师：读懂了吗？
师：哪位同学愿意来做小老师，说一说。
生：这种情况是平行。
师：老师平时都是边讲课边写字的，你现在做老师，把你的结论写下来嘛！
（学生边讲解边板书：平行。）
师：你为什么在这里写平行，而不在这里写平行呢？（教师指着第二类）
生：第二类叫“垂直”。
师：那到底什么叫作“平行”啊？
生：在同一平面内，不相交的两条直线是平行的。
师：小老师，你不是应该在下面也写几个字吗？
（学生在平行下面板书：不相交。）
师：写得好，大家给他掌声。
师：有没有要补充的。
生：互相平行。
师：说得真好，你来把它写下来。
（学生到黑板上板书：互相。）
师：什么是互相平行啊？
生：这条线跟那条线平行，那条线也跟这条线平行，这就叫作“互相平行”。
师：你是说这条直线a跟直线b平行，直线b也跟直线a平行，这就叫作“互相平行”。
生：老师，我想讲一下互相垂直的情况。
师：呀！厉害，什么情况下互相垂直？
生：两条直线相交成直角的时候，这两条直线就互相垂直了。
师：你怎么理解互相垂直呢？
生：就是直线a是直线b的垂线，直线b是直线a的垂线，它们是互相垂直的。
生：我还知道两条直线互相垂直的交点叫“垂足”。
师：说得真好！（师板书：垂足）
师：（师指着一般相交的情况）这种情况呢？有没有同学想讲讲？
生：这是相交。
师：刚刚同学们讲的相交当中，互相垂直是比较特殊的相交。其实，两条直线的位置关系，相交以后可能是互相垂直的，但是更多的是这样一种情况，那就是不互相垂直。如果互相垂直是一种特殊的相交，那么这两个图形的关系我们就把它叫作什么啊？
生：一般相交。
（师板书：一般相交。）
3.回应“猜一猜”
师：同学们对刚才老师掉在地上的两根小棒可能出现的位置关系进行了猜想，也研究过了，但这只是同学们的猜想，到底这两根小棒的位置关系是不是跟你猜想的差不多呢？想知道吗？
生：想！
师：哪位同学愿意把老师掉在地面上的两根小棒的位置关系用照相机拍下来给同学们看看？
（请一位同学上台拍照。）
师：谁来说说老师掉的两根小棒的位置关系？它是平行还是垂直的？
生：都不是。
师：都不是？那它属于什么情况？
生：只是一般的相交。
师：啊！原来它只是一般的相交。这两根小棒形成平行或垂直的情况，是非常特殊的情况。更多的是这种情况——一般相交。
师：老师带同学们玩这个将小棒扔到地面的游戏，引起同学们对同一平面上两条直线的位置关系的研究。这就是我们今天的学习内容：垂直与平行。
4.寻找生活中的垂直与平行
师：同学们，我们知道了在同一个平面内的两条直线的位置关系可能是互相平行，也可能是特殊相交中的互相垂直。其实呀，我们每天都和这些平行线和垂线打交道。现在请同学们一起来欣赏一下。
（课件演示：生活中的垂直与平行。）
师：其实，除了图片中的垂线和平行线以外，在我们的教室里也有垂线和平行线。请同学们找一找。
师：谁愿意来说说你找到了哪些垂线和平行线？
生：我发现天花板上的两条梁是互相平行的。
师：有没发现垂线？
生：我还发现了黑板的这两条边是互相垂直的（学生走到黑板前用手指着黑板的边说）。
师：请将你发现的垂线和平行线指给同桌看看。
（学生互相交流。）
5.巩固练习
师：同学们找到的垂线和平行线真不少，而且还能跟同伴分享自己的发现，这一点做得太好了。
师：其实，除了刚才同学们找到的垂线与平行线，在一些字母中也有互相垂直与互相平行的有趣现象。我们一起来看看。
（课件出示。）
师：你能从中找到垂直与平行吗？能不能把你的发现跟你的小伙伴说一说？
（学生看着课件愉快地交流。）
生：我发现F中的两条横线就是互相平行的。
师：有互相垂直的线吗？
生：有啊！横的线跟竖的线就是互相垂直的。
师：还有发现吗？
生：L中的竖线和横线就是互相垂直的。
生：还有，H中既有垂线又有平行线。
师：我们的汉字中也有这种有趣的现象，我们一起来看看，这是——
生：这是表示垂直的“垂”字。
师：对！在“垂”字中也藏着很多垂线与平行线。现在请小组同学一起合作，看看哪个小组找到的垂线与平行线多。
（学生在小组内讨论，并进行交流。）
师：哪位同学愿意到这儿来把这些藏着的垂线与平行线找出来？
生：我们找到4组垂线和4组平行线。
（学生到屏幕前指出自己找到的4组垂线和4组平行线。）
师：其他小组有没有找到？
生：我们小组还找到了另外两组垂线。
（学生在屏幕前指出自己找到的另外两组垂线。）
师：同学们都找到不少垂线和平行线，看来垂直与平行在我们生活中是无处不在的。只要我们用心观察，一定能找到更多的垂直与平行。
6.拓展
师：现在老师给大家变个魔术。请看，老师这里有一个长方体，这是长方体的其中一面，这里有一条线，这里也有一条线（出示长方体模型）。
师：这两条直线的位置关系是——
生：互相平行。
师：好了，现在老师变个魔术（把长方体转动一下）。
师：现在这两条直线还平行吗？
生；不平行。
师：不平行，那就该相交了？因为刚才讲了，两条直线的位置关系要么是平行，要么就是相交。
师：它们不相交，又不平行。到底哪里出问题了？
生：它们不在同一个面上。
师：你的意思是说，刚才这两条直线是在同一个平面内，现在转一转以后就不在同一个平面内了是吗？
生：是！
师：今天老师把这个教具转一转，目的是让同学们受到这样的启发——我们今天研究的平行或垂直，它一定是在同一个平面上的。
师：下课之前，我们一起分享这节课里的收获，有哪些？谁先说？
⋯⋯
教学反思
我曾设计了两个不同的教学情境在不同的班试教。第一次上课时，我让学生把一张纸想象成一个可以无限扩大的面，并让他们在纸面上画出两条直线的位置关系。第二次上课，我把两根小棒扔在地上，让学生画出两条直线的位置关系。上完这两节课以后，我发现第二次试教时学生的兴趣要浓厚得多。然而，有一点使我感到困惑：就这样扔一扔、画一画，就算了？能不能把这一情境暗含的数学知识作为研究的对象，一直延伸到课的最后呢？于是，我想到了这样的过渡——“同学们刚才在自己的纸面上画了两条直直的线来表示那两根小棒，实际上是画出了在一个平面上两条直线的位置关系”，然后在这个基础上组织学生进行分类探究。
该如何处理“在同一平面内”这一概念呢？对于四年级学生来说，“在同一平面内”这个概念看似容易，其实要真正理解是有难度的。要怎么做才能让学生更容易理解“在同一平面内”这个概念呢？我想到了“小魔术”——长方体转一转的教学环节。同时，我还想到，既然是“在同一平面内”，就让学生看到这个平面。在学生提供的作品纸面上，我把“面”画出来，学生又有了一次直观的认识。
在这节课上，我不只把讲台交给学生，连板书的任务也给了学生，让学生真正成为课堂的主人。
专家点评
本节课注重沟通数学与生活的联系，学生活动充分，概念建构完整，教学思路清晰。
课上，教师引领学生经历了以下学习过程。
1.描画情境
教师首先创设了一个生活情境——
师：这里有两根小棒，只要老师一松手，这两根小棒就会怎么样？
⋯⋯
接着就请学生描画一下小棒掉落后的情形——
⋯⋯
师：同学们来猜想一下，这两根掉落在地上的小棒会是怎样的一种位置关系。请同学们把自己的想法画在这张白纸上。
⋯⋯
这一环节最重要的成果是，同学们自己动手描画出了关于“在同一平面内两条直线的位置关系”的几种具体情形（课上列举了4种），为下面的研究准备好了素材，接下来的研究就都围绕上述素材展开了。
2.分类
⋯⋯
师：请认真观察这几组图形，如果我们用分类的方法来研究它们，那么你们准备分几类？谁和谁是一类？怎么分？为什么这样分？
⋯⋯
通过引领学生对上述4种情形进行分类，让学生明白“在同一平面内两条直线的位置关系”实际上只有两种情形，那就是“相交”和“不相交”。其中，那种“永不相交”的情形是“蛮特别的”一种。
此时教师并没有提出“平行”这一概念，学生仅仅积累了关于“平行”的一些感性认识。
3.进一步分类
⋯⋯
师：如果我们要对这3个图形进行进一步的分类（师指着相交的3个图形）。你认为可以怎样分呢？为什么这样分呢？
⋯⋯
如果对“相交”的3种情形进一步细分，又有“一般相交”和“垂直相交”之别。
同样的，教师在这里也没有提出“垂直”这一概念，只是说“两条直线相交以后形成的四个角都是直角，这种情况蛮特别的！”
4.构建概念
积累充分的感性经验是概念教学必不可少的基本环节，但帮助学生将感性经验提升为严谨的数学概念，更是概念教学的关键环节。
通过认真阅读教材和恰到好处的设问、点拨，教师帮助学生建构起了“垂直”与“平行”两个数学概念。
5.回归生活
通过欣赏、举例和集体讨论，教师又引领学生们研究了生活中大量存在的“垂直”和“平行”现象，重新赋予了“垂直”和“平行”这两个数学概念活的灵魂。
6.拓展突破
在关于“垂直”与“平行”两个数学概念的描述中，“在同一平面内”是学生很难理解的一句话。为此，姚老师专门设计了一个“拓展”环节，借助多媒体课件展示“转动长方体”的具体过程，使学生实实在在地看到了不同平面的产生过程，进而帮助学生理解：对于任意两条直线而言，它们可能在同一平面内，也可能不在同一平面内；而“垂直”和“平行”这两个数学概念所描述的正是在同一平面内的两条直线的位置关系。
不难看出，上述教学过程具有以下特点：
（1）教学环节的设置基本符合学生的认知规律。
这节课让学生经历了由感性经验的累积到数学概念的构建，继而回归生活，赋予数学概念活的灵魂这样一个完整的学习过程，使学生所认识的“垂直”和“平行”这两个概念既严谨、准确，又有血有肉。
（2）较好地体现了新课标所倡导的“学生是数学学习的主人”的教育理念。
从描画情境产生研究素材，到通过分类探讨不同情形的特点；从通过有效的数学活动积累感性经验，到通过阅读教材升华感性经验，建构数学概念⋯⋯整节课我们看不到教师越俎代庖的痕迹，恰恰相反，我们看到的只有学生自主的探索，包括他们孜孜以求的精神状态和思维碰撞的火花。
当然，这也反衬出作为学生数学学习活动组织者、引导者与合作者的姚老师在课堂上的角色定位是准确的，她的引导、点拨、讲解火候精当，恰到好处。
对本节课我提出两点建议：
（1）从描画“两根小棒掉落地面”的生活情境，转到研究“在同一平面内两条直线的位置关系”，其中有一个转化过程，这样就人为地加大了学生的思维负担；不仅如此，具象的事物——“小棒”，对于学生理解两条直线“延长后相交”或“延长后不相交”有明显的思维抑制效应。因此，可以直接让学生在同一张纸上画出两条直线，这样开门见山，可能更好。
（2）如上所述，帮助学生将感性经验提升为严谨的数学概念是非常关键的环节，课上仅让学生看书辅之以教师少量的设问和点拨，有将学生思维提升的过程过度简化之嫌；而且，这里是将“垂直”和“平行”两个概念一并“提升”，更显其仓促与不足之处。建议将“垂直”和“平行”这两个概念分开来教学。当学生积累了较充分的关于“平行”的感性经验以后，就可以引导学生总结、提炼、概括“平行”的概念，并及时辅之以必要的辨析、判断等练习；当学生积累了较充分的关于“垂直”的感性经验以后，同样应该引导学生总结、提炼、概括“垂直”的概念，辅之以必要的练习。这样既可以分散难点，也可以突出重点，可谓一举两得。
（广东省东莞市塘厦镇教育办公室副主任杨国华）