于细微处品不凡
——“谁围的面积大”教学实录及评析
潘小明：上海市宝山区实验小学校长
课堂实录
一、导课——提出问题
师（出示一红一绿两根电线）：同学们看到了什么?
生：一长一短的两根电线。
师：我告诉你们，红色电线长24厘米，绿色电线长20厘米。大家听了后有什么问题吗?
生：老师，你拿这些电线干什么?
师：这些电线不是用来通电的。（学生和听课老师都笑了）那是干什么的呢?请看——
（屏幕显示：有两根铁丝，一根长24厘米，另一根长20厘米。用这两根铁丝分别围成两个长方形，哪根铁丝围成的长方形面积大。）
生：长的那根铁丝围成的长方形面积大。
师：同意的请举手!
（几乎所有学生都不假思索地举起了手）
师：谁能说说理由?
生：这根铁丝比较长，围成的长方形的边长也比较长。求长方形的面积是用长乘宽，它的长和宽都比用20厘米的铁丝围成的长方形的长和宽的数值大，所以它的面积肯定比较大。
师：这是你的想法。其他同学还有自己的想法吗?
生：可以用算式来验证。
师：你是想把它围成一个长方形后计算出面积，再来说明理由，是吗?
生：是的。
师：同学们是不是有这样一种想法，长的铁丝围成的长方形的周长就长，周长长的长方形，你们认为它的——
生（齐）：面积就大。
（教师在黑板上板书：周长长的长方形面积就大）
师（若有所思地）：我也在想，如果“周长长的长方形面积就大”这句话是正确的，那么“用24厘米长的铁丝围成的长方形的面积就大”这个结论当然是正确的!可是，万一用24厘米长的铁丝围成的长方形的面积反而小了，那又说明了什么呢?是呀，那就说明黑板上的这句话错了。对于“周长长的长方形面积就大”这句话，你们有没有验证过？
（许多学生都在摇头，另有几个学生参差不齐地回答“没有”）
师：那可就犯大错啦!你们没有验证过，就把它当真理去用?这不行。我们首先得干什么?怎样进行验证呢?
生：老师发给我们的纸上有许多个点。譬如说，我们可以先在上面画一个长方形，它的宽是4个点，长是5个点，再算出它的周长，然后画一个周长短一点的长方形，之后用我们学过的方法算出它们的面积。这样就能检验这句话到底对不对。
师：你是不是想先围两个周长不等的长方形，分别算出它们的面积，再来验证周长长的长方形的面积是不是真的就大?
生：是的。
师：那好，我们就直接用长度为24厘米和20厘米的这两根铁丝分别围成两个长方形，然后进行验证吧。
二、验证——分析问题
（学生各自在纸上画出想围成的长方形，进行验证，之后在4人小组内进行了交流。）
师：下面，请同学们发表意见。
生：我认为“周长长的长方形面积就大”这句话是对的。因为我围了一个长7厘米、宽5厘米的长方形，还围了一个长7厘米、宽3厘米的长方形……
（“不对!不对的!”有几个学生情绪激动，有点坐不住了）
师：（看看那些坐不住了的学生，之后转向刚才发表意见的学生）有同学对你的回答有意见呢!（转向另一个学生）你说。
生：我用24厘米长的铁丝围成了一个宽1厘米、长11厘米的长方形，用20厘米长的铁丝围成了一个宽4厘米、长6厘米的长方形……
生：我对刚才的回答还有一点补充，那就是凡是围成宽是1厘米的长方形，这句话就不适用了。
师：你的意思是说不能用24厘米长的铁丝去围成宽是1厘米的长方形。而对于围成的宽是2厘米、3厘米或其他长度的长方形，这句话就是对的了，是吗?
生：是的。
师：那我们就用24厘米长的铁丝来围一个宽是2厘米的长方形。这个长方形的长是几厘米?面积又是多少?
生：长是10厘米，面积是20平方厘米。
师：请再看刚才用20厘米长的铁丝围成的长6厘米、宽4厘米的长方形，你们有什么想法?
生：周长为24厘米的长方形的面积反而小。说明这句话还是错的。
师：通过举例验证，请大家现在来判断“周长长的长方形面积就大”这句话到底是对还是错?
生：我认为这句话有时候是对的，有时候是错的。
（其他学生似乎一下子还没听明白，听课老师一阵哄笑）
师：你们听明白他的意思了吗?我听明白了。比方说，用24厘米长的铁丝围成面积是32平方厘米的长方形，用20厘米长的铁丝围成面积是21平方厘米的长方形，这时候这句话是对的；而如果用24厘米长的铁丝围成面积是11平方厘米的长方形，用20厘米长的铁丝围成面积是21平方厘米的长方形，这时候这句话是错的。同学，你是这样的意思吗?
生：是的。
师：我想问，当试卷上有这样一道判断题时，你是不是也想在括号里写上“这句话有时候是对的，有时候是错的”呢？若真是这样写上，不知道你的老师将会怎样评判呢?
（这回其他学生都乐了，哈哈大笑起来）
生：我发现如果用长度分别为24厘米和20厘米的两根铁丝围成的长方形的宽相等的话，那么，“周长长的长方形面积就大”这句话是对的。
师：同学们都听清楚了吗？当围成的长方形的宽相等时，周长长的长方形的面积肯定大!你们同意吗?知道为什么吗?
生：同意。因为这时候，周长长的长方形的长肯定要长一些，所以它的面积就一定大。
师：有道理!真会动脑!
生：我认为不能说这句话有时候对有时候错。因为已经举出一个例子说明周长长的长方形的面积不比周长短的长方形的面积大，所以这句话是错的。只要举出一个反例，就能说明这句话是错的。
（一些学生表示赞同）
师：我举双手赞同这位同学的观点!你说周长长的长方形的面积一定大，那我就用周长为24厘米的铁丝围成了一个长11厘米、宽1厘米的长方形，它比起周长为20厘米的这个长方形，（屏幕出示用20厘米长的铁丝围成的长7厘米、宽3厘米的长方形）面积哪里大了呢?因此，这句话肯定是错的!有同学是通过寻找反例来进行验证的。这很好。如果我们找遍了所有的例子，都是周长长的长方形的面积大，那就证明这句话是正确的。但是，如果找到了反例，哪怕只有一个反例，就足以证明这句话是错的。我们在验证时要关注有没有反例。现在，我们都知道这句话是错的。怎样改就正确了呢?
生：把“就”改成“不一定”，也就是“周长长的长方形面积不一定大”。
（屏幕上出示三个长方形）
师：观察这组周长都是24厘米的长方形，你从中有什么发现?要从这三个长方形中找规律，数据材料是不是少了点儿?
（学生纷纷点头。之后，学生又对数据材料进行了补充）
师：现在，数据材料多了，同学们发现了什么吗?
（大多数学生面露难色）
师：看来从一堆杂乱的材料中很难发现规律。我们现在该怎么办?
（学生说需要将材料进行整理，而且要有序整理。教师结合学生的回答板书，见下表。）
（教师还没有写完，学生陆续举手发言）
生：周长相等的长方形，长与宽越接近，面积就越大。
生：当长与宽相等时，面积就最大。
生：如果铁丝的长度是42厘米，这时就不能围成正方形，只能围成长是11厘米、宽是10厘米的长方形。因此，不能说围成的正方形的面积是最大的。
生：用42厘米长的铁丝怎么不能围成正方形?它围成的正方形的边长是10.5厘米。
生：边长是小数，那是不可以的。
生：题目中又没有规定围成的图形的边长必须是整数。为什么不可以呢?
生：就算可以。这样围成的正方形的面积也不是最大的。11乘10等于110平方厘米才是最大的。
师：那我们再计算一下10.5乘10.5的积，积是110.25平方厘米。还是正方形的面积大。同学们刚才发现，周长相等的长方形，当长与宽越接近时，长方形的面积就越大；当长与宽相等时，面积最大。反过来，也就是说，周长相等的长方形，长与宽相差越大，长方形的面积就越小。那什么时候长方形的面积最小?
生：当围成宽是1厘米的长方形时面积最小，是11平方厘米。
生：我不同意。也可以用它围成宽是0.5厘米、长是11.5厘米的长方形，这样面积就更小了。
师（引导学生看屏幕）：宽由1厘米减小到0.5厘米，长增加到11.5厘米时，面积大约是多少?
生：比6平方厘米还小。
生：还可以用它围成宽是0.1厘米、0.001厘米的长方形，这样面积会更小。由此可看出，没有面积最小的长方形。
师：同学们，这是我们从周长都是24厘米的这组长方形中发现的规律。对于那些周长不是24厘米的长方形，是不是也存在“周长相等的长方形，当长与宽越接近时，面积就越大；当长与宽相等时，面积最大”的规律呢?
生：这也要验证一下。
师：好，应该!我们就一起来观察周长是20厘米的这组长方形，看有没有这样的规律?
（学生通过验证发现同样有着这样的规律）
师：只举两个正例是很难证明的。等你们上中学就会学到怎样证明。不过，老师现在可以告诉你们，“周长相等的长方形，当长与宽越接近时，面积就越大；当长与宽相等时，面积最大”这话是正确的。同学们，刚开始的时候，我们以为“周长长的长方形面积就大”，后来，我们举了一个反例把这句话给推翻了，并发现周长长的长方形面积不一定大。接下来，同学们从周长为24厘米的这组长方形中发现“周长相等的长方形，当长与宽越接近时，面积就越大；当长与宽相等时，面积最大”，并且得到了验证。你们真棒!
教学反思
这几年，我一直在思考“数学生成教学”这一问题并在教学中努力实践。因为一直在思考和实践，所以每过一个阶段，我都会有一些新的认识。最近我一直在思考数学知识、数学思维、数学情感这三者到底该如何在数学课堂上交织这个问题，却总是找不到确定的语言来表述。
我在这样的痛苦中煎熬已经有一段时间了，直到偶然重温了海明威提出的“冰山原理”，我才豁然开朗：数学知识、数学思维、数学情感这三者不就好比“冰山原理”中的具体可见的文字和形象、寓于文字和形象之中的情感和思想吗?数学知识是显性的，就像是浮出水面的山头；数学情感是隐性的，就像是处于水下但支撑着整座山的重要基座；而数学思维是一个重要的中介，数学知识、数学情感都是寓于数学思维活动中的（如下图所示）。
1．“思维场”应“境”而生
一个好的问题情境，应该是具有教学价值的，它能激活经验，产生意向，激发创造，所以它必须是开放的，能使各层次的学生都参与其中并产生自己的想法，经过猜测、验证等活动发现知识规律。
“有两根铁丝，一根长24厘米，另一根长20厘米。用这两根铁丝分别围成两个长方形，哪根铁丝围成的长方形面积大?”对于我提出的这个问题，多数学生认为“周长长的长方形面积就大”，少数学生却认为“不一定”。“我认为‘周长长的长方形面积就大’这句话是对的”“我发现这句话是错的”“我认为这句话有时候是对的，有时候是错的”“我认为当围成的长方形的宽相等时，这句话是对的”“我认为只要举出一个反例，就能说明这句话是错的”……“问题场”就这样形成了。
在思维的碰撞中又产生了新的问题：已经举出了正例，为什么还不能证明这句话是对的呢?应该怎样去举例验证呢?周长长的长方形面积不一定大，那么周长相等的长方形的面积会不会也不一定相等呢?周长相等的长方形，当长与宽相等时，长方形的面积最大，那有没有最小的面积呢?这些新问题环环相扣，层层深入，自然地构成“问题串”。
“问题场”与“问题串”纵横交错，织成了一张思维的网，学生的思维随之不断拓展，我将其称为数学课堂上的“思维场”。“思维场”通常在问题情境中产生，而构建有长度、有宽度、有深度的“思维场”应该从创设具有数学思维价值的问题情境开始。从某种程度上来说，一堂数学课，教师教得得不得意，学生学得幸不幸福，就取决于这个“思维场”的长度、宽度和深度。
2．实践体验因“悟”而深
深切的体悟必定来自于亲身实践，但亲身实践未必会有深切的体悟，教师必须适时引导学生，而且必须在数学思维上多加引导。
例如，在验证“周长长的长方形面积就大”这句话是否正确时，我预想到有学生会举一个正例来验证，也明知这样的证明是不科学的，但还是先让学生从各自的思维出发去举例验证。对于那些举了正例就以为结论正确的学生，我没有马上提示他们去寻找反例，而是让他们继续等待。因为我认为，让学生学习举例验证中的正确的思维方法比结论本身更重要!这里看似浪费了时间，其实为的是让学生在之后的语言交流、思维碰撞中自己发现错误，进而产生更深的体验。
再如，我问学生“通过观察周长都是24厘米的这组长方形，你有什么发现”，此时少数学生已经有所发现，通过生生互动，其他学生也能知道其中的规律。如果教学就此打住，这样的知识与规律对学生又有多大的意义呢?学生的思考还没有真正开始呢!于是，我针对学生可能会有的困惑进行启发与引导，并和学生一起收集数据材料，进行有序整理和观察比较。结果，学生不仅发现了“周长相等的长方形，当长与宽越接近时，面积就越大；当长与宽相等时，面积最大”这一规律，而且还提出了“既然当长与宽相差越大时，长方形的面积就越小，那么有没有最小的面积”的问题。同时，学生还有意外的发现：随着长与宽的变化，长方形的面积变化也是有规律的，它们的面积分别相差9，7，5，3，1平方厘米。这是巧合还是必然?到底有什么道理?学生几分得意，教师暗自高兴。这样的思维深度，这样的深刻体验，怎能不让学生得意，让教师高兴呢?
数学教师要学会往下看，去发现并抓住支撑着数学知识的数学思维，让学生亲历数学思维活动的过程，让他们不仅获得扎实的知识与技能，而且产生积极的情感体验，具备科学态度和探索精神。
如此，你的学生会因为你的每一节数学课而终身受益。
专家点评
“智慧和人格在数学活动中生成。”细酌潘小明老师这堂课的教学，我深刻感受到这一理念在教学中的落实，于细微处品出了不凡，现针对一些教学片段谈谈自己的想法。
师：有两根铁丝，一根长24厘米，另一根长20厘米。用这两根铁丝分别围成两个长方形，哪根铁丝围成的长方形面积大？
生：长的那根围成的长方形面积大。
师：同意的请举手!
（几乎所有学生都不假思索地举起了手）
……
师：同学们是不是有这样一种想法，长的铁丝围成的长方形的周长就长，周长长的长方形，你们认为它的——
生（齐）：面积就大。
（教师在黑板上板书：周长长的长方形面积就大）
［赏析：从学生的生活经验出发，引出“经验性结论”，为后面的探讨和研究埋下伏笔。］
师：……对于“周长长的长方形面积就大”这句话，你们有没有验证过？
（许多学生都在摇头，另有几个学生参差不齐地回答“没有”）
师：那可就犯大错啦!你们没有验证过，就把它当真理去用？这不行。我们首先得干什么？怎样进行验证呢？
［赏析：教者把引起学生心智活动作为教学活动的起点，即把教学的目标定位在提高学生的心智水平上。］
（学生回答说用求面积的方法来验证。之后，学生在教师分发的方格纸上画出想围成的长方形，进行验证，并在4人小组内进行了交流。）
生：我认为“周长长的长方形面积就大”这句话是对的。我围了一个长7厘米、宽5厘米的长方形，还围了一个长7厘米、宽3厘米的长方形，前者的周长是24厘米，面积是35平方厘米，后者的周长是20厘米，面积是21平方厘米……
［赏析：这是一个聪明的学生，他把两个长方形的长都定为7厘米，再进行比较，实际上是做了一个控制变量的工作。虽然这属于无关变量的控制，但折射出来的却是科学的思维和方法。］
生：我认为不对。我用24厘米长的铁丝围成了一个宽l厘米、长11厘米的长方形，用20厘米长的铁丝围成了一个宽4厘米、长6厘米的长方形，24平方厘米大于11平方厘米……
［赏析：这个学生的发言有两层内涵。一是思维有了一个移位。他用事例验证了一个副命题“周长相等的长方形面积不一定相等”，并由此推理，因为长方形的周长相等时面积不一定相等，那么周长不同时面积就更不同了，所以说“周长长的长方形面积就大”根据不足。二是验证了另一个命题，即“面积大的长方形周长不一定就长”。］
……
生：我认为这句话有时候是对的，有时候是错的。
［赏析：这就是儿童思维的特点。当一种结果出现时，他们会毫不犹豫地作出判断；当两种矛盾的结果出现在他们面前时，他们会重新思考，得出第三个答案。这是儿童的认识由片面向全面的发展过程。］
……
生：我认为不能说这句话有时候对有时候错。因为已经举出一个例子说明周长长的长方形面积不比周长短的长方形的面积大，所以这句话是错的。只要举出一个反例，就能说明这句话是错的。
［赏析：学生的思维发生明显转向，科学思想的严谨性在内化。经过这样一番“折腾”之后，学生的思维、认识立刻清晰起来，这就是心智训练的结果。］
……
（教师要求学生观察一组周长都是24厘米的长方形，找出其中的规律）
生：周长相等的长方形，当长与宽越接近时，面积就越大。
生：当长与宽相等时，面积就最大。
［赏析：这是思维的火花，像居里夫人发现镭时一样。有了思维的训练，有了心灵的触动，才有智慧的生成。］
……
数学教学就是要抓住学生在参与数学学习活动时所作出的数学思考。潘老师把教学目标定位在促进学生的整体发展上，让学生从生活经验中得出“经验性结论”，并让学生明晰概念，这个过程是一个触动心灵、生成智慧的数学思考过程。课堂上，学生的经验性推理结论出现后，受到了教师的质疑，于是他们开始验证，并在验证中收集了各种数据和材料，得出了明确的结论。但这个结论与学生的经验性推理结论不符，因为他们坚信“周长长的长方形面积就大”。这样一种思维定式深刻地影响着学生，却是不符合事实的，我们不得不承认事实。教师看准了这一触点，教学由此展开，与此同时，学生的实事求是地分析问题、解决问题的训练也就开始了。
（湖北省荆州市公安县倪家塔小学副校长 谢正明）