在“复杂”与“简单”之间穿行

——“植树问题”教学实录及评析

刘全祥，中国教育学会小学数学专业委员会理事，中学高级教师

课堂实录

一、课前谈话，渗透一一对应思想

师：同学们每天都做早操，在这里我想问同学们几个关于队列的问题。如果一列学生这样排列——

（教师在黑板上板书：男、女、男、女、男。）

师：请问下一个可能是——

生：女生。

（教师板书：女。）

师：下一个呢？

生：男生。

师：有没有不同的想法？嗯，都同意！谁来说说理由。

生：因为学生的排列是有规律的，一个男生后面是一个女生，一个女生后面是一个男生，现在最后一个是女生，所以我认为下一个将是男生。

师：同意吗？（生答：“同意。”）一个男生后面是一个女生，一个女生后面是一个男生，男、女生依次排列。我们就叫男生、女生——

生：交叉排列。

生：间隔排列。

师：名字起得很好。

（教师板书：间隔排列。）

师：老师还想考考大家，如果男女生按照这个规律排列正好排完，不允许你一个一个地数学生，但允许你再看一个人，你看哪一个人，就可判断这列队伍中男生和女生谁的数量多？

［评析：富有挑战性的问题，不仅激发了学生的兴趣，同时也为植树问题重点与难点的突破做好了铺垫。］

生：我会看最后一个学生。如果最后一个是女生，那么男生和女生就一样多。因为一个男生对着一个女生，一个女生对着一个男生，男生开头，女生结束，男生和女生依次对应后刚好对完，所以男生女生一样多。

师：如果最后一个是男生呢？

生：那男生就比女生多。因为男生和女生一个对着一个后男生还剩下一个，所以男生多。

师：男生和女生一个对着一个，我们就叫作“男生和女生一一对应”。其实一一对应不仅是一种常见的比较多少的方法，也是一种重要的数学思想。今天我们就用一一对应的思想来研究植树问题。

二、自主探究，建立数学模型

师：学校为申报“绿色校园”，准备对校园做进一步的绿化，现打算面向全校师生征集植树方案。同学们愿意试试吗？我们先来看看学校的植树计划是怎样的。

（课件出示要求。）

在操场上有一条20米长的小路，学校计划在小路的一边种树，请按照每隔5米种1棵的要求，设计一份植树方案，并说明你的设计理由。

师：从这份计划书上，你能获得哪些信息？

生：路全长有20米，只在路的一边栽，每隔5米栽1棵。

师：用一条线段代表小路，用自己喜欢的图案表示树，把你预想的方案在纸上画一画！

（学生动手画图，教师巡视。）

［评析：教育无痕是艺术，也是境界。设计植树方案不仅可以顺利引出在不封闭线路上植树的所有可能，同时也能很好地满足每个人内心深处做研究者、发现者、探索者的渴望，使教育巧妙地演变为学生生活的一部分。］

三、动手实践，交流反馈

师：很多小组都已经完成了。哪一位同学说一说，你们准备怎样植树？

（小组展示设计方案，主要有4种：两端都栽、头栽尾不栽、尾栽头不栽、两端都不栽。）

［评析：差异是一种资源。低起点、少限制的植树方案的设计，为不同层次的学生提供了自我展示的平台，也为后面的学习提供了丰富的研究素材。］

四、总结规律，沟通联系

师：现在我们一起来研究同学们设计的方案。（出示4种方案的线段图）4种方案都符合设计的要求，谁能说说它们不同的地方在哪里？

生：需要树的棵数不同。

师：具体说说看！

生：有的需要4棵，有的需要5棵，还有的只需要3棵。

师：同样是在20米长的小路上每隔5米栽一棵树，为什么需要树的棵数却不同？

生：因为栽的方法不同。

（教师根据学生的回答板书：两端都栽、两端都不栽、头栽尾不栽、尾栽头不栽。）

师：同学们真聪明，找到了这几种方案的不同之处，那它们之间有没有相同的地方呢？

生：每两棵树之间的距离是一样的，都是5米。

师：两棵树之间的距离叫间距。（板书：间距）

师：你能给同学们指一指哪里是间距吗？

（学生上讲台指出一段间距。）

师：嗯，很好！还有相同的地方吗？

生：树将路分成的段数是相同的。

师：哦，是吗？我们一起来看一看，第1种栽法把路分成了多少段？

生：4段。

师：后3种呢？不管哪一种栽法，分成的段数始终是——

生：4段。

师：求段数除了可以这样数还可以怎样求？

生：用全长除以间距，列式是20÷5=4（段）。

师：全长除以间距都等于4。

［评析：植树问题中，不管采用哪一种方式植树，间距与段数始终不变。学生在“同”与“不同”的比较中获得了清晰的感悟和深刻的体验。］

师：还有没有其他的发现？

（学生沉默不语。）

师（启发）：同学们，如果把5米一段的路也看作一个物体的话，那么，这4种方案都可以看作——

生：老师，我有一个发现不知道对不对。如果把5米一段的路看作是一个物体的话，那么这4种方案都可以看作树与路有规律地间隔排列。

师：能具体说说吗？

生：我的想法是，这里的每一种植树方案都可以看作是树与路在依次交叉排列，一棵树后是一段路，一段路后是一棵树。

师：每棵树之后是一段路，每一段路后有一棵树。

（教师在学生的设计上标上箭头，如图1所示。）

师：这样，就把树与路——

生：一一对应。

师：很好。用一一对应的思想重新研究上面的方案，你有什么新发现？

生：老师，我发现方案1和方案3的实质是一样的，它们都是两种物体依次排列，都是以一种物体开头，以另一种物体结束，所以一一对应后两种物体的个数是一样的。

（教师板书：一种物体开头，另一种物体结束，个数一样。）

生：老师，方案2和方案4也可以看作是一样的，它们都是以某一种物体开头，然后以同一种物体结束。这样依次排列后，既开头又结束的那种物体的个数多一个。

（教师板书：某种物体既开头又结束，个数多一。）

［评析：以一种物体开头，以另一种物体结束，个数一样；某种物体既开头又结束，个数多一。这样复杂、烦琐的植树问题就转化成学生耳濡目染的排队问题，转化成学生熟悉的生活经验。］

五、联系生活，解释规律

师：同学们想得非常好！生活中有很多类似的现象，你们还能说说生活中类似的现象吗？

（学生互相交流。）

师：老师也搜集了一些例子。你们能用刚才的发现，解释下面两种量之间的关系吗？

（课件呈现。）

（1）男女生交叉排队的时候，男生人数与女生人数的关系；

（2）手指的个数与相邻两个手指形成的间隔数的关系；

（3）晒衣服的时候，衣架个数与衣架将晒衣绳分成的段数的关系；

（4）锯木头的时候，锯的次数与锯将木头分成的段数的关系；

（5）封闭曲线上树将圆分成的段数与树的棵数之间的关系；

（6）爬楼梯的时候，楼层与层数的关系。

［评析：教师精心准备并适时补充学习素材，不仅是为了开阔学生的视野，也是为了让学生多一些体验、感悟、运用规律的实践机会。］

教学反思

“植树问题”虽然是传统奥数专题，但很多小学数学教学领域的名师大家都用它来“吟诗作画”，后生新秀们更是频频用这节课来“小试牛刀”，可谓异彩纷呈。不过，心摹神仿之余，却发现我们在“植树问题”这节课的教学过程中常常会出现以下尴尬：当我们只教学其中一种情形（如两端植树）时，学生条分缕析，头头是道；但是当我们把不封闭植树的3种情况都教学之后，特别是把3种情况混杂在一起时，什么时候应该加1，什么时候应该减1，什么时候应该乘，什么时候应该除……学生就混淆了！因此，曾有熟知的家长半开玩笑地对我说：“老师，您不教的时候，我的小孩还有点明白；你一教，我的小孩反倒糊涂了。”

家长的话虽然只是玩笑，但无意中道出了我们教学的尴尬。这不由引发了我的反思。

我思考——“植树问题”的教学难点究竟是什么？是不是分类整理出来的各个公式？如果是，那么学生自己主动猜想、验证、提升总结出来的公式，为什么还会混淆？这是不是从某一个方面说明我们条分缕析总结出的这些公式看起来是互相联系的，但实际上只是人为的、非自然的联系？

我思考——面对“植树问题”时，学生内心的原型是什么？是公式还是经验？如果是经验，那什么又是学生普遍拥有的适合每一位学生生发的经验？

我思考——“植树问题”的各种自然的、非人为的联系究竟是什么？有没有我们没有发现的、小学生耳熟能详的经验？

我思考……

经过一段时间的冥思苦想，我觉得教学“植树问题”要想有所突破，必须寻找到新的着眼点。但如何入手呢？一段时间之后我仍茫然无所得！

一天早操的时候，由于队列训练需要，我所带的五年级的两个班要交叉排列。排头是五年级（1）班的学生，交叉排列后，最后排的依然是五年级（1）班的学生。哪一个班的人数多？几乎没有难住任何一个学生，五年级（1）班的人数多！如果最后一个是五年级（2）班的学生呢？那两个班人数应该一样多！望着学生不屑的表情，我蓦然有所悟。

是啊！如果把五年级（1）班的学生看作树，把五年级（2）班的学生看作路，那么五年级（1）、五年级（2）两个班学生的不同排列组合不也暗暗契合了植树问题的各种类型吗？如下图所示：

类型1：将“树”换成“男生”，将“段”换成“女生”，这样两端植树就转换成男女生排队问题。

植树问题：

排队问题：男—女—男—女—男—女—男—女—男

类型2：两端都不植树，也就是两边都是女生，一个女生对应一个男生，一个女生对应一个男生……一一对应后，却变成多了一个女生。

植树问题：

排队问题：女—男—女—男—女—男—女

类型3：一端植树，男生刚好和女生一一对应。

植树问题：

排队问题：男—女—男—女—男—女—男—女

植树问题：

排队问题：女—男—女—男—女—男—女—男

“交叉排列后，要判断男生女生谁多？只需要看哪一个位置上的物体？”

“最后一个位置？”

“为什么？”

“因为交叉排列后，前面两种物体是一一对应的。也就是说，除了最后一个物体外，前面两种物体的个数是相等的。因此，要判断哪种物体多，只要看最后一个物体。最后一个物体和第一个物体相同，则第一种物体多，反之则一样多。”

多朴实的语言，但无意中却对深奥、繁杂的植树问题做了一个最浅显、最通俗的表达。而且，无意中它也触到了小学数学的一座基石：一一对应的核心思想。

欣欣然，我又有了再次尝试的愿望。

专家点评

众所周知，“植树问题”是传统奥数专题中比较难的一个章节。这体现在植树问题类型繁多上，基本题型就包括不封闭线路上植树与封闭线路上植树2种，而不封闭线路上植树和封闭线路上植树又各自分多种情况，如前者就包括两端都栽、只有一端栽和两端都不栽3种。植树问题的众多分类不仅增加了记忆、理解的难度，同时也容易使植树问题的解答过程异化成为“判断题型—搜寻记忆图式—运用对应图式解答”的机械套用过程。最令教师苦恼的是，由于各种类型内容关联、规律相近，当只教学其中一种情形（如两端植树）时学生还能条分缕析，但当多种情况混杂在一起时，学生常常是越弄越糊涂！真是不教学生还明白，越教学生倒越糊涂了。

但上述教学中，植树问题却让人感觉解决起来非常简单。究其原因，执教者跳出“植树”教植树，从“两端植树，棵数=段数+1；一端不栽，棵数=段数；两端都不栽，棵数=段数-1”这些机械、烦琐的规律记忆中跳离出来，用一一对应的思想串起植树问题各种情形中段数与棵数间的对应关系，进而与学生熟悉的生活经验相联结：课始男女生间隔排队的情境是引导学生发现不同排法下男女生人数间的关系的载体，也是学生体悟一一对应的思想的载体，同时还是学生进一步研究抽象、多变的植树现象中的规律的直观模型。把树和几米长的一段路分别看作两种物体，这两种物体间的排列就跟男女生间隔排队一样形象、清晰和有规律可循；透过“排队比多少”活动，研究排队中的人数规律，将植树中的复杂情形与排队现象建立联结，借助“排队”情境，分析、理解、发现植树问题中的规律。这样不仅让学生认识到抽象数学规律背后足够的表象支撑，同时，学生也在这由表及里、由此及彼的类推过程中，脱离了树、间距等具体的概念，而把它们物化成熟悉的图形，深奥、烦琐的植树规律，也由此假借一一对应的思想、假借男女生排队做了最浅显、最通俗的表达。

越简单的东西越深刻、越概括。男女生交叉排队，如果首尾都是男生，那么男生多一个；反之，女生多一个；如果由男生开始，女生结束，则说明男女生人数相等，反之亦然。这一道理看似简单，却是分析与解决植树问题各种类型一以贯之的“绳”。因此，在学生发现这一规律后，教师适时地补充植树问题的各种类型（包括变式），不仅让学生多了一些咀嚼、体验、运用这一规律的机会，更让学生感受到这一“简单发现”后面所特有的张度和力度。

同一个教学内容可以有不同的解读角度，这取决于教学的目标设计。重构一个教学设计的目的也不全是为了“以新换旧”，更重要的意义在于思考不同设计的教学价值。把复杂的东西教简单，把简单的东西教得有厚度。上述设计从某种程度上彰显了我们数学教师今后努力的一个方向：不以教学技能的精湛为毕生追求，而把积淀和丰厚学科素养作为发力的基础。靠形式取胜，总是短暂的；靠内涵取胜，才能永恒！

（湖北省教学研究室小学数学教研员  刘莉）