数学原来可以那么美
——“探索完全图”教学实录及评析
唐彩斌：杭州市现代小学数学教育研究中心主任
课堂实录
一、整理回顾，驱动研究
1．教师提问
师：在数学中，除了数，还有形。而空间图形包括点、线、面、体。它们之间有着怎样的联系呢？今天我们就借助超级画板来看一看。
（教师边说边进行动态演示，引导学生说出：很多点连在一起就成了线，很多线连在一起就成了面，很多面连在一起就成了体。）
师：我们学过哪些平面图形呢？
（学生的回答为：三角形、长方形、正方形、圆形、平行四边形、梯形、五边形……）
2．引导比较
师：圆和这些图形有什么不同？（引导学生说出圆是由曲线围成的，其他图形是由线段围成的）圆和其他图形有着怎样的联系？今天我们将一起来研究。
［评析：在传统教学环境中，“点动成线，线动成面，面动成体”的知识内容总是停留在语言的表述上，很难直观地呈现。有了超级画板的演示，学生能对点、线、面的移动进行跟踪，从而实现了把抽象的知识直观展示的目的。点、线、面之间的联系在信息技术环境中显得尤为明晰。
在平面图形中，学生会很快认识到圆与其他平面图形之间的不同，对于它们之间的联系却容易忽视，而唐老师却有意在强化它们之间的联系，体现出思路的创新。当正多边形的边数足够多的时候，它实际上就成了一个圆。圆就是一个正无限多边形。
在上课伊始对以上两个方面进行梳理，不仅是对学生学过的知识的回顾，更强化了一种联系的思想。］
二、动态演示，探索规律
1．提出问题
师：在圆周上找2个能把圆周等分成2份的点，再把这2个点连起来，是什么？
生：直径。
师：找出3个能把圆周等分成3份的点，把这些点连接起来，会怎样？
生：连成了一个正三角形。
师：再依次类推，找出4个、5个能把圆周等分成4份、5份的点，把这些点连起来呢？
生：分别得到正四边形和正五边形。
（教师引导学生继续类推）
2．引导观察，交流发现
师：圆内出现的这些图形有什么共同的特点与不同之处呢？
（相同之处：每条边都相等，顶点在圆上，图形都在圆内，因此这些图形都叫作圆内接正多边形。不同之处：点数越多，边数越多，面积和周长越接近圆。）
3．动画验证发现
教师为了验证大家的发现，用超级画板进行演示。演示内容为：随着边数的增加，多边形的面积逐渐增大。
4．数据验证发现
教师边演示动画，边展示数据，用数据精确显示变化。当边数增多的时候，正多边形的面积和周长就接近圆了。当出现正100边形的时候，教师可以设问：看到的是正多边形，还是圆？学生肉眼看到的图形已经是一个圆，实际上是一个正100边形。之后，教师引导学生想象：如果是正3072边形呢？学生肯定会觉得几乎就是圆了。
5．数学史介绍
师：这个道理，在我国古代推导圆周率的时候就被发现了，这个伟大的数学家的名字叫刘徽。（说明：当教师问这个数学家是谁时，学生总是异口同声地说是祖冲之）我们除了要记住祖冲之，还应该记住刘徽的“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。
（教师出示史料：中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”的数值来进行有关圆的计算。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。魏晋时期，刘徽提出用“割圆术”来求圆周率，把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.14和3.1416这两个近似数值。这些数据是当时世界上关于圆周率的数据中最精确的数据。到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位，这一发现比西方国家早1100多年。刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重大贡献，历史是永远不会忘记的。）
（学生根据理解加以解读）
［评析：尽管教师都是通过演示引导学生经历正多边形边数逐渐增多而引发的变化过程，但学生认识的层次依次加深。从对单个图形的观察到多个图形的动画演示，再到用数据精确显示变化过程，在这一过程中，学生的认识不断深化。而这一认识过程恰恰也是认识事物的一般过程，即从个体的认识到把多个事物联系起来看，再到用数学的眼光来看待。
关于史料，诚然，祖冲之对于圆周率的贡献是巨大的，但是刘徽的贡献也是不可磨灭的。我们不能割裂古代数学的发展过程，而应该尽可能展现全貌。］
三、解析完全图是怎么形成的
1．教师提问
师：刚才我们认识了圆内接正多边形，现在我们来看这一个图，（出示一个顶点数为28的完全图，引导学生观察）这个图是怎么画出来的？
2．学生猜测，教师引导
学生猜测，教师逐渐减少完全图的顶点数，引导学生分析图的构成。
3．得出答案
基于讨论得出答案：这个图是由正多边形和它所有的对角线构成的。教师指出像这样的图形叫作完全图。
4．回顾过程，概括总结
师：我们刚才是怎样发现圆内接正多边形的特点的？
（教师结合学生的回答概括：由繁化简，从简入手）
5．补充回应
师：刚才有同学猜测圆内接正多边形是用多边形旋转而成，旋转画出的图是怎样的？我们来演示一下。
（教师动态演示由正三边形、正四边形、正五边形、正六边形绕点旋转而成的图形。）
［评析：“好看”“漂亮”，这是描述事物的一般词汇。透过现象，探寻本质，怀着好奇的心理了解图的构成，这是一种数学的视角。让学生观察和研究纷繁复杂的图案，能够让他们意识到“化繁为简，从简入手”是一种重要的数学思想，使他们先从简单的图形中发现规律，再把规律推广到复杂的图形中。而用超级画板来演示，图案美妙多变，可以令学生兴趣盎然。］
四、解析完全图是由多少条线段组成的
1．引导学生提问
师：刚才我们知道了完全图是由正多边形和它所有的对角线组成的。现在你们是否又有了新的问题？
（教师引导学生提问：这个图形中到底有多少条线段呢？之后，教师启发学生思考在此过程中怎么迁移化繁为简的转化思想。）
2．操作活动
给学生圆内接正多边形的图，让学生动手操作，尝试探索规律。
3．引导学生思考
教师引导学生思考：从一个顶点出发可以画出多少条线段？
完全图中的线段条数与顶点的关系：完全图中的线段条数=n×（n-1）÷2，其中的n为多边形的边数，也是多边形的顶点数。
4．巩固试算
师：请大家计算顶点数为20的完全图中有多少条线段？
（学生计算，教师指导）
［评析：知道了完全图的构成，进一步引导学生探究其中的线段的数量；强化迁移“化繁为简，从简入手”数学思想，引导学生发现完全图中的线段条数与顶点的关系；在探索关系的过程中，引导学生有序地思考从每一个顶点出发可以画出多少条线段，有哪些线段是会重复的，直至概括出一般的数量关系，这些都显示了教师的教学智慧。］
五、解析完全图怎么会成曲线
1．教师引导学生继续提问
师：刚才我们化繁为简，一步一步认识了完全图，刚开始我们只知道它很漂亮，后来知道它是怎么形成的（通过顶点画出所有的对角线），而且还知道它由多少条线段组成。你还能提出其他问题吗？
（学生提问）
2．引导学生思考
师：画的是线段但怎么在图中却出现了曲线，出现了圆呢？
（教师引导学生思考）
3．组织学生操作
教师引导学生画一个简单的类似的图形，让学生感受画线段成曲线的过程；进行动态演示，让学生感受画直为曲。
（教师板书：画直为曲）
［评析：面对完全图，学生经历了由浅入深的认识过程，先是了解它是怎么构成的，再是探索它到底是由多少条线段组成的，最后思考画直为曲的道理。教师利用同一图示，引导学生逐渐深化认识，不断激发学生的好奇心。］
六、动态演示，数学欣赏
师：在课的最后，我们再来欣赏一些美妙的图案。
学生欣赏。教师把多种图案结合起来演示，最后组合成一朵美丽的花，形成一个美妙的图案。
［评析：随着课程的改革，多数教师都赞同开设一些数学欣赏课，但长期以来却鲜有系统的内容。用超级画板展示的这些动态的图案显然可以带给我们很多启示，为我们留下探寻的空间。这些动态图案激发了学生极大的学习热情，让学生感觉到“原来数学可以这么美妙”。］
教学反思
上完这节课后，我感慨良多，现谈谈几点主要的认识：
1．信息技术与学科整合有赖于有学科特性的技术平台
听过这节课后，可能大家都会追问一个问题：超级画板是个什么软件啊？是啊，这的确是一个重要的问题。我们都知道信息技术与学科整合历来是国际数学教育研究的趋势之一。开发一个适合小学数学教学的平台，一直是信息技术与数学学科整合的目标。继演示型课件、互动型课件之后，如何开发出即时生成的技术平台？在研究与实践中，我们越来越能体会到一项具有普适性的技术总顾及不到某学科的专业要求，一项好的教育技术必须符合学科教学的特点。继Authorware、Flash、Powerpoint以后，又有什么好的软件能为教师的教学服务呢？
我国数学家、计算机科学家、中科院院士张景中研发的超级画板软件，无疑填补了这一方面的空白。从这堂课中，我们感受到用了这个免费软件之后，“本来就要做的事，做得更快更容易了，效率提高了”。比如要画一个正20边形，只要选定一条边，设置正多边形的边数是20，一个正20边形就画成了。而且，变动其中一条边的长度，其他边的长度也自然会跟着变化，因为在动态的变化中，等边的几何图形，属性是不会变的。用了超级画板软件之后，“有些过去想到做不到的事，也可以轻松实现了”。比如要把一个顶点数是28的完全图变为顶点数为4的完全图，只要拖动变量滑钮就可以实现了，在过去这样实现起来是困难的。用了超级画板软件之后，“过去想不到或者不敢想的资源就可以创造了”。当学生猜想完全图是由多边形旋转而成时，用超级画板就可以当场演示多边形旋转一圈形成的图形，还可以把各种图案结合起来形成美妙的花，这在传统的教学环境中是不可能实现的。而这一切，超级画板都可以帮我们轻松实现。
2．课程内容的改变是课程改革的重要组成部分
听过这节课后，有人可能还会说，这个内容小学现有的课程中是没有的，“圆内接正多边形”这样的词汇应该出现在中学教材中。其实这些名称并不能将中学内容与小学内容区分开来，关键要看学生是否能够接受。我曾经不断反问自己：技术可以改变什么？是手段？是方法？是目标？是内容？设想，因为有了技术，学生学习原来课程内容的效率提高了，在此基础上，基于技术增加一些有利于学生探索规律、发展思维、培养空间观念、激发学习兴趣的内容，未尝不可。恰恰相反，不是多了，而是这样的内容我们研发的太少了。尽管我们都承认“教什么比怎样教更重要”或“教什么与怎样教同样重要”，但是当我们的教学中出现新内容的时候，原有的认知总是容易对此产生干扰。看到学生学完这节课后，更加了解点、线、面、体以及圆与正多边形的关系，掌握了探索规律、解决问题的“化繁为简，从简入手”的转化方法，体悟到极限思想这一数学思想，并且对数学的历史有了更为完整的认识，我感到十分欣慰。同时，学生学习时表现出来的那种激动心情和浓厚兴趣，给了我极大的鼓舞和无限的宽慰，也更坚定了我改变课程内容的决心。
3．数学美需要逐步体验与感悟
在课堂教学中，我常常听到学生赞叹“原来数学可以这么美”。联系课堂中的教学情境，我们可以发现：数学美，绝不仅仅是外观的美，而且还蕴含着丰富的内涵，需要逐步体验与感悟。当看到一些动态图案时，学生可能认为是一些色彩丰富的漂亮图案；当发现学习内容之间的一些联系时，学生将会产生分析数学知识结构的想法；当经历了从陌生到熟悉的认识事物的过程，学生感受到的是喜爱学习数学的美妙情感。
专家点评
智慧的数学课堂应该是简简单单的，清晰而不晦涩，简约而不繁杂。课堂中的学生能真正有所收获，不仅可以学到知识，更能掌握解决问题的方法，即便面对的是错综复杂的问题，也一样能条分缕析，能够解决问题并能在这个过程中积累经验。
智慧的数学课堂在简约中蕴含着深刻的内涵，于朴素中体现思想，在细微中展现机智，似不经意中折射出文化，它以理性的力量推动学生去思考、发现、探究、享受……学生的发展是智慧教学追求的目标。
这节课以空间与图形为主要教学内容。教材强调从多种角度来认识图形、认识空间，是因为社会的发展使得人们越来越深刻地认识到空间与人类的生存和生活的紧密关系，帮助学生了解和掌握相关知识，才能使学生更好地活动和成长。另外，空间观念的培养与创新精神的培养密切相关，许许多多的发明创造都是以实物的形态呈现的，作为设计者，要先从自己的想象出发画出设计图，再根据设计图做出实物模型，然后修改设计方案，直至最终完善成型。而小学生因为年龄小、生活经验有限等原因，在空间观念的形成上一直存在较大困难。怎样能够比较好地培养学生的空间观念？唐老师执教的这节课展示了他对这个问题的思考和大胆实践。
从唐老师的教学中我们能读出他的智慧：他能找出小学生数学学习中困难、薄弱的方面，选择合适的素材作为教学内容，帮助小学生全面提高数学学习能力。这让我们感受到了一名智慧型教师的教学智慧。
选择合适的教学工具来展开研究是我从唐老师教学中读出的另一个智慧。唐老师选择了超级画板工具，使学生能直接观察、认真思考，从而有助于培养学生的空间观念和想象能力，培养学生运用变化、联系的观点分析问题的能力。
唐老师的教学智慧不止于此。如唐老师在学生认识了圆这个曲线图形之后，以“圆与正多边形的关系”为主题，引导学生领略从直线图形到圆的变化过程，培养学生的转化思维。
另外，从唐老师关于“圆与正多边形的关系”的教学中，我们看到了一颗颗思想的珍珠：
（1）联系的思想。如关于点、线、面、体间联系的直观揭示，关于圆与正多边形的关系的探讨。
（2）运动变化的思想。如在变化中认识圆内接正多边形，在变化中发现圆内接正多边形的边长、面积与圆的关系，在运动变化中观察和认识图形及其特征、规律。
（3）极限的思想。极限思想是研究圆这一曲线图形与正多边形的关系的重要指导思想，唐老师运用超级画板让学生形象地认识到了圆内接正多边形的面积随着边数的增加而增大，使他们直观地理解了“割圆术”中“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”的意思。
（4）化繁为简的转化思想。唐老师指导学生从复杂图形中辨别出基本图形，进而获得对完全图的认识；在引导学生研究完全图中线段条数与顶点的关系时，也注重从简单情况入手，借助推理，归纳总结出规律。
此外，唐老师用“画的是线段但怎么在图中却出现了曲线，出现了圆”等问题，引导学生养成透过现象分析本质的习惯，培养其探究意识，引导学生智慧地生活、快乐地探究。
有教育智慧的人会把复杂的内容教得简单，会把简单的内容教得有厚度，会让人从一个概念、公式、算法中看到整个学科的魅力。当教师的心中有真正的数学，当课堂中有真正的学生，数学教育就找到了那个能撬动地球的支点！这样的数学课堂就是充满智慧的数学课堂！
（湖北省教育厅教研室 刘莉）