以丰富的活动体验促进概念的有效建构
——“面积”教学实录及评析
朱德江 浙江省嘉兴市南湖区教研室
课堂实录
1.在直观感知与比较中，感知面的大小，初步理解面积的含义
（1）在直观感知中引出“面积”。
（课件呈现一串沙滩脚印图。）
师：小明和他的爸爸到沙滩去玩，玩的时候留下了一串串的脚印，我从里面选择了两个。（课件呈现一大一小两个脚印）
师：你能够分辨出哪个是小明的脚印，哪个是小明爸爸的脚印吗？
生：小的是小明的脚印，大的是小明爸爸的脚印。
师：是根据什么分辨出来的？
生：用脚印的大小分辨出来的。
师：根据这两个脚印的大小，分辨出哪个是小明爸爸的脚印，哪个是小明的脚印，像这样的脚印的大小在数学中称作什么呢？（下面有学生说“面积”）
师：今天这节课我们就一起来学习和了解面积。（板书：面积）
师：听说过面积吗？哪儿有面积？
生：房子有面积。
生：操场有面积。
生：黑板的面有面积。
（2）在“摸面”活动中感受面的存在，体会面的大小。
师：刚才有同学说黑板的面也有面积，面是什么意思？面在哪儿呢？你能在身边找一个物体说一说面在哪儿吗？
（生先后说了桌子的表面、书本的封面、本子的面、铅笔盒的表面等，师引导生分别摸一摸，同桌间互相说一说，充分感受面的存在。）
（3）在面的大小比较中初步理解面积的含义。
师（举着书和本子）：刚才有同学说了书本的封面、本子的封面，这两个面哪个面大，哪个面小呢？
生1：数学书的面大，练习本的面小。
师：你怎么知道的呢？
生1：把它们重叠起来比一下。
师：把两者重叠，这是比较面积的一个很好的办法，你重叠给大家看一看。
（生1上讲台操作。）
师：重叠起来，你发现哪个面要大一些？
生1：数学书的面要大一些。
师：看来面是有大小的，面的大小就是面积。（板书：面的大小叫作“面积”）
师：刚才还说到了桌面，桌面与书本的封面哪个面大呢？
生（齐）：桌面大。
师：那么，你能不能找到一个比桌面大的面呢？
生：黑板的面比桌面的面积大。
师：还有没有比黑板的面积更大的？
生：有，操场的面积。
师：看来，面积大的面我们会找了，你们能不能找到面积小的面呢？
师（拿起一个铅笔盒，指着一个面）：你能不能找一个比它的面积更小的面？
生：橡皮的面。
师：还有没有比橡皮的面的面积更小的？
生：肯定有。
师：能说完吗？我们课后可以再去找哪里有更大的面，哪里有更小的面。
师：刚才我们说到的这些面都是物体的表面，这些面的大小就是这个面的面积。（板书：物体表面）
师（指着铅笔盒的一个面）：如果说把铅笔盒这个面画下来，它就是什么图形？
生：长方形。
师：长方形的大小你会比吗？试一试。
（课件出示：比较下面每组两个图形的面积。）
师：谁能比出这两个图形的大小？
生：三角形的面积大，圆的面积小。
师（出示第2组）：你能比较浙江省和湖南省的面积大小吗？
生：湖南省的面积比较浙江省的面积大。
师：怎么知道的？
生：直接观察就可以看出来。
师（出示第3组）：这是两个平面图形，你能说出它们的面积的大小关系吗？
生1：①号图形的面积比②号图形的面积大。
师：有没有不同的观点？
生2：②号图形的面积比①号图形的面积大。
师：有两种不同的观点，你支持哪一种？说说你的想法。
生3：②号图形缺了一块，①号图形的面积大。
师：周长和面积是不是一回事？
生：不是。
师：谁来说说周长是指什么，面积是指什么？
生：周长就是它的4条边的长，面积是4条边围起来的地方。
师：周长和面积一样吗？（师多媒体演示两个图形的周长和面积，并演示重叠比较面积的大小）
生：第2个图形的面积小。
生：第2个图形比第1个图形的周长要长。
师：刚才我们比较的是几组封闭的平面图形的大小，物体表面或封闭平面图形的大小就是它们的面积。
［评析：概念的建构需要结合学习者的经验进行教学，需要必要的感性材料作为概念认识的支撑，需要经历一个观察、比较、抽象的过程。为了让学生直观地理解面积的含义，教师引导学生在大量感性材料列举的过程中进行充分的感知，并让他们通过观察、触摸、大小比较、面积与周长的辨析等数学活动，感知物体或平面图形的哪些部分是面，直接感受面的存在，形成关于面的表象，感知面的大小，体会比较面的大小的方法。这些丰富的感性认识成为学生认识面积含义的有效支撑，促进了学生对面积内涵的内化。］
2.用自选单位测量和估计图形或物体的面积，体会自选单位的多样性，深化面积概念建构
（1）用正方形、三角形等自选单位测量和描述图形的面积，利用七巧板体会自选单位的多样性。
（多媒体出示一个正方形。）
师：面的大小是面积，那么，像这个正方形的大小怎么来说明呢？我们继续来研究。
（课件将正方形变成七巧板，并演示涂色过程。）
师：在这个七巧板中哪个图形的面积最大？哪个图形的面积最小？你能比一比、说一说吗？
生1：⑥号图形的面积最大。
生2：⑥号和⑦号图形面积最大。
师：⑥号和⑦号图形的面积最大，哪一个最小呢？
生3：③号和⑤号图形最小。
师：谁能提个问题？
生4：那个⑥号三角形有几个？
师：真是太棒了，老师也想问这个问题，大家为他提出一个好问题鼓掌。
师：这个正方形里有几个⑥号三角形？你能回答吗？
生4：有4个⑥号三角形。
师：是怎么想的呢？
生4：看着图数出来的。
生4：如果把一个大正方形看成两半的话，下面就有⑥号和⑦号两个同样大的，上面也有两个同样大的，所以就有4个。
师：我听明白他的想法了，他在用前面七巧板的⑥号和⑦号思考问题。
（教师用课件演示数出4个的过程。）
师（课件出示下面两幅图）：这个正方形中有4个⑥号三角形，有几个①号三角形呢？如果我在正方形中画⑧号正方形，又有几个呢？
师：怎样来说明你的想法呢？你能不能在正方形中画一画，说明自己的思路。同桌之间分工一下，一位同学想有几个①号三角形，另一个想有几个⑧号正方形，然后同桌交流一下。
（学生动手画一画，并同桌交流。）
（教师展示部分学生作品，组织学生交流。）
师：我们来听听他们的答案是什么？
生1：这个正方形中有8个①号三角形。
生2：有9个⑧号正方形。
生3：第3幅图有问题，他画出来的中间的三角形和①号三角形不相等。
生4：他画出来4个①号三角形，中间也应该画4个。
生5：我用七巧板想，有8个①号三角形。
师：是吗？你真的很棒。
师：刚才我们通过画，通过想象，一起用其他图形来说明这个正方形的大小，我们回顾一下，分别有几个呢？（课件出示3幅图）
生（齐）：有4个⑥号三角形、8个①号三角形、9个⑧号正方形。
师：都是用摆几个三角形或小正方形来说明这个正方形的大小，为什么个数不一样呢？
生：因为三角形、正方形的大小不一样。
［评析：“七巧板”是学生熟悉和喜欢的一种传统智力游戏。本环节巧妙利用“七巧板”的图案作为教学材料，激发学生学习的积极性。学生通过利用七巧板中的不同的三角形和一个正方形去描述正方形的大小，并自己动手在学习纸上分一分、画一画，体会“用自选单位度量图形的面积”方法的多样性，进一步感受面的大小，发展空间想象能力。最后，引导学生对比三种不同的结果，使学生充分体会度量单位的多样性，也暗含了统一度量单位的必要性。］
（2）联系实际，用自选单位估计和测量面积。
师：像刚才这样，选择一个图形做标准，是常用的测量或描述一个图形或物体的面的大小的方法，比如，桌面的大小。我们也可以选择一个物体做标准，如数学书，大家比画估计一下，我们这个桌面有几个数学书封面的大小呢？
生1：4个。
生2：我认为有6个。
师：到底有几个数学书封面的大小呢？
生：摆一摆。
（学生同桌合作，用书摆一摆。）
生：大约有6个。
生：我们摆了5本，比5本多。
师：那你们的小凳子可以摆几本书啊？
生：2本不到。
师：大约2本书的大小，那么哪个面积大，你们比出来了吗？
生：桌子的面积大。
师：这个桌面可以用数学书去量，还可不可以用其他东西去量？
生：可以用本子去量。
生：还可以用铅笔盒的一个面去量。
生：用橡皮的一个面去量，就是比较麻烦。
师：用小本子摆一下，看这个桌子能摆几本？（课件演示摆的过程）
生：18本。
师：也就是说，我们刚才说大约有5本数学书封面的大小，也可以说是18本小练习本封面的大小。看来量桌面的面积有很多方法。
（教师引导学生小结。）
［评析：利用课本的面、本子的面等做标准去度量课桌，经历用度量单位覆盖面的过程，让学生亲身体验度量面积的不同工具和不同单位，丰富他们度量面积的经验，使其进一步体会面积的含义和面积度量单位的多样性，实现概念的有效建构。同时，学生通过选择度量标准进行实际度量，经历尝试、创造的过程，激活了自身的创新思维，有利于形成对概念的创造性理解。］
3.在练习中解释和应用，完善和提升对面积概念的理解
（1）比较长方形和正方形面积的大小。
教师先出示长方形和正方形让学生比较，学生都认为这两个图形一样大。多媒体呈现邮票图案，提示：“你能根据邮票再想一想吗？”引导学生用邮票做标准。学生很快发现正方形可以摆25张邮票，长方形可以摆24张邮票，并得出结论。教师小结：“像这样两个图形或物体的表面大小比较接近，直接观察有困难时，可以利用其他图形或物体量一量、比一比。”
（2）在课桌桌面上放纸巾盒，只放一层，可以放几个纸巾盒？
教师先出示实物，引导学生思考：“这样摆一层的话，桌面上大概可以摆几个？”学生猜测后实际摆一摆，发现可以摆7个多一点。再追问：“不能叠起来，你有办法摆这样的10个纸巾盒吗？”学生非常踊跃，并上台演示，发现用侧面去摆，可以摆16个。最后讨论：“为什么正面摆不下，侧面就摆得下了呢？”学生的思维非常活跃。
［评析：深刻构建起数学概念，需要有一个充分解释和应用的过程。本环节的两个练习安排，就是在学生理解面积含义及体会可以选定一定的标准作为度量单位的基础上，实现深化理解、概念应用的过程。第一个问题，在学生难以直接比较正方形和长方形的面积大小时，引导学生体会将邮票作为标准可以比较出两个图形的大小，进一步体会借助自选度量单位进行比较的策略。第二个问题，通过对“能否摆10个这样的纸巾盒”的讨论和合理解释，经历解决问题的过程，进一步完善、提升对面积概念本质的领悟和理解。］
教学反思
新课标十分强调数学与现实生活的联系，指出数学教学必须从学生熟悉的生活情景和感兴趣的事物出发，为他们提供观察和创造的机会。而这一单元是学生对图形的认识从点线向面过渡、从一维空间向二维空间过渡、从直观模糊的图形认识上升到感性的图形认识，是一个飞跃。“面积”对孩子们来说并不陌生，有的在家庭购房时听说过“面积”，有的从媒体广告上听说过“面积”。因此在教学时，我从生活引入，调动学生学习面积的经验。
在学习“面积”这堂课时，我进行了以下尝试。
（1）选择合适的思维素材，引导学生从不同的侧面思考问题，促进学生的数学理解。从学生身边熟悉的事物（数学书的封面、文具盒盖面、课桌面、操场的面等）出发，引导学生看一看、摸一摸、比一比物体的表面，感知物体的表面随处可见，初步建立面的表象，通过比脚印大小活动帮助学生理解面积这一概念。
（2）知识在学生的手指尖上。引导学生通过操作建构心智图形，促进学生对数学的理解。本节课通过摸、比、描、画等一系列活动，从生活中的面积——实物中的面积——图形中的面积——图式中的面积——生活中的面积，来引导学生实现对“面积”的知识建构，实现从实物到抽象的认识过渡，建立“面积”的空间观念。孩子们在活动中体验、感悟、自主探索，经历比较两个图形面积大小的过程，体验比较策略的多样性。活动中，孩子们认识事物的朴素思想自然而然地流露与呈现，对“面积”的认识实现了从一维到二维的过渡。
（3）引导学生经历数学知识再创造的过程。学生经历从不同角度研究同一问题的过程，其目的在于培养探索和创新精神，使创新思维的潜能得以释放，从而体验解决问题策略的多样化，领略数学思想方法的深刻内涵；同时加强反思，优化思维过程，提炼数学思想方法。在这节课上，我设计不能通过观察直接判断面积大小的两个图形，让学生想办法比较出它们的大小，并且比一比哪个小组想出的方法多，激发学生动手、动脑、找工具，寻找解决问题的方法。同学们想象力非常丰富，创新意识、求异性强，想出很多种方法。有的借助方格纸比较，所占格子数量多的那个图形面积比较大；有的用重叠方法比较，经过多次重叠，剩余多的图形面积比较大；有的用摆小方块的方法比较⋯⋯学生在动手操作、动脑思考、相互交流的学习活动中，不仅仅学到数学知识，更重要的是学到了解决问题的策略，并在这一过程中体验到学习的快乐、成功的愉悦。在反馈的过程中，我预计学生的回答可能是无序的，也不可能马上把所有比较的方法进行归纳，因此我注重这一环节的引导。当得出了各种不同的方法之后，我就让学生仔细回想一下刚才所用的方法有没有相似的地方。通过引导帮助学生整理思路，使学生明白比较两个图形的大小可以用重叠的方法，也可以使用适当的参照物进行间接的比较，进而培养了学生的归纳概括能力。
（4）及时捕捉课堂资源，引发矛盾冲突，体验知识的创生过程。只有对学生生成的各种信息进行捕捉、判断、综合、重组、调整，形成新的教学方案，才有可能使教学过程不断得到生成和推进，提升学生思维水平的层次，实现学生的主动思考和主动发展。当学生获得解决比较图形大小的各种策略后，我抓住了其中数格子的几种方案，引导学生思考：同样是用数图形的方法，为什么有的同学摆了12个、16个，而有的只需要摆3个、4个呢？使学生产生认知上的冲突，形成思维碰撞，从而使整个过程成为认真思辨、积极探究和自我建构的过程，成为情感体验的过程。
我认为，当学生有了问题，教师应该先反思一下自己的教学是怎样为学生服务的；反思一下自己在课堂上是否给足了学生思维的空间；反思一下自己是灌输知识还是引领学生自主学习知识。今后在教学中，教师应该充分考虑教材和学生的实际，为学生主动探究知识、积极思考创造条件，让学生真正理解数学知识的内在含义，让学生做数学，而不是死记硬背数学。
专家点评
有幸聆听了浙江省特级教师朱德江老师的一堂课，感觉耳目一新，如缕缕春风，沁人心脾。
在教学的过程中，我们不难发现，无论是知识的获得，还是智力的开发和能力的发展，都必须通过学生自己的积极思考和实践活动，因为老师无法代替学生读书，也无法代替学生分析思考，更不能把知识生硬地灌输到他们的头脑里。要让学生生活在思考的世界里，我们该怎么做？
朱德江老师的教学给我们起到了示范作用，他教学的每一个环节、每一个问题都具有很强的思考价值，学生的思维始终处于主动的运转之中，知识的学习始终是由学生自主思考构建完成的。要学习的地方很多很多，感触最深的有以下几点。
1.选择合适的思维材料，促进学生对数学的理解
新课标指出，数学教学是数学活动的教学。朱德江老师的示范课较充分地体现了这一教学理念，教师为学生提供了丰富的生活素材，引导学生观察、交流、操作，鼓励学生发表自己的见解，引导学生在活动中经历数学知识的形成过程，引导学生在活动中提高估测意识和估测能力。通过实践活动，学生切实感受数学与现实生活的联系，学会用数学的眼光观察世界。学生一直在老师提供的素材下自主学习，发现知识并运用知识解决身边的实际问题，数学思考贯穿整节课的始终。
2.让学生经历数学知识的“再创造”过程
朱老师的这节课，在数学教学中努力展现教材的丰富过程，让学生在探索中经历“再创造”，激励学生按自己喜欢的方式去学习，逐步体验数学知识的形成、发展与应用过程，让学生在多向交流、合作、探究中学会学习。在数学学习中让学生自己去观察、思考、讨论、实验、尝试、建构。通过这样一个过程，学生不仅主动地认识数学，而且能够掌握发现、理解数学的一般方法，真正体验数学学习过程。
通过一系列的数学活动，学生自主构建面积的模型。整节课的学习不是由教师向学生传递知识的过程，而是学生主动建构自己知识的过程。在数学教学中，学生建构数学知识的过程是师生双方交互作用的历程。学生是学习的主人，是课堂上主动求知、主动探索的主体；教师是教学的主人，是学习过程的组织者、引导者和合作者。
3.关注学生学习成功的体验
新课标指出，教师要关注学生的个体差异，使每一个学生都有成功的体验，得到相应的发展。的确，成功是少年儿童心理发展的需要，每个学生都有成功的愿望，都希望取得好成绩，希望能够得到老师的表扬和同学的认可。因此，教师的任务就在于帮助学生在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾经说过：“学习数学的唯一正确的方法是实现再创造。”因此，数学课堂教学过程应是以学生自主探究为核心的过程。那么让学生在再创造过程中获得成功的体验，就是让学生自己在观察、实验、归纳、分析和整理的探究活动过程中，感受一个数学问题是怎样提出来的、一个数学概念是如何形成的、一个数学结论是怎样获得的，以及结论和规律是如何应用的，也就是把教材内含的知识经过再创造，转化为自己思考的成果，有所发现，有所创造。由此可见，让学生体验成功，教师的教学艺术不在于传授本领，而在于引领、激励、唤醒、鼓舞，即在学习过程中，教师要以赞扬、欣赏的态度对待学生的学习成果，满足学生表现自己的欲望，实现学生期待得到老师和同学赞扬的心理愿望。让学生在成功中继续探究，在探究中再获得成功，形成良性循环。
整节课，教师引领着学生的思维一次次跳跃，学生智慧的火花一次次迸发，教师教得轻松，学生学得自在。
（深圳市教育科学研究院黄爱华）