没有部分重合就没有完全重合
——“轴对称图形”教学实录及评析
张行 深圳市福田区新莲小学
课堂实录
1.课前活动
师：同学们，离上课还有几分钟，我们来唱首歌还是来表演一个节目呢？
生：我们来表演一个节目吧！
师：那好哇，请上来！
（生模仿“千手观音”的造型。）
师：同学们，美吗？
生：美。
师：真棒，给她们掌声！
［评析：通过这个课前的小活动，消除了学生的紧张情绪，同时又能够让学生初步感知对称和对称美。］
2.认识对称物体
师：同学们，上次咱们见面的时候，你们给老师介绍了许多无锡的特产，老师赶紧去品尝了酱排骨、油面筋，味道好极了！可惜的是没有吃到水蜜桃。
生：因为还不到吃水蜜桃的时候。
师：对呀，不过老师一点都不觉得遗憾，因为我买了一样非常好的东西，你们想不想看一看？
生：想！
师：是什么呢？（边说边拿出泥人放到实物投影仪上）
生：是我们的惠山泥人！
师：对了，你们看，两条弯弯的眉毛，两只笑眯眯的眼睛，还有两个红扑扑的小脸蛋！太可爱了！
师：老师今天还给同学们带来了好玩的东西，我们一起来看看吧！
师：这个是——
生：叮当猫！
师：好玩吧！（把叮当猫放到实物投影仪上）
师：这里还有一个女孩子特别喜欢的——（拿出哈姆太郎放到实物投影仪上）
生（大叫）：哈姆太郎！
师：它还会唱歌呢！（打开开关，放出音乐）
师：我们再来看看还有什么！（拿出飞机模型放到实物投影上）
生：飞机！
师：哦，这里还有一个。这个呀，老师可得给同学们好好介绍一下。它是我们学校的同学们参加数学竞赛获得的奖杯！
师：请同学们仔细观察这些物体，它们的外形有什么共同的特点呢？
生：对称！
师：对称？你是怎样理解对称的呢？
生：两边一样。
师：像这样两边形状大小完全相同的物体，我们就说它们是对称的。（板书：对称）
师：像这样对称的物体，在我们的生活中你还看到过吗？谁来说说看？
生：天安门。
（师用疑问的眼光看看其他同学。）
生：是的，我去过北京，天安门就是对称的！还有故宫也是对称的！
生：老师，蝴蝶也是对称的！
生：还有蜻蜓也是对称的！
［评析：物体的对称是这节课的一个知识铺垫，因此在这一环节的设计中，充分考虑到三年级这一年龄段孩子的认知特点，用他们身边最感兴趣的事物引出主题，促使他们投入较高的热情去探究物体的对称性。］
3.认识对称图形
师：这些对称的物体，我们把它画在纸上，就得到这样一些平面图形。
师：这些图形是对称的吗？
生：是对称的。
师：小朋友真聪明，一眼就看出这些图形都是对称的。那么像这样的图形，我们就把它们叫作——
生：对称图形。（师板书：对称图形）
师：是不是所有的图形都是对称的？它们又是怎样对称的？我们又怎样来证明它们是不是对称图形？这就是我们这节课要研究的问题。
［评析：由物体的对称到图形的对称这一过渡相当重要，因为这节课的研究重点是平面图形的轴对称现象。把对称的物体画下来得到的平面图形，与对称的物体一一对应摆在学生的面前，让学生去体会、区别物体的对称与图形的对称的不同，也为接下来研究对称图形打下基础。］
师：为了研究这些问题，老师还带来了一些平面图形，你们看！（边说边在黑板的右边贴蝴蝶、青蛙、杯子、钥匙、枫叶、菠萝、桃子等图形）
师：这些图形都是对称图形吗？
生：不是！
师：你们想不想来分一分哪些是对称的，哪些不是对称的？
生：想！
师：想分，好啊！那就先听清楚要求。我们每个小组里都有一个①号信封，里面就有这些图形，等会儿老师说开始，就请小组长把图形倒出来，各小组的同学一起来分。咱们要比一比哪一个小组的同学分得最快。
师：好，开始！哪一个小组的同学愿意上来分？（请一个小组的同学分贴在黑板上的图形）
［评析：这是对平面图形对称研究的第一个层面，就是正确区分对称图形和不对称图形，初步感知图形的对称性。］
师：已经分好的同学请看看上面的同学是怎样分的？
师：别走别走，同学们，我们来看看他们是怎样分的？
生：我们是这样分的，这些是对称图形，这些不是对称图形。
师（回头问全班同学）：你们都是这样分的？
生：是！
师：你们怎么知道这些图形是对称图形的？
生1：折。
师：折的？这个方法听起来蛮不错的！到底怎样折的，你能不能折给大家看一看？
（生1下去拿图形。）
师：同学们，我们仔细看看他是怎样折的！
生1（拿着一个蝴蝶图形上来，边折边说）：我这样折过后，两边是一样的，所以是对称的。
师：刚才这位同学用对折的方法（板书：对折）证明了这个蝴蝶图形是对称图形！那同学们也来试一试，用这位同学的方法把对称图形都来折一折，看看会有什么发现，把你的发现在小组里和同学说一说。
（学生动手操作，讨论发现；教师巡视，参与讨论。）
师：哪位同学愿意带着你折好的图形上来说说你的发现？（把折好的图形在实物投影仪上展示）
生：我发现，对折后边上齐齐的，不多也不少！
生：我发现，有一半挡住了！
生：我发现，对折后两边都合在一起了。
师：你们说的“挡住了”“合在一起了”，也就是，对折后——
生：重合了！（板书：重合）
师（指对称图形）：同学们，刚才你们把这些对称图形通过对折，发现它们重合了。那现在我们再来折一折不对称的图形，看看这回又有什么发现？
（小组同学一起折，一起讨论。）
生：我发现有一半多，一半少，边上也露出来了。
师：那它们有没有重合呢？
生：没有！
师：真的没有？一点点重合都没有吗？
生：有，有一点重合。
师：（拿一个学生折过的对称图形，和台上同学折过的不对称图形做比较）这个图形对折后重合了，这个也重合了，那这两种重合有什么不一样吗？
生：一个重合得多，一个重合得少。
生：一个是完全重合。
师：这些对称的图形对折后全部重合了，也就是完全重合了！（板书：完全）
师：大家的表现很出色，奖励一下自己，来拍拍手吧！一，二，停！我们的两只手掌现在是？
生：完全重合！
［评析：这一环节是本节课的重点，要掌握“对折——重合——完全重合”这三个重要的知识点。首先通过让学生自己想办法去证明蝴蝶、青蛙、菠萝、枫叶等图形是对称图形，引出学生自己发现的“对折”这一重要方法。再通过每位同学自己动手把对称图形对折，发现“挡住了”“合在一起了”。学生用自己的语言对“重合”进行理解，引出“重合”这一概念。最后通过比较对折后的对称图形与不对称图形，引出两种重合的区别，从而深刻理解“完全重合”这一概念。这时候，学生对“完全重合”的认知已经非常的清晰。］
4.认识对称轴
师：现在把我们折过的对称图形打开看看，你又有什么新的发现？
生：有折痕！
师：老师也想折一折，哪位同学愿意把你的对称图形借一个给老师。
师（拿一个青蛙图形）：谢谢！老师开始折了，请注意看哦！
师（在实物投影仪上折）：我这样折，得到一条折痕，我这样折，又得到一条折痕，这两条折痕和你们折出来的折痕有什么不一样？
生：我们的折痕左右两边一样！
师：也可以说折痕的左右两边“完全重合”。
生：老师折出的折痕左右两边不是完全重合！
师：对称的图形，对折后能完全重合的这条折痕，我们就把它叫作“对称轴”！（板书：对称轴）
师：同学们，通过对折这些图形，发现它们能完全重合，我们就把它叫作“轴对称图形”。（手指板书，边说边把对称图形与对折、对折与完全重合、完全重合与对称图形连线）
［评析：这里设计了一个对“折痕”比较的过程，让学生在辨析中加深对“对称轴”的理解，知道只有把对称图形对折后，能完全重合的折痕才是“对称轴”。］
5.判断
师：今天老师还带来了几位老朋友，它们想和大家玩一个游戏。等会儿它们出来的时候，如果你们认识它，就大声打个招呼吧！
（师慢慢贴上正方形、长方形、一般三角形、等边三角形、等腰梯形、平行四边形、圆等图形。）
师：在这么多老朋友里，有没有我们今天认识的轴对称图形呢？这是我们这次游戏的主要内容。既然是游戏，我们就先订一个游戏规则。
师：老师等会儿会一个一个拿出图形，给同学们判断，如果你认为它是轴对称图形，老师说“判断”，就请起立；如果你认为它不是轴对称图形，老师说“判断”，就坐着不动。明白没有？
生：明白了！
师：好，我们现在开始了。
师（拿出正方形）：想一想，该起立还是不动，想清楚哦！判断！
（生全体起立。）
师：恭喜同学们，你们都答对了。请坐！这个正方形是轴对称图形！（边说边把它贴在黑板左边）
师（拿出长方形）：判断！
（生起立。）
师：很好，请坐！这个长方形也是轴对称图形。（边说边贴）
师：（拿出一般三角形、等边三角形、圆、等腰梯形一一给学生判断，最后，拿出平行四边形）判断！
（大部分同学坐着不动，有五六个同学起立。）
师：哎，我怎么发现有的同学坐着，有的同学站着呀！
师：请说一说自己的看法吧！
生1：如果对折的话，这个平行四边形两边是一样大的，所以我认为它是轴对称图形。
生2：不对！因为如果对折的话，它不能完全重合，所以它不是轴对称图形。
师：看样子，你们对平行四边形的判断有了两种不同的结论，起立的同学先请坐下。
师：现在请拿出②号信封中的平行四边形，一起来研究研究，它到底是不是轴对称图形呢？
（小组合作研究、探讨。）
师：老师现在想知道你们的看法。
生：平行四边形不是轴对称图形，因为它对折后不能完全重合。
师：同学们，你们都赞成吗？
生：赞成。
师：通过刚才的活动，你们觉得在判断一个图形是不是轴对称图形的时候，什么最重要？
生：对折，完全重合。
师：接下来，老师要给你们看的是几个字母图形，它们都是轴对称图形。老师只能给你们看图形的一半，你们要猜出是什么字母。
（教师先后出示U、I、X、W给学生猜，然后按照WU XI的顺序贴在黑板的左边）请同学们连起来拼一拼，看是什么？
生：是无锡。
师：对啦，这就是同学们生活、学习的地方，美丽的无锡！
［评析：无锡（WU XI）的出现使学生特别振奋，为后一段学生的创作提供了精神动力。］
6.“做”轴对称图形
师：刚才有同学问我，桌子上的水彩、彩色笔、剪刀、彩色纸、白纸、格子纸有什么用呀？现在我就告诉大家，我要请同学们自己动手来做一个美丽的轴对称图形。
师：别忙着动。先想一想你打算选择哪些工具，怎样去做一个轴对称图形。老师要看看我们班的同学能想出多少种不同的方法！
师：想好的同学就开始吧！（播放音乐《好一朵美丽的茉莉花》）
（教师巡视，指导学生把作品贴在黑板的右边。）
师：我们一起来看看黑板，左边是我们大家找出来的轴对称图形，右边是同学们用自己灵巧的双手创作出来的轴对称图形，美吗？
生：美！
［评析：这时黑板上既有学生找出的轴对称图形，也有学生动手创作出来的轴对称图形，黑板上的板书也给学生展示了一幅对称美的画面，此刻的学生特别兴奋。］
7.生活中的对称
师：其实呀，对称不仅给人以美的感受，还有一定的科学性呢，你们知道吗？
师：（播放课件）眼睛的对称，让我们看物体更加准确；耳朵的对称，让我们听声音更加清晰，有立体感。蜻蜓的对称是为了平衡的需要，我们受到它的启发，设计出来的飞机才能够平稳地飞翔在蓝天中。
师：在我们的生活中有许多物体，有的是大自然中的对称现象，有的是人们受到这些对称现象的启发设计出来的具有对称美的东西！对称，始终给人以和谐美的感受！现在让我们在《春天的故事》这首优美的歌曲中，来看看老师生活的城市——深圳。你能不能从中体会到对称美呢？（播放视频）
教学反思
有这样一则关于著名教育家陶行知先生的故事。一次，他应邀到武汉大学演讲。还没有开讲，他却先从皮包里抓出一只活蹦乱跳的大公鸡。全场观众正感到莫名其妙的时候，他却从容不迫地在讲台上喂起鸡来。先生掏出一把米，按着大公鸡的头让它吃，它偏偏不吃，再掰开它的嘴喂它，它还是挣扎着不肯就范。直到先生松开大公鸡并后退几步，大公鸡才旁若无人地自己吃起来。这时，陶行知先生开始了他的演讲：“我认为，教育就跟喂鸡一样，先生强迫学生学习，把知识硬灌给他，他是不情愿学的，即使学，也是食而不化，过不了多久，他还会把知识还给先生的。但是如果让他自由地学习，充分发挥他的主动性，那效果一定会好得多！”
这个故事给了我很大的启发，尤其是在今天教学完“轴对称图形”这一课后，我的感受就越发深刻了。
片段一：
在课的开始，我和同学们对话：“上次咱们见面的时候，你们给老师介绍了许多无锡的特产，老师赶紧去品尝了酱排骨、油面筋，味道好极了！可惜的是没有吃到水蜜桃⋯⋯”有几个学生回答：“因为还不到吃水蜜桃的时候。”我接着他们的话说：“对呀，不过老师一点都不觉得遗憾，因为我买了一样非常好的东西，你们想不想看一看？”这时学生的兴趣被调动起来了，异口同声地说：“想！”当我拿出泥人放到实物投影仪上的时候，孩子们自豪地回答：“是我们的惠山泥人！”（当时是在江苏无锡上课，惠山泥人是无锡的特产之一）接下来，我把孩子们最喜欢的叮当猫、哈姆太郎、飞机模型等逐个展示在他们的眼前，学生个个面带惊喜，全身心地感受着。
这时我不失时机地问：“请同学们仔细观察这些物体，注意它们的外形有什么共同的特点。”
还没有等我说完，“对称！”学生几乎异口同声地回答，每个学生的脸上都写满了兴奋。
“对称？你是怎样理解对称的呢？”
这时班上的气氛异常活跃，每个学生都争着说，急于把自己的想法和大家一起分享。
“良好的开端是成功的一半。”物体的对称是轴对称图形这节课的一个非常重要的知识铺垫。因此用他们身边最有趣的事物引入，通过他们的自身感悟，一个抽象的数学概念——对称，在学生的意识中自然而然地产生了。这同时激发了学生的学习兴趣，让他们的身心处于学习的最佳状态。学生感叹着生活中的对称美，又为数学就在自己的身边而惊喜，也就产生了强烈的欲望去深入地探究平面图形的对称特点。
片段二：
“轴对称图形”这节课，难点就是对“对折——重合——完全重合”的理解。在课前，我一直在担心，怎样才能让学生知道要把图形“对折”，发现“重合”，然后真正地理解“完全重合”，实在不行的话，我就只能搬出老办法——给学生下指令，让他们照做。可是在课堂上，因为我把更多的主动权交给了学生，反而出现了很多意想不到的精彩瞬间。
学生正确区分出对称图形和不对称图形之后，猜测怎样去证明手中的图形是不是对称图形，这时一个学生说出了“折”，我马上反问一句：“到底怎样折的，你能不能折给大家看一看。”这时全班同学的目光都被这个学生吸引了。当他在投影仪上把手中的一个蝴蝶图形对折以后，大家看到两边都是一样的。马上，我让全体同学一起用他们自己发现的方法动手操作，进行验证，然后请了几位同学在投影仪上展示他们折后的图形。
“哪位同学愿意带着你折好的图形上来说说你的发现？”一石惊起千层浪，学生高举小手，跃跃欲试。
“对折后边上齐齐的，不多也不少！”
“有一半挡住了！”
“对折后两边都合在一起了。”
这时我还真有点愣住了，虽然在课前的备课准备上，我除了备教材，也备了学生，但我怎么也不会想到学生会有这种回答，我有点儿被学生牵着鼻子走的感觉了。那么多双眼睛看着我，怎么办？这时灵机一动，我把问题抛给同学们，“你们说的‘挡住了’‘合在一起了’，也就是，对折后——”这下那帮小家伙可神气了，表现的机会来了，连老师都不知道呢！
“重合了。”
天哪，我在心里琢磨了半天的词，学生们就这样脱口而出。这一刻，我不得不打心眼里佩服他们，思维那么敏捷，反应如此迅速。
这时我已经很放松了，于是给他们布置了第二个任务：“那现在我们再来折一折不对称的图形，看看这回又有什么发现？”我又请了几位同学在投影仪上展示他们折后的图形。
“我发现一半多，一半少，边上也露出来了。”
我看似不经意地加了一句：“那它们有没有重合呢？”
“没有。”
“真的没有？一点点重合都没有吗？”我加重了语气。
“有，有一点重合。”
我拿了一个学生折过的对称图形，和台上同学折过的不对称图形放在一起，“这个图形对折后重合了，这个也重合了，那这两种重合有什么不同吗？”
“一个重合得多，一个重合得少。”
“一个是完全重合！”一个学生很自信地回答。
顺着这个思路，我稍加提点，“完全重合”已深深印在学生的脑海中了，紧接着，“轴对称图形”的概念也就水到渠成地形成了。
在这一个环节的师生交流中，我受益匪浅，教学相长，教师能教给孩子知识，孩子也能给教师灵感！只要尽自己的所能，调动他们的情绪，就能让他们发挥到极致。
素质教育要求我们的课堂教学最大限度地调动学生思维的积极性、自觉性，引导他们生动活泼地学习，充分发挥学生学习的主体作用。要发挥学生的主体作用，首先就要让学生在教学中处于主体地位。学生是能动的、活生生的人，是教学活动的主动参加者，不论是备课，还是上课，都应把学生的想法和感受放在第一位。备课时，应从学生的角度来思考什么样的教学方法学生愿意接受，什么样的游戏学生喜欢做。把课堂上的主要时间让给他们，让他们多想多说，充分地发挥。
“一个孩子能学好，能成材，决不是教师教出来的，逼出来的，而是靠他自己学出来的，放开手脚让学生自己去学，不怕他学不会。”我牢记陶行知先生的这句话，在今后的教育教学中，给孩子一些空间，让他自己往前走！
专家点评
这是一节概念课，学生在这节课中要接触的概念有“对称”“平面图形”“对称图形”“重合”“完全重合”“轴”“轴对称图形”等。教师成功地使用对比的策略，使这一系列概念的建立过程既有趣又到位。
（1）在循序渐进中对比，区别易混淆的概念。如“对称”这个概念，教师引导学生循序渐进地经历了物体的对称现象——画下来成平面图形——对称图形这样三个阶段，使学生对“对称”和“对称图形”两个既有联系又有区别的概念印象深刻。
（2）通过设问对比，帮助学生理清思路。我们欣赏一下课中几次巧妙的设问。第一次是教师让学生运用感知把一些要研究的图形分成对称的和不对称的两类后，指着学生认为是对称的图形问：“你们怎么知道这些图形是对称图形的？”从而“逼”学生想出“对折”的方法，而不是教师直接要求学生对折，接下来的操作活动是为了解决问题的需要，而不是执行老师的指令；第二次是对折不对称的图形后问：“那它们有没有重合呢？”“一点点重合都没有吗？”从而引出了“部分重合”和“完全重合”；第三次是打开对折的对称图形后，没有立即指出折痕就是对称轴，而是与其他折痕比较，问：“这两条折痕和你们折出来的折痕有什么不一样？”从而引出能使两边完全重合的折痕才是这个图形的对称轴。
（3）在操作中对比，理解概念的内涵。如“完全重合”这个概念，许多时候，教师只要求学生对折一下对称图形，就引出概念。但张老师却不仅让学生对折对称图形，还要求学生对折不对称的图形，再要求打开已对折的图形，三次操作引起学生的三个发现。第一次操作，发现了“重合”；第二次操作，发现了“部分重合”和“完全重合”，可以说，如果没有“部分重合”，“完全重合”的概念就是苍白的；第三次操作，引出了“对称轴”。
（深圳市福田区教育研究中心研究员罗忱红）