让学生在自我体验中学习数学
——“长方形和正方形的周长”教学实录及评析
刘永宽 宁海县实验小学教育集团
课堂实录
1.感知周长，认识周长的含义
师：今天老师带来了一些平面图形（板书：平面图形）。如果你们认识，就说出它的名字。（师逐张出示图纸，并贴在黑板上）
［评析：可以看出，刘老师在课前进行了大量精心的“软设计”，如几种图形的选择。在课堂教学中，教师恰当地运用教具，能加强教学的直观性，提高课堂效率，增大知识密度，突破难点，突出重点，减轻学生的记忆理解负担，提高学生的学习兴趣。］
生（依次说）：长方形、正方形、三角形、圆、月亮形。
师：什么?（师指着黑板上的月亮形）半圆是半个圆，那这里有没有半个圆呢?
生（齐）：没有。
师：那叫它什么好呢?
生：弯月形。
师：月亮形、弯月形都行。
（师将弯月形图纸贴到黑板上，然后手拿阶梯形图纸。）
生：梯形。
师：对，梯形。数学上的梯形不是这样的，现在大家说的梯形指的是什么啊?
生：楼梯。
师：对，楼梯、台阶，有点像台阶一级一级的，那就叫它台阶形好了。
生：对，台阶形。
（师将台阶形图纸贴到黑板上，手拿一张五角形的图纸。）
生：五角星形。
师：这个是五角星，大家认识的五角星。
（师将五角形图纸贴到黑板上，手拿一张多边形的图纸。）
生：菱形。
师：啊?菱形啊。不太认识了吧!（师做剪图纸的动作）老师随便剪下来的，不太规则，你们说像什么就叫它什么形好了。
生：曲形。
师：曲形?
生：环形。
师：反正是一个不知名的，那就叫不知名形、不规则形。（师将不规则图纸贴到黑板上）现在黑板上有8个图形，在这8个平面图形当中，你最喜欢哪一个呢?
［评析：在数学教学中不断发展学生的观察能力，不但是上好数学课的需要，而且还能促进学生实现从感性认识到理性认识的转变，促进学生判断分析能力、逻辑思维能力的增强，为以后学好其他各门学科知识打下良好的基础，从而提高学生的综合素质。］
生：选好了。
师：改不改?
生（齐）：不改。
师：喜欢长方形的请举手!噢！一位。喜欢正方形的举手，（停顿）一位。喜欢三角形的举手，没有，都不喜欢。圆，喜欢这个圆的，有！好，放下。喜欢月牙形的，（停顿）也没有。喜欢台阶形的，噢!有五六位。喜欢不知名形的，有一位。喜欢五角形的，（众生举手）哈哈，都喜欢五角形。今天这节课，刘老师和大家一起来研究这些平面图形的周长。（板书：周长）你们听说过周长吗?
［评析：课堂气氛是影响课堂教学效率的一个重要因素，刘老师在与学生愉快地交流图形问题的同时，很自然地引出了图形的周长。］
生：没有。
生：听说过。
师：你听说过，哪里听到的?
生：书上看的。
师：你呢?
生：不是在书上看的，是听说的。
师：噢!不是在书上看的，是你了解到的。听到的，书上看到的，还有吗?
生：我妈妈说的。
师：你知道周长是什么意思吗？
生：不知道。
师：有几位同学可能知道一二。那么你们这些同学等会儿上课的时候，把你们所知道的都告诉旁边的同学，好不好?
生：好!
师：现在请你们来猜一猜周长大概是什么意思？
［评析：著名教育家苏霍姆林斯基曾说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者，而在儿童的精神世界中，这种需要特别强烈。”在小学教学过程中，要让学生主动探索，就必须使学生对所学的知识产生浓厚的兴趣。因为兴趣是积极主动地探索事物的心理倾向，它能充分调动学生的感知、记忆、想象、思维等功能，使其进入学习的最佳状态。课堂上，刘老师把枯燥的数学知识巧妙地与实际生活联系起来，不仅让学生倍感亲切，而且，恰当地提问也激发了学生探究的动力。］
生：4条边有多长。
师：4条边有多长就是周长，还有其他同学想说吗?
生：就是从一个地方起，再用一个圆接上去。
师：你怎么想到的?
生（指着书桌上的铅笔盒）：就是从这里开始，再画个圈到这里。
师：这个就是周长，是吧?
生：就是数的总长。
师：总长?还有其他想说的吗?
生：比如说，正方形，把它4条边长加起来，就是它的周长。
生：周长就是总的长度。
师：总的长度?同学们都有自己的想法，一位同学拿着他的铅笔盒比画过了，现在你能不能到上面来，把你喜欢的这个图形的周长是指哪一个长度，比画给大家看?
生1：好。
师：大家看一下，这位同学喜欢什么图形?他所比画的这个长度是不是这个图形的周长呢?
生2（指着五角星上的一个点）：就是从起点开始，转一个圈，又转到起点。
师：你是这样想的，是吧?同学们，比画得怎么样?好，还行！还有想比画的吗?
生3：从那个月牙形的起点开始，弯弯弯，再弯到它的起点，应该是连着边量的。
师（点头）：对，刚才这几位同学讲得有点道理。大家看，周是什么意思啊?（板书：周）
生：周围的意思。
师：周围、一周。长呢?
生：长度。
师：那么周长就是围成一周的——（板书：围成）
生：总长度。
师：封闭图形（停顿）一周的长度，就是它们的——
生：周长。（板书：一周的长度）
［评析：“学而不思则罔，思而不学则殆。”思考和质疑往往是联系在一起的，质疑是动脑思考的结果，也是学生创造的起点。课堂教学是训练学生独立思考能力的地方，教师应以巧妙的技艺让每个学生都能充分地进行独立思考。思考往往是从问题开始的。刘老师通过让学生说出自己喜欢的图形，并要求大概说出周长的定义，引出了本课的重点。］
师：好，大家看（师指月牙形图纸），刚才这位同学指的这个周长从这里开始，过来，过来，再回到起点，这是它的周长。哪位同学再来试试看，这个五角星，喜欢它的同学很多，它的周长是什么呢?
生：它的周长是从起点沿着这条边一直走，再回到起点。
师：对!哪位小朋友来指一指三角形的周长?
生：从这里开始回到原地。
师：对不对?
生：对。
师：好，看这个（师手拿台阶形图纸，指生1）图形的周长。
生1：从这里开始，一直到开始的地方。
师：对！好，圆，谁来?
生2：从这里，一直转，转回到原位。
师：有道理吧?
生：有!
师：正方形谁来?（指生3）你来。（生3用手指比画）好，有道理吧!长方形有人喜欢吗?我们伸出手指，一起来指好吗?
生：好!
师：从这里，再回到这里。那么这个长度就是这个长方形的——
生：周长。
师：很多物体的面也是一个平面图形。下面老师拿一个很难指的图形。我们一起来看看这个物体。
师：树叶它也有个面，这个面的周长是指哪里呢?
（生4用手比画。）
师：同学们有意见，哪里有意见?
生：老师，他没有比画叶柄。
师：叶柄?如果叶柄不算，上边叶子的面的周长是对的。如果算整片叶子再加个叶柄的话，叶柄还要怎么样?
生：弯下来。
师：还要弯下来。不错!理解得很好!大家再想想，在我们这个教室里找一找，你找的物体的面的周长在哪里？
［评析：学生在探究中发生“偏离”时，刘老师能让其他学生给予同伴帮助，而不是自己武断地判真伪、说优劣、下结论。让学生把一些不规则的图形集中在一起进行探究，使学生对周长的概念有了更加深刻的认识。］
生：黑板。
师：黑板的周长。
生：从那里开始——（生用手指比画）
生：橡皮擦的周长是从这里开始，这样一直弯，沿着边到这里。
师：这就是它的周长。
生：尺子的周长是从这里到这里，再返回原地。
师：不错!
生：这个本子的周长是从这里然后再到这儿。
师：长方形的周长都有了，不错，不错!很多物体都有面，都有一个周长。如果我们要知道周长到底是多少，有什么办法吗?大家都有一个自己喜欢的图形，现在请你研究自己喜欢的图形。怎么才能知道这个图形的周长是多少，为什么?
（学生讨论，老师巡视。）
师：想好了吗?如果想好了再想想其他图形。好，如果感觉到你喜欢的图形太简单了，那就找一个难一点的图形。如果你喜欢的图形太难了，那就找一个简单的图形。把你想到的办法告诉旁边的同学。（学生相互讨论）
2.研究求周长的策略
师（从黑板上拿下红色三角形）：像这个三角形，如果现在要知道它的周长，用什么办法?
生：用尺子量。
师：怎么量?（生1把尺子放在红色三角形的一边上）把这边量出来，然后呢?
生1：然后把这3条边的长度加起来。
师：把这3条边量出来，然后加起来，三角形的周长就知道了。这个办法可行吗?
生：可行。
师：想得很好!（师从黑板上拿下绿色圆图纸）这个用什么方法?你说!
生2：用圆尺把它量出来，然后再加起来。
师：圆尺子，用圆的尺子把它量出来。这位同学提供了一个圆的尺子。（手拿量角器）这也是一把尺子，但这个叫“量角器”，是量角的大小的，不是量长短的。它量出来的是角度，不是长度，所以行不通。
生：用软的尺子。
师：怎么样才是弯的软的尺子?
生：就是那个量腰的。
师：量腰的?妈妈做衣服的那种软尺子拿来这么一围（师比画）就知道了，是吧，聪明！硬的不行，就来软的（众笑）。体育老师有一根皮尺是不是软的?木工师傅的卷尺也有点软，对吧?
师：尺子没有，弄根绳子好了，对不对?绳子老师倒是带来了（师拿出一根绳子）。老师还带来了一个大一点的图片，很好围，请这位女同学来围一围。
生3：就是先按住绳子，再围起来，围到这里，在这里点一个点，再把这个绳子拿出来用尺子量一下。
师：好，有同学鼓掌了!真不错!用这个办法简单，量一量就清楚了。假如老师这根绳子没带，只有这么一个图片，只有这么一根直尺，那怎么办?
生：把圆片在直尺上滚动就行。
师：这个同学说把尺子放着好了，在这里做一点记号，然后滚过去，像自行车轮胎一样滚过去，滚到这个记号就可以了，这个办法可行吗?
生：可行。
师：这个办法可行!只要动脑子，总有办法的。（师从黑板上拿下月牙形图纸）这个用什么办法量？软尺子行不行?
生：行。
［评析：根据建构主义理论，学生的学习是在原有经验的基础上，通过不断地与新信息进行交流和思维“碰撞”，在彼此的相互作用中，逐渐生长出新知识，即在头脑中建构出新的认知模式。在这一过程中，学生原有经验的激发以及与新知识的交互作用是建构认知模式的关键。因此，刘老师首先对学生的学习基础和相关经验做了尽可能多的了解，体会他们的感受，这种做法是值得其他教师们借鉴的。］
师：软尺子没有，用绳子围，再量，行不行?
生：行。
师：放在尺子上滚过去，行不行?
生：不行。
师：（师拿出一个大的月牙形图片）大一点好做一些。你们看，在这里做个记号，滚过去，行不行?
生：不行。
师：能不能滚过去?
师：哎呀，凸出来的部分我们可以滚，里边凹进去的这条线段我们就滚不出来了。（师从黑板上拿下蓝色台阶形图纸）用什么办法?
生：用尺子一条条量出来。
师：量出来，然后呢?
生：加起来。
师：都把它量出来，然后加起来，不就好了吗?好的。（师从黑板上拿下五角形图纸，学生说，教师比画，课堂气氛很活跃）先量，后加——（指生4）我说量，他说不用，为什么不用?
生4：先量出1条，然后乘边数。
师：量1条，乘几？
生4：乘10。
师：刚才那位同学的办法是量1条边的长度乘10，这么好的办法，谁还有问题，（指着举手的学生）你说。
生（指五角形）：如果这条边长，这条边短，怎么乘?
师：对，假如这个五角形不规则，也是1条边的长度乘10吗?他的话有道理吧?
生：有道理。
师（从黑板上取下正方形图纸）：这个怎么办呢?
（学生争先恐后地举手。）
［评析：先让学生相互讨论，研究自己的图形，然后，刘老师分别拿出具有代表性的三角形、圆和月牙形等让学生探究测量其周长，这样可以帮助学生纠正错误的理解，进一步加深对周长的正确理解。在精心设计学生认知“顺应”过程的同时，巧妙地安排学生进行认知的“同化”过程，往往也会收到环环相扣、事半功倍的教学效果。］
3.探究求长方形和正方形周长的计算方法
师：谁没发言过?（走到没发言过的学生座位前问）你说怎么办?
生5：量4条边。
师：量4条边，然后——
生5：量1条边，然后再乘起来。
师：乘几?
生5：乘4。
师：为什么量1条边就可以了?
生5：因为这几条都一样。
师：因为正方形的4条边都相等。有4条边，量1条乘4，这个方法可行，（几生鼓掌）有同学鼓励你了。
［评析：以不等边的图形周长引起学生的关注后，刘老师采用了抛砖引玉的手法，没有直接进入到长方形周长的计算，而是以实物的正方形为例，使学生在直观的基础上很容易得出正方形（有规则边对称图形）的周长的计算技巧。这样不仅带领学生在无意识中接近了所要学的知识，而且使学生的学习积极性大增。同时，刘老师细心地指出了其他学生鼓掌这个小细节，给了答题学生适当的鼓舞。］
师：假如正方形的边长是5（板书：5），周长是几?
生：20。
师：1条是5，4条是20。假如它是3（板书：3）呢？
生：12。
师：12。假如是2（板书：2）呢？
生：8。
师：假如是100（板书：100）呢？
生：400。
师：求正方形的周长很简单！那么长方形呢?（指黑板上的长方形）
［评析：简单的一句话，自然过渡到了对所学知识的探讨上，顺利呼应了上文的精心设计。］
师：这么多人举手啊!假如这一个长方形的长是4、宽是3的话，它的周长是几?把你想到的写在草稿纸上。
（师巡回指导。）
师：好了吗?再想想看，有没有其他方法？有几种?
（生思考。）
师：好，一起来看一看，哪位同学来?你报，我写。
生：可以用4乘2等于8（板书：4×2=8），3乘2等于6，再8加6等于14。
师：（板书：4×2=8，3×2=6，8+6=14）来说说道理。
生：如果长是4，4乘2等于8，就是4加4等于8。（师指着黑板上的长方形的长）这两条边加起来就等于8。
师：好!
生：第2组边，3加3等于6，就是2乘3等于6，然后这两组边加起来就等于它们的总数了。
师：听明白了吗?
生：明白。
师：4乘2，3乘2，然后加起来。那个男同学有不同意见。
生1：3加4乘2。
师：3加4乘2［板书：（3+4）×2］，是吧?
生1：是。
师：对，是宽加长的和乘2，用括号括起来，是什么道理呢?4加3这两条边，这边还有一样的两条边乘2。还有吗?
生1：4加4加3加3。
师：（板书：4+4+3+3）连加嘛！后边那个同学。
生2：3乘2加2乘4。
师：（板书：3×2+2×4）这个有了，我们就选前面这3种方法，这3种方法当中，你最喜欢哪一种?（学生争先恐后地举手回答，课堂气氛很活跃）
师：同学们，这3种方法都可以。我们在求一个长方形周长的时候可以用不同的方法。你认为哪个方法最容易理解，那就用哪一种方法。
［评析：有学生已了解正方形的计算，就会很容易得出相同边的计算方法。而三年级的学生已经学会了举一反三的方法，求出长方形的周长自然不在话下。这也是刘老师匠心独运的结果。］
4.长方形和正方形周长计算应用
师：黑板是个长方形，四周用铝合金包边，求铝合金的长度就是求什么？
生：长方形的周长。
师：你准备量几条边？
生：长和宽。
师：现量出长40分米、宽12分米，做这个黑板边，铝合金需要多少分米？
生1：（40+12）×2=104（分米）。
生2：40×2＋12×2=104（分米）。
（出示练习题。）
（1）一块长方形布，长5分米，宽4分米，在它的四周绣上花边，花边长多少分米？
（2）一个正方形镜框，四周用木条钉成，镜框的边长是40厘米，最少需要多少厘米木条？
5.小结
师：通过今天的学习，你印象最深的是什么？
生：周长就是封闭图形一周的长度。
生：求周长可以有很多种方法。
生：求正方形的周长只要知道边长一个条件即可，求长方形的周长必须知道长和宽两个条件。
教学反思
“长方形和正方形的周长”这节课我上过好多次了。随着新课程改革的不断深入，自己也经历了从最早的重视周长的计算教学，到重视计算方法的多样化，再到重视周长的认识和求周长策略探究的教学转变。这一次的教学虽没有公式，也没有像样的计算，但利用学生已有的知识与生活经验，把他们引到喜欢的话题，使他们进入学习的最佳状态。学生主动探索，在轻松愉快的学习过程中，自主构建新知，并且实实在在地感受数学一些内在的东西，我觉得这是非常有效的课堂教学。具体从以下几个方面入手。
（1）以学生现有的知识水平和经验为教学起点。本课的教学是在对长方形、正方形认识的基础上进行的。学生对长方形、正方形的特征已经有了明确的认识，并知道正方形是长和宽相等的长方形。按教材的安排，长方形和正方形的周长分为两课时教学。在教学设计时，考虑到当前学生知识面宽、理解能力强的特点，从长方形、正方形周长为同一板块的知识体系出发，把长方形和正方形的周长合并为一课时教学。教学证明，对教学内容进行灵活的加工与处理后，只要把握教学的起点，学生是可以掌握的。
（2）重视周长概念的教学。周长的概念是教学的重点之一，由于受考试的影响，我有很多次都是作为次重点来处理的。在学生简单认识周长之后，把大部分时间用在它们的计算上。2003年，在浙江省嘉兴市海盐县举行的“5522工程”名师培训班教学展示活动中，我反思自己以往的教学，觉得忽视了过程教学，对于周长概念的建立缺乏学生的自我体验。于是，我根据学生的思维特点，放弃对多媒体的使用，精心选取了8个图形作为认识周长的第一手材料。学生用直观的方法去摸、指，再用抽象的方法去说、议，通过大量的感性积累和自我感知，在认知中内化周长的意义，建立周长的概念。
（3）培养解决问题的策略意识。由于这一知识的掌握程度将直接影响到今后各种图形周长计算的效果，寻求和应用各种策略去解决各种问题，也就成了另一个重点。在课堂上，我创设情景，让学生利用学具，用直尺量出三角形的三边长度，相加后得到周长，用软尺、绳子围圆的周长，通过滚的办法得到圆的周长，用量一条边乘10的方法求得五角星的周长。从最简单、最直接的量的方法入手，经过运用化曲为直的思想来围、滚，再到计算，展开求周长策略的探究。对于这些方法，我没有简单地加以肯定或否定，而是十分重视讨论与交流，让学生从实践的角度对其可行性进行思考、比较和取舍。这样的设计让学生体会到解决问题要从方法、策略入手，通过比较得出最优方法和策略。这种数学素养正是学生全面素质不可缺少的一部分。
这样的设计，重视自我体验；这样的教学，概念建立牢固；这样的学习，学生印象深刻。但也存在着一些不足。一是教学过程有些单调，大都以师生问答为主，在学习形式上还可以再丰富些。二是周长的概念还可以拓宽。在本节课上，周长的概念都是围绕一个平面图形一周的长度，学生的认识几乎没有偏差。假如是2个、3个，甚至是更多的平面图形的拼组，学生对周长的理解又将会是怎样的呢？有待尝试。
专家点评
刘永宽老师执教的“长方形和正方形的周长”一课，教学设计新颖，教学内容充实，教学思路清晰，课堂气氛活跃。课堂上刘老师没有使用任何课件，就用了几张平面图，课上得很精彩。一节课下来，学生不但理解了周长的含义，还知道了平面图形的周长的计算方法，并且渗透了圆周长的测量方法，内容比规定的多，但学生学得很轻松。刘老师及时引导发现、探索，及时纠正学生的错误，想必这是课件达不到的效果。由此看来，课件是否使用要根据课的需要而定，要因人而异，不能为使用课件而使用课件。落实新课标要在课堂实质上下苦功，而不是在课堂形式上下工夫。
刘老师教学思路清晰，课堂上充分凸显了学生的主体地位和教师的主导作用，主要有以下几个特点。
1.科学合理地组织教材，为学生提供充分的感知材料
理解周长的含义，探索周长的计算方法，体验数学与日常生活的密切联系，这是本节课应该达到的主要教学目标。为此，教师根据学生的年龄特点和认识水平，以学生的发展为本，对教材进行了合理的加工处理，为学生的数学活动提供了更加丰富的感性材料，体现了新课改背景下“用教材教”而不是“教教材”的现代教育理念。在这节课上，教师充分发挥了这些素材的作用，帮助学生直观理解周长的含义，探索各种图形周长的计算方法，促进了学生空间观念和思维能力的发展。
2.重视概念的建构过程，让学生真正成为学习的主人
数学课堂教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。在教学过程中，教师注意把握教学的起点，充分利用学生已有的生活经验，引导学生积极参与学习过程，让学生大胆发表自己的意见，体现了“以学论教”的现代教学思想。“周长”概念的得出，清晰明了，水到渠成。
3.彰显学生个性，鼓励解决问题策略的多样化
在探讨求各种平面图形周长的方法时，教师不断制造认识冲突，鼓励学生动手、动口、动脑，鼓励学生从多种角度去寻求解决问题的策略，学生争相发表意见，他们的个性在课堂上得到了充分展现，自信心也得到了增强，体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”这一全新的教学理念。课堂上，教师尊重学生的人格，真诚欣赏学生的想法，体现了对学生态度、情感、价值观的关注。师生讨论各种各样求周长的方法，不但使本节课的知识得到了巩固、升华，而且为后继知识的学习打下了坚实的基础。
刘永宽的数学教学艺术不是一朝一夕形成的，而是通过他自己的学习、体会、提炼、创新，并经过长期的积累，才逐渐形成的。