分步推进，自主探究
——“多边形的内角和”教学实录及评析
李蓉 广东省深圳市深圳小学
课堂实录
1.提出问题
师：同学们，上节课我们学习了三角形内角和的知识，知道了三角形的内角和是180°。如果有一个含60°的三角形，去掉一个60°的角，剩下的图形内角和是多少度？请大家动手算一算，然后与同学们交流一下自己的想法。
生：去掉60°的角，剩下的图形还是三角形，所以内角和不变，还是180°。
生：如果这样做，剩下的图形变成了四边形，内角和就不一定是180°了。
师：大家通过尝试得到了两种不同的结论，请大家继续发表意见。
生：我认为剩下的图形不管是什么形状，内角和都不会改变，还是180°。
生：我认为去掉60°的角以后，剩下的图形不再是三角形，形状改变，内角和度数也会改变。
师：有的同学认为由三角形变成四边形，度数改变了。请大家猜一猜，改变形状之后的这个图形的内角和可能是多少度？
生：我认为可能是360°。
生：我觉得可能是540°。
生：我认为四边形的内角和不确定。
师：那么四边形的内角和到底是多少度呢？这节课我们就共同来研究多边形内角和。
［评析：教师以一个开放性的数学问题直接引入这节课的主题，用一个看似很容易的问题引起了学生的认识冲突，也引起了学生的探究兴趣；学生在自觉或不自觉的状态下把眼光集中在“四边形的内角和”上，自然地实现了本节课的第一次推进。这说明教师对数学问题本身的魅力领悟到位、运用娴熟。］
2.研究过程
师：请大家回想一下我们上节课是用什么方法得到三角形内角和是180°这一结论的？
生1：用量角器量出三角形3个内角的度数，然后把3个角的度数加起来。
生2：我们是把三角形的3个角折一下拼在一起，正好拼成一个平角，所以是180°。
生3：我们是把两个完全相同的直角三角形拼起来，拼成一个长方形，利用长方形的内角和是360°推导出三角形内角和是180°。
师：同学们通过不同的途径解决了问题。刚才第3位同学所说的根据已知长方形的内角和推出三角形的内角和的办法非常新颖，他将新问题转化成旧知识，再用旧知识来解决新问题。这种方法是数学上非常重要的一种学习方法——转化的方法。今天我们就尝试运用转化的方法来解决问题。下面请每位同学任意画一个四边形，尝试用转化的方法求出它的内角和。
（学生自由尝试，很快得出结论。教师请2~3名同学展示他们的图形及得出的结论。）
生：我把一个四边形分成两个三角形，所以四边形的内角和是180°乘2等于360°。
生：任何一个四边形都能转化成两个三角形，所以我认为四边形内角和是两个180°，也就是360°。
［评析：教师从数学方法入手去引导学生解决新的数学问题，这在一般的课堂教学中是不多见的。事实上，这一环节的关键就是数学方法。教师点到为止，至于如何运用转化法，仍由学生自己去完成。这样，本节课的第2次推进也是由学生完成的，由此不难看出教师对学生主体地位的尊重。］
师：同学们通过探究操作解决了刚才争执的问题，知道了任意四边形的内角和都是360°。那么五边形、六边形、七边形等多边形的内角和又是多少度呢？老师为每一位同学准备了一张工作表，请大家先仔细研究你要解决的问题，并思考用什么方法解决，然后小组合作，共同讨论，完成任务。请同学们先把自己的想法写下来，然后再与小组内的同学交流一下，共同完成下表。
几边形图形方法内角和五边形六边形七边形八边形我的发现生：我们小组在五边形内画了2条线段，将五边形转化成了3个三角形，一个三角形的内角和是180°，3个三角形的内角和是3个180°，即540°（如下图）。
生：我们小组通过动手操作发现，六边形可以分为4个三角形，从而推出内角和是4个180°，即720°（如图）
［评析：以四边形为研究对象，在知识和方法上有了突破之后，顺势提出五边形、六边形、七边形、八边形的内角和问题，这既是教学本身发展的需要，也是满足学生刚刚燃烧起来的探究欲望的需要，学生对教学的第3次推进也很自然的实现了。值得注意的是，如果说前面对四边形的研究带有很浓的“摸着石头过河”的感觉，那么这一环节就显得很理性了，而这正是数学发现的必然规律。可以看出，“让学生经历数学发现的过程”，这是教师的刻意追求。］
师：同学们做得很好，通过自己的探究解决了问题。如果让你求出20边形的内角和，你打算怎么办？
生：画一个20边形，看能分成多少个三角形，然后求出内角和。
生：如果要求一个30边形的内角和，你还打算这样画下去吗？
生：我认为我们可以继续研究下去，看其中存在什么规律？
师：说得好，老师也建议大家把刚才的结论在小组内再研究一下，看能不能发现什么规律？
（小组讨论，教师巡回指导。）
生：我们小组发现三角形内角和是180°，此后每增加一条边，内角和就会增加180°。
生：也就是说，边数增加1，度数增加180°。
生：三角形内角和是1个180°，四边形是2个180°，五边形是3个180°。
生：我知道了，多边形内角和的规律是“边数减2的差，再乘180，即内角和的度数”。
师：真了不起，人们经过多年的探索才发现的规律，同学们在短短的一节课时间内就领悟了。不过数学家往往愿意用字母公式来表示他们发现的规律，请大家也尝试一下，看能不能用一个公式把多边形内角和表示出来。
（师生共同归纳：（n-2）×180°。）
［评析：课堂上我们发现，当走完第3个环节时，学生没有满足，这时教师顺势再加“一把火”，让学生的认识再提高一个层次，这节课的精彩之处也就出现了！教师以新的具体学习任务（求20边形的内角和），引发了学生新的认知冲突，而且这种冲突是由学生自己揭示出来的，当然，学生解读冲突的欲望也是最强烈的。可以感受到，在这一环节的推进过程中，师生都是充满激情的。］
生：我们小组还有其他的方法。我们小组也是把多边形转化成三角形，只不过与其他小组的方法有些不同，但是结果相同。我们是在四边形、五边形、六边形内任取一点，然后与多边形的顶点连接，分别分成4个、5个、6个三角形。
师：你们能不能投影出你们的工作表，对照着工作表来讲？（学生投影工作表）
多边形图形方法内角和五边形180°×5=900°
900°-360°=540°六边形180°×6=1080°
1080°-360°=720°续表
多边形图形方法内角和七边形180°×7=1260°
1260°-360°=900°八边形180°×8=1440°
1440°-360°=1080°我的发现180°乘边数减去中间的360°周角，就得出多边形的内角和。生：先求出4个三角形的内角和，即180°乘4，再减去中间周角的度数，就得出这个四边形的内角和是360°。求5个三角形的内角和用180°乘5，再减去中间周角的度数，就得出这个五边形的内角和是540°。
⋯⋯
生：老师，我还想补充一点。我认为，刚才这两组同学的发现其实是相同的，可以用一个式子表示。因为把360°分解成2乘180°，根据乘法分配律，还是边数减2的差乘180°，所以两种方法都可以归纳为：多边形的内角和等于边数减2的差乘180°。
师：真精彩！看来同学们今天都动了脑筋，不仅学会了运用转化的方法，而且还能创造性地运用，并把以前学过的知识运用在解决新的问题上，希望同学们在今后的学习中也能像今天这样，勤动手，多思考。
［评析：太精彩了！我们能够想象这一组同学当时是多么的按捺不住！同时我们也能感觉到教师在得出结论上有些操之过急了，差一点把这个难得的精彩扼杀了。看来在课堂教学中，全面的信息反馈、给学生充分发表自己意见的机会是多么的重要！］
3.拓展深化
师：现在我们要求多边形的内角和已经是一件很容易的事了。请算一算20边形的内角和是多少？100边形的内角和是多少？
（学生计算，与全班同学交流计算结果。）
师：今天我们通过自己研究，解决了求多边形的内角和的问题，大家运用所学知识将一个复杂的问题转化得简单而又易于操作，得到了一个很有价值的计算办法。老师还想请大家思考一下，像图3这样的多边形的内角和与上面的有没有不同？是不是也存在类似的规律呢？请有兴趣的同学们在课后继续研究。
教学反思
浅层的学习活动不具备挑战性，一味在兴趣上迎合、敷衍学生是对其智慧的不尊重，真正的数学教学应该让学生去经历一些现实的、富有挑战性的问题，让其面临“心求通而未能，口欲言而弗达”的“悱愤”状态，去理解感受数学的思想和观念、过程和方法，去发展数学思考能力。如何把简单的数学内容讲得生动，讲出数学味？我认为这节课针对上述教学目标取得了令人兴奋的效果。
学生在学习三角形内角和时，学习过程中的动手操作、验证推理的思想方法对进一步学习多边形内角和很有帮助。本知识点虽然只是一道课后思维拓展题，只要求学生初步了解、发现规律，重点放在初中讲解，但我相信如果精心设计，这一学习过程将成为学生的智慧之旅。因此，我对教材进行深度挖掘和加工，试图上出一节有数学味的数学课。
数学味，源自对教学内容的智慧加工。通过这节课的学习，学生能够体会从简单到复杂、从特殊到一般和转化等重要的思想方法。比如，由三角形变为四边形，内角和发生变化后，学生有理有据地猜测；将四边形、五边形转化为三角形解决问题对学生学习方法的启迪；在探究多边形边与角的关系时，通过工作表的运用，让学生经历科学家那样的研究过程，培养探究合作精神；运用学过的数学知识深化对多边形内角和的认识时，学生的精彩发现。这些无不源于对教材的科学加工，并且渗透了转化这一重要的数学学习方法。要学好这样的数学，需要数学思考的介入，需要空间观念的帮忙，需要情感意志的参与，是行为、情感和认知共同参与的过程。其中的智力激荡、困惑与惊喜等情绪体验都会使学生欲罢不能、终生难忘。
数学味，源自对学生潜能的充分尊重。托兰斯指出，要在承认儿童具有可开发的巨大创造潜能的基础上，为其提供新的机会，让儿童能够独立地进行创造性的学习或其他活动，从而培养儿童的自信心和创造性。本节课完全顺应学生的思维，引导学生采取观察—实验—猜想—验证—归纳—推理—交流—类比等学习方法，教会学生学习。以全动、互动、主动等多种学习方式，顺应学生的思维过程；通过探索多边形内角和公式，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并有效地解决问题。
专家点评
这节课在以下几个方面是值得肯定的。
一是自始至终置学生于推进教学过程的主体，让学生参与课堂教学，说明教师在备课和上课时“心中有学生”。
二是整节课有一个鲜明的探究主线和层次，说明教师在备课时已经做到了“心中有课”。
三是教师坚持“让学生经历数学发现的过程”，给人的感觉是，学生不是在听课，而是像数学家一样在“做数学”，让学生充分感受到了“数学化”的过程。
四是以问题为核心组织开展学习活动，并把问题隐藏在具体的学习任务之中来设计教学环节，这保证了学生的自主探究成为可能，而且能够实现预期的目标。
这节课也引起了笔者的两点思考。
一是整节课的数学味很浓，学生探究得也很有味、很有效。这是否告诉我们在对“数学生活化、生活数学化”的新课程理念的理解上应该更灵活一些、更宽泛一些呢？
二是整节课以学生的自主探究为核心，重在学生自己解决问题、发现规律，而没有让学生发现问题、提出问题。这是否淡化了学生的主体地位？如何让学生从生活中提出数学问题、从数学中提出新的数学问题呢？
（深圳小学副校长王纯旗）