观察比较，主动探究

——“乘法分配律”教学实录及评析

潘小明，上海市宝山区实验小学校长

课堂实录

一、开门见山

师：同学们，我们已经学习了乘法的交换律和结合律。今天，希望同学们能探究发现乘法的又一个新知识。

［评析：简洁地导入，给学生以期待，激发学生探究新知识的欲望。］

二、展开探索过程

1．初步感知

（课件出示。）

一件儿童上衣的价格是5元，一条裙子是4元，买3套这样的儿童服装应付多少钱呢？

师：买3套这样的儿童服装应付多少钱呢？你能用几种方法解答？请列式计算。

（学生各自独立计算，不一会儿，纷纷举手。）

生1：我先算出1套服装的价钱，再求出3套的价钱，算式是括号5加4括号乘3。

［结合学生回答，教师进行板书：（5+4）×3。］

师：你列的算式里共有几个括号？

生1：就一个括号。这样说吧，5与4的和乘3，得数是27。买3套服装应付27元。

师：明白。

生1：我还有另一种方法，先分别算出3件上衣和3条裙子的价钱，再算出3套服装的总价钱。算式是5乘3的积加上4乘3的积。

（结合学生回答，教师板书：5×3+4×3。）

师：是这样吗？

生1：是的。

师：还有其他不同的方法吗？

生2：我的方法是，5+5+5+4+4+4=27。

生3：我的方法是，5+4+5+4+5+4=27。

生4：我觉得这两个同学的想法与前面同学的两种想法是一致的。但是，第一个同学的算式比较简单。

（众生点头以示同意。）

［评析：这里，教师直接提出“你能用几种方法解答”，其目的是让学生在经历了两种不同思考方法的计算后，发现新的知识规律，同时，产生这样一种体验——乘法分配律的知识存在于实际问题的解决中。］

2．类比展开

师：我们再来看看小强在做什么？

（课件出示。）

小强摆木块，每行摆6个绿木块、8个红木块，共摆了4行。

师：请你想象一下，小强是怎样摆的？

生：他可能是先在第一行的左边摆6个绿木块，右边摆8个红木块，然后后面的3行也都是一样。

（结合学生回答，课件逐步出示图1。）

生：他也有可能是左边摆8个红木块，右边摆6个绿木块，然后后面的3行也都是一样。

（结合学生回答，课件逐步出示图2。）

师：是，这两种情况都有可能，也都可以。不过不管怎样摆，我们总能知道什么？

生：一共有多少个木块。

师：是啊！小强一共摆了多少个木块呢？你能用几种方法解答？都列出来。

（学生再次各自列式计算。）

生：第一种方法是，先算出一行有多少个木块，6+8=14（个），再用14乘4行就可以得到一共摆了56个。算式是（6+8）×4。

生：还有另一种方法。先算出绿木块一共摆了多少个，6×4=24（个），再算出红木块一共摆了多少，8×4=32（个），最后把绿木块和红木快的总数加起来就是小强一共摆的木块的个数，24+32=56（个）。算式是6×4+8×4。

［结合学生回答，教师接着上题板书：（6+8）×4；6×4+8×4。］

［评析：将几个等式有序地排列，强化观察、分析关键部分，便于学生找出共同点，发现规律，归纳定律。］

三、发现规律

1．发现规律

师：从上面的算式中你有没有发现什么规律？

（学生们都注视着黑板上的算式，寻找着其中的规律。渐渐地，一些学生举起了手，有些学生开始有些激动，急着与周围的同伴说起了悄悄话……此时，教师没有急于指名学生个别回答。）

2．交流讨论

师（惊奇地）：你们真的发现了这些算式中隐含着的规律？请与你的同桌交流一下，好吗？

（教室里的气氛一下子热烈起来了，同学之间指点着、交流着，一些心急的同学忍不住又举起小手。）

3．举例验证规律

师：从大家的神态和脸部表情中，老师知道你们一定觉得自己发现了规律。同学们，我能猜到你们发现了什么。不过，你们所看到的也许只是一种偶然现象，是一种猜想而已。你们能再举些例子对自己的猜想进行验证吗？请在你的本子上举些例子。

（同学们认真地在本子上任意地写着算式，进行着计算，很快举起了手，积极地汇报自己验证的结果。）

生1：（8+3）×4=8×4+3×4。

生2：（5+1）×3=5×3+1×3。

生3：（1+9）×5=1×5+9×5。

生4：我觉得不一定对。我也举了例子，（1+1）×7≠1×7+1×7。

（该生的回答掀起了轩然大波。）

生1：左边算式的答数是几？

生4：1+1=2，2×7=14。

生2：右边算式的答数是几？

生4：1×7=7，7+7=14。

生3：这两个算式你说相等吗？

生4：相等，我算错了。

师：从同学们举的大量的例子中，可以确定你们的发现是正确的吗？

生：老师，虽然举了许多例子，可万一还是碰巧遇到不正确的，怎么办？

（该生的这一提问，引来了一些学生的赞同。）

生：是呀，万一呢？

（教师被这意外的“一问”问住了。）

师：会有这种“万一”吗？你能举出一个反例吗？

（教师的反问，引起同学们的深入思考……）

生：不可能有反例出现。我们以“（8+3）×4=8×4+3×4”为例吧，左边算式括号里算得11，表示有11个4，右边算式的“8×4”表示有8个4，“3×4”表示有3个4，加起来共有11个4。等号两边的算式形式不同，但它们的意思是相同的，都表示11个4，所以是相等的。其他的式子，道理是一样的。

师：同学们还有不同意见吗？

（众生摇头以示没有意见。）

4．抽象概括

师：同学们，你们可知道，你们发现的这个知识规律，就叫作“乘法分配律”。什么叫“乘法分配律”？请同桌间再交流一下。

（学生积极地与同桌交流着，又踊跃地参加集体交流。）

师：好！说说你对乘法分配律的认识。

生：我认为乘法分配律就是把括号里的两个数加起来后乘一个数，等于把括号里的两个数都去乘一个数，再把乘出来的积加起来。

生：乘法分配律是把两个数加起来乘乘数，等于括号里的一个加数乘乘数加上括号里的另一个加数乘乘数。

师：你们想表达的是这样的意思吗？

（教师板书：两个数的和与一个数相乘，可以用两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。）

生：是！

5．用字母表示规律

师：这叫作“乘法分配律”。你能用字母来表示乘法分配律吗？

生：（a+b）×c=a×c+b×c。

［结合学生回答，教师板书：（a+b）×c=a×c+b×c。］

师：对于乘法分配律，用字母来表示，感觉怎样？

生：比较方便。

生：比较简单。

师：比较简洁明了，这就是数学的美。

［评析：对于乘法分配律的教学，教师没有把重点放在反复地进行所谓的严格、准确和简明的表述上，而是把重点放在让学生通过多种方法的计算去完整地感知，对所列算式进行观察、比较和归纳，大胆提出自己的猜想并举例进行验证上。只有经过这样的探究活动，学生才会真正有所体验，才能建构对自己有意义的知识，用语言表达乘法分配律也就水到渠成了。］

四、练习巩固

1．基本练习

师：请运用乘法运算定律，回答下面各题。

①（32+25）×4=□×4+□×4；

②（64+12）×3=□×□+□×□；

③25×（4+9）=□×□+□×□；

④75×64=□×□+□×□。

生1：（32+25）×4=32×4+25×4。

生2：（64+12）×3=64×3+12×3。

生3：25×（4+9）=25×4+25×9。

生4：75×64=70×64+5×64。

师：你是怎么想的？

生4：我把75看成70+5，然后根据乘法分配律来运算就行啦！（70+5）×64=70×64+5×64。

生5：还可以这样，75×64=75×60+75×4，我把64看成60+4，75×（60+4）=75×60+75×4，也是运用了乘法分配律。

师：不错！两种想法都很好！

2．扩展练习

师：下面这道题是选择题，请用手势表示正确答案的编号。

与25×（4×8）相等的算式是，①25×4+25×8；②25×4×25×8；③25×4×8。

（全班学生中有1位选①，3位选②，其余都选③。）

师：怎么想的？请选①的同学来说一说。

生1：啊！我看错了！我把4×8看成4+8，如果是4+8的话才选①。

师：那选②的同学又是怎么想的呢？

生2：根据乘法分配律，如果括号里面的“+”变成“×”，那等号右边的“+”不是应该相应变成“×”吗？

生3：那你算算25×（4×8）会等于25×4×25×8吗？

生2：25×（4×8）=800，25×4×25×8=20000，不相等。

生3：并且，你想想，这道题不就是我们刚学的乘法结合律吗？只有连乘的才可以任意结合两个数。

师：是啊！我们要把乘法分配律与乘法结合律区别开来。

［评析：在练习部分，从基本练习到开放练习，体现了课堂的开放性，多留点时间让学生去探索，去思考，去说。括号内数字相加的情况下可以用乘法分配律，那么其他情况呢？25×（4×8）与哪个算式相等？让学生去辩论，去验证，再进行分析比较，使学生进一步掌握新知识，消除新旧知识的相互干扰，提高分辨能力。］

五、课堂总结

师：今天我们探究、发现了关于乘法的什么新知识？是什么意思？公式是怎样的？有什么用？

［评析：在课结束前进行有效的回顾，不仅做到前后呼应，还使学生对新学的知识有一个整理的机会。特别是乘法分配律“有什么用”这一问题更引起了学生的思考，使学生的认识水平得到了提高。］

教学反思

小学数学乘法运算定律之乘法分配律是在学习了乘法意义、混合运算式题、乘法交换律与结合律的基础上学习的，是乘法运算定律中的重点，也是教学中的一个难点。通过本课的学习，要使学生达到以下目标。（1）理解和掌握乘法分配律，并能初步运用乘法分配律进行一些简单运算。（2）培养观察能力和抽象概括能力，提高学习能力。（3）感受数学的内在美，体验学习数学的乐趣，渗透唯物主义思想。本节课的教学目标是通过理论联系实际，引导学生有步骤地观察、猜测、分析、比较，初步理解乘法分配律，掌握其数学特点和结构形式，在教学中重视学生的主体参与，让学生观察比较、主动探究。

本节课在传统的概念教学中有所创新，有所突破，主要体现在以下几方面。

从学习目标上看，变教学生学会知识为指导学生会学知识。

从教学方式上看，变重视结论的记忆为重视学生获取结论时的体验和感悟。

从学习方式上看，变模仿式的学习为探究式的学习。

1．为学生提供了充分的从事数学活动的机会

数学教学应该是数学活动的教学。传统的教学活动往往只重视结论的记忆，而这节课我把学生的活动定位在感悟和体验上，引导学生用数学的思维方式去发现、探索。尤其是在学生初步感悟到两种算法相等关系的基础上，继续为学生提供具有挑战性的研究素材——算式，使学生在辨析与争论中自然而然地完成猜测与验证，形成清晰的认识。这些学习活动使学生经历了知识的形成过程，十分自然，十分到位，给人一种水到渠成的感觉。

2．为学生学习方式的转变创设了条件

对于模仿式学习，学生只知其然，而不知其所以然，导致知识易遗忘。改变学生的学习方式，让学生进行探究性学习，不能是一句空话。教师教学方式的转变将极大地促进学生学习方式的转变。我们要给学生提供丰富的感知素材和具有挑战性的研究素材，提供猜测与验证、辨析与交流的空间，把学习的主动权还给学生，点燃学生的学习热情，激起他们创造的火花。他们单一的、枯燥的，以被动听讲和练习为主的方式，就会被观察思考、自主探究、合作交流的学习方式所取代。在本节课中，学生积极的思考与探究一次次把课堂气氛推向高潮，在概括规律的过程中，多次出现全班学生都站起来争先恐后举手发言的场面。尽管对定律内容的叙述十分烦琐，但学生仍然热情地参与。丰富的感性材料、深入的体验与感悟、积极的探究与思考，使得他们的发言闪现着思维的火花，使得规律的概括总结水到渠成。

专家点评

潘老师上的这堂课较能体现课堂教学新理念，能很好地引导学生用数学的思维方式，沿着“猜想—验证—总结—应用”的轨道去发现，去探索，让学生经历了数学规律的全过程，达到了启迪学生数学思想方法的目的。例如，在问到“从上面的算式中你有没有发现什么规律”时，教师请学生猜想，但不说出来，而是看这个猜想是否适用于其他数据。接下来教师就请学生举例验证，学生通过辨析争论，由特殊到一般，归纳、总结，自己发现规律。潘老师在教学中能很好地引导学生在探索中发现、感悟、体验数学规律及作用，进而学会应用规律。教学中，教师还采用学生说前半部分、教师进行补充的形式激发学生的学习兴趣，使课堂气氛较活跃，以致有些学生不愿意下课，还要讨论下去。究其原因主要有以下几点。

一是摆正了教与学的关系，为学生提供了充分的数学活动机会，把学生的活动定位在感悟和体验上，引导学生用数学的思维方式去动手实践、自主探究及与同伴进行交流，亲历观察、归纳、猜测、验证、推理等探究发现的全过程，让学生在学习过程中发现乘法分配律的知识，使学生真正成为学习的主体。

二是将模仿式的学习变为探究式的学习，改革了传统的教学方法。不再采用过去简单的一问一答方式，把知识规律展示给学生；而是采用符合小学生认知的“创设情境提出问题—在师生互动、学生自主探究中解决问题—在学习活动中发现规律—建构新的数学知识—巩固和深化新的数学知识”的教学模式。这种教学模式更贴近学生的认知规律。

三是使学生在辨析与争论中，自然而然地完成猜测与验证，形成清晰的认识，最后由特殊到一般，总结出字母公式。

四是在整个探究发现乘法分配律的过程中，潘老师能巧妙地引导学生掌握科学探究的方法，提高数学思维的能力。

因此，在整个探究发现乘法分配律的过程中，教师没有采用简单的一问一答的方式，把知识规律展示给学生，而是适时地给出一组问题：“从上面的算式中你有没有发现什么规律？”“你们真的发现了这些算式中隐含着的规律？请与你的同桌交流一下，好吗？”“不过，你们所看到的也许只是一种偶然现象，是一种猜想而已。你们能再举些例子对自己的猜想进行验证吗？”让学生积极地动手实践、自主探索及与同伴进行交流，亲历观察、归纳、猜测、验证、推理等探究发现的全过程，学生不仅总结出乘法分配律的知识，而且学习到科学探究的方法，数学思维能力得到了发展。

（著名数学教育专家  邱学华）