数学视界，引领课堂走向深远
——“用字母表示数”教学实录及评析
蔡宏圣，特级教师，江苏省启东市教育局教研室副主任
课堂实录
（课前谈话：教师引导学生说说认识了哪些字母，在生活中哪些地方运用了字母。）
一、唤起经验，准备建构
师：同学们，通过课前的谈话，老师知道大家对于字母都很熟悉。实际上，生活中运用到的字母，每一个字母都表示了特定的含义。如CCTV，把它说完整应该是China Central Television，（课件出示）表示“中国中央电视台”，CCTV就是这种完整说法的——
生（轻声）：缩写。（教师随学生的应答板书：缩写）
师：在数学中也有这样的运用，例如，“一个西瓜重2.5千克”，（课件出示）我们把它表示成——
生：2.5kg。
师：这里的“kg”就是英文单词“kilogram”的缩写，（课件出示这个单词，其中的“k”“g”标为红色）一个小朋友身高1.2米，往往说成——
生（齐）：1.2m。
师：同样，这里的“m”是英语单词“meter”的缩写。（课件出示这个单词，其中的“m”标为红色）
师：当然，在数学中，字母的运用更多地表现在其他方面。例如，“2，4，6，x，10……”，（课件出示）这里的x表示什么意思？
生：表示一个未知数。（教师板书：未知数）
师：在这一列数中，x表示多少？能表示其他数吗？
生：只能是8。
师：看来它还是一个特定的数。（板书：特定）
师：同学们，今天我们学习的“用字母表示数”，（板书）它还是这样的含义吗？（手指板书中“缩写”“特定”“未知数”）相信大家会有新体会的，我们边学边交流。
［评析：就字母的运用而言，学生之前在各种场合中肯定都接触过，但主要在缩写层面上。如果漠视学生已有的经验，怎么能引导学生体会现在的字母可以表示变化的已知数呢？鉴于此，这个环节不是可有可无的。它凸显了两大教学功能。一方面，学生由于生活经历的不同，对字母运用的体验是有差异的，因此，这样的教学是一种准备性学习，将学生所有的经验水平调整到大致相同的水平上。另一方面，“用字母表示数”的新意义要进入学生已有的认知结构，原有的运用字母的各种体验是绕不过的坎，这样的教学将学生的“朴素的经验”提升为“精致的经验”，为学生进行新的学习做了充分的准备。］
二、引领反思，逐步建构
1．让学生亲历“用字母表示数”的抽象概括过程
师：大家看屏幕，（课件出示3根小棒搭成的三角形）摆2个三角形需要几根小棒？
生（齐）：2×3=6，需要6根。
师：算式“2×3”告诉我们，求一共用多少根小棒用三角形的个数乘3，而且看到了算式，我们也就知道了最后结果是6。既然如此，我们就在算式外面加括号，把这个算式看作一个整体，直接用这样的形式来表示最后的结果。［课件出示：（2×3）根］
师：摆3个三角形呢？
生：（3×3）根。
师：摆4个、5个三角形呢？
（学生依次回答。）
师：你知道这里还可以摆几个三角形？
生：8个。
生：10个。
生：无数个。
师：好，那我们来个小比赛，给大家半分钟时间，也用这样的算式来表示摆三角形用的小棒根数，比一比谁写得多？有3个要求，一是从摆8个三角形开始写；二是只写算式，不画三角形；三是算式对齐写。预备，开始。
（学生纷纷动笔疾书。）
师：行，时间到，比赛讲的是公正，大家都不能动笔了。哪位同学说说，你写的最后一道算式表示摆几个三角形时用的小棒根数？
生：15×3，表示摆15个三角形用的小棒根数。
生：19×3，表示摆19个三角形用了多少根小棒。
师：看来大家都写了不少算式。那么写着写着，你有什么要说的吗？
生：一个三角形的根数是不变的，所以这些算式都有一个数“3”。
师：那还有一个数怎样？
生：一直在变化。
生：一直在增加。
师：行。刚才是半分钟，如果给大家写3个小时，你又想说什么？
生：还是写不完。
师：“还是写不完”，什么意思？难道写3天就能写完吗？
生：写不完。
师：也就是说，这些算式永远也写——不——完。很简单的道理，因为三角形可以一直摆下去。现在，老师请你们用一道算式表示摆三角形的各种情况，把你们已经写的和还没有写的都包括进来。行吗？
生：n×3。
生：省略号乘3。
生：a×3。
师：学习如同登山，当攀登上高峰后，应该回头看看美妙的风景。我们回想一下，刚才你们提到的字母是怎么来的？用小棒摆三角形，可以摆26个，可以摆100个，可以摆518个，可以摆2300个，等等。这样的算式有无数个，然后就想到了用字母来表示它们。看来，这里的字母是个有魔力的字母，表面上看只是一个字母，但它的背后实际上是——
生（齐）：无数个。
师：对，它的作用和省略号有相通之处，而且比省略号更规范。我们就用字母来表示。［课件出示：（a×3）根］那么它还是这些意思吗？（手指板书“缩写”“未知数”“特定”）
生：不是。
师：有了什么发展？
（学生稍稍思考后，举起了小手。）
生：原来是特定的数，现在是不定的数了。
生：自由了。
生：是变化的。（教师板书：变化。并引导学生体会这里的数不能是小数、分数，只能是自然数）
师：那还只能表示未知数吗？（手指板书“未知数”）
生：不是，是已知数了。（教师板书：已知数）
师：既然是已知数，那为什么还要用字母表示呢？
（思考片刻后，五六个学生举起了手。）
生：因为这个数的范围很大，我们不确定它到底是多少。
生：因为它有无数个。
生：因为它太多了，一个个地说，说不完。
师：正因为这样的数太多了，所以我们就用一个字母把它们都——
生（异口同声）：概括进来。
师：对。而且我们约定，用26个字母中的前几个字母表示已知数，最后几个字母，如x，y，z表示未知数。那么，它还是“缩写”的意思吗？不急，我们继续来学习。
2．体会含有字母的式子既表示关系也表示结果
师：今天，老师还带来了一个神奇的“魔盒”，它神奇在什么地方呢？比如说，数“19”经过它加工变成了“44”。（课件出示数“19”飞入一个盒子，从盒子的另一端飞出“44”）
（学生被屏幕上的盒子吸引住了，不由自主地发出了“咦”的声音。）
师：怎么样？再来一次，（课件出示数“58”，经过魔盒加工变成“83”）再来一次，（课件出示数“187”，经过魔盒加工变成“212”）老师已经实验了3次，你们找到出来的数和进去的数之间有什么关系吗？
生：变大了。
师：那到底是按什么规律变大的呢？
（学生凝神思考。）
师：不怪大家，换了我也不容易发现。这说明了什么道理？说明有时我们如果只关注问题的最终结果，会失去许多发现新东西的机会。所以，摆三角形用了多少根小棒，要求大家直接用算式来表示最终的结果。我们用同样的方法，把计算的算式作为我们思考的对象，老师估计每一位同学都会有发现的！（多媒体出示将数“44”“83”“212”分别变成“19+25”“58+25”“187+25”）
（学生看到算式后，都举起了手。）
生：进去的数都加了25。
师：真是这样吗？哪个同学来试一试？
（随着学生的回答，教师在课件中分别输入“100”“25”，魔盒里分别输出“100+25”“25+25”。随机演示两次后，学生们的情绪更激动了。）
师：这么多同学都想试！哪位同学说一个数，把这么多同学想试的数都包括进来？
（听了问题后，学生稍稍收了收举着的手，接着把手举得更高了。）
生1：a。
师：老师刚才要求你说一个数，你怎么说了一个字母啊？
生1：这样的数太多了。
师：不错，能自觉地想到用字母表示数了。
（教师在课件中输入“a”，盒子输出“a+25”。）
师：这里的“a”，你希望它表示什么呢？（指定刚才说用“a”的同学回答）
生1：295。
师：哪位同学给她补充一下，就是295吗？
生2：425。
师：就是425吗？
生3：是所有的数。
师：说具体些，“所有的数”可以是——
生3：整数。
师：还可以是——
生3（小声）：小数。
师：在这里，可以是小数吗？
生3（声音响亮）：可以。
师：还可以是——
生（齐）：分数。
师：也就是刚才这位同学说的，是“所有的数”，真棒！
师：实验之后，我们不妨回过头来看看。刚才，我们输入“a”，输出的是“a+25”，（板书：a+25）它表示了输出的数，就是最后的结果。（板书：结果）
师：哪位同学知道这个神奇的盒子是按照什么关系式来加工输入数的？（板书：关系）
生：把输入的数加上25。
师：行，能用含有字母的式子来表达吗？
生：x+25。
师：如果输入的数用字母“a”表示呢？
生：就是a+25。
师：真是如此吗？(课件演示：魔盒打开，盒子里写着“a+25”)
师：如果用字母“c”表示输入的数呢？输出的数是——
生：c+25。
师：可见，像这样含有字母的式子既可以表示两个数之间的关系，也可以表示其中的一个数。（把板书中的“关系”和“a+25”，“结果”和“a+25”用线连起来）
［评析：很多教师在教学中都使用了“魔盒”教具，但本课教学中教师的使用不一般。看似只是多了“先观察结果，再观察算式”的插曲，却让学生实实在在地体会到有时只关心结果可能会错失发现新东西的机会，而把算法本身作为思考的对象可以更容易发现变化中的规律。这样教的价值，在于促使学生把算术的思维方式提升为代数的思维方式。］
三、拓展应用，完善建构
师：最后，老师带来了两个有意思的小活动。（课件出示“编故事”“魔力框”）我们先来编故事。故事的主角是“4×a”。老师先做个示范。（掂掂学生的数学书）如果a表示一本数学书的重量，那么4×a就是——
生（异口同声）：4本数学书的重量。
师：而且是4本同样的数学书的重量。很容易吧？下面，哪个同学来编？
生（拿着自己的铅笔）：如果a表示这支铅笔的重量，4×a就表示4支铅笔的重量。
师：而且是4支同样的铅笔的重量。行，换个题材，哪位同学来说说？
生：a表示这个笔袋的重量，4×a表示4个同样的笔袋的重量。
师：非常好，强调了是“同样的笔袋”，但说的还是重量，能说说其他的吗？
生：a表示数学书的封面面积，4×a就是4本数学书的封面面积。
生：a表示这支钢笔的长度，4×a就是4支同样钢笔的长度。
生：a表示这支钢笔的价钱，4×a就是4支相同钢笔的价钱。
生：a表示一本练习本的厚度，4×a就是4本一样练习本的厚度。
（学生们都高举着手。）
师：好，能说得完吗？
生：不能！
师：对，世界上只要是两个量之间有4倍关系就都被概括在“4×a”里了。大家把“4×a”讲得这样丰富多彩，老师就讲个关于这方面的历史故事吧。
（学生鼓起了掌。）
师：在历史上，数量和数量之间的关系，我们人类最初是用这样的文字来表达的。（课件出示：每个重量×4，每个价钱×4，每班人数×4，其中“重”“价”“人”用红色标出）用文字来表达，显然比较烦琐。因而，古希腊数学家丢番图想到了用“缩写”的方法来表示，仿照丢番图的方法，这里的“每个重量×4”，取“重”发音的第一个字母，表示成“z×4”。那么“每个价钱×4”就缩写成——
生：j×4。
师：每班人数×4就表示成——
生：r×4。
师：丢番图用字母的缩写来表示数量间的关系，虽然简洁了，但每个字母都表示特定的意思，不能把z×4和j×4混同起来，所以，并没有给数学家研究数学带来更多的简便。到了17世纪，法国数学家韦达想，如果把各种情境中字母表示的特定意思都去掉的话，不都是4和一个数量相乘吗？（课件中“z×4”“j×4”“r×4”依次变为“□×4”）所以，韦达就表示成了a×4，这里的a还是特定的意思吗？
生（异口同声）：不是！
师：对，字母a已经不表示任何具体的意义，和这里的小方块一样，只是一个符号而已。（板书：符号）自从韦达把字母当作符号来表示数之后，许多数学难题得到了解决，数学获得了飞速发展，韦达被称为“现代数学之父”。故事的最后，老师想请大家猜猜，从丢番图用缩写的方法表示数到韦达把字母当作符号来表示数，用了多少年？
生：100年。
生：150年。
生：很多年。
师：对，是很多年，整整1200年。
（学生情不自禁地发出了惊呼声。）
师：孩子们，一方面我们应该为历史上无数数学家百折不挠、呕心沥血献身数学的精神而感动，另一方面也要为我们自己用了40分钟就跨过了人类认识提升的1200年历史，表现出的巨大的学习潜能而骄傲！下面让我们感受一下“魔力框”。
（课件出示百数表，每行10个数，一共10行，并用两个小正方形拼成的长方形框去框表中的数，每次框出两个数。）
师：试了几次，你能不用框就报出可以框出哪两个数吗？老师报前面的数，大家报出后面的数。
师：16。
生（异口同声）：17。
师：78。
生（异口同声）：79。
师：30。
生（犹豫）：31。
师：30。
生：好像框不出31。
师：为什么？
生：因为30在上面一行，31在下面一行。前面一个数是30，后面没有数了，所以，后面的小正方形里没有数。
师：好，观察得非常仔细。现在我们看，很显然用这样的框去框百数表中的数，可以有很多种可能，能用一种方式把这样的两个数都概括起来吗？
生：可以。用字母表示。
生：前面的数是a，后面的数就是a+1。
［评析：“编故事”是教学从具体到抽象再回到具体的过程，旨在引导学生将抽象的“4×a”还原为丰富多彩的具体实例，让学生更真切地体会“用字母表示数”的概括性和抽象性。比起纯粹的形式性训练，这样的练习更真实地触及了“用字母表示数”的数学本质。“魔力框”是运用性练习，让学生把握“用字母表示数”的更深刻的内涵，不仅要用字母概括一定范围里变化的数，而且要把量与量之间的关系表达清楚，并不是有变化的量都可以用字母替代。］
教学反思
在电脑百度的搜索框里输入“用字母表示数”和“教学设计”两个搜索词，敲击回车键，你料想不到会搜出上万个网页。不同的设计，演绎着教师对此教学内容的不同理解。我重构“用字母表示数”的教学，是从遇到的教学尴尬开始的。
学习“用字母表示数”后，请学生解答“四年级（1）班a人，四年级（2）班比四年级（1）班多6人，四年级（2）班有多少人”这一问题，结果却有70%以上的学生认为：缺少条件不能解答！
我联想到，课前和学生围绕“你知道在哪些地方运用字母”这一问题进行交流时，学生说：“不知道是多少时就用字母替代。”看来，学生的内在逻辑是，a代表未知数，a+6也是未知数，题目中没有告诉a是多少，自然也就无从知道a+6是多少。
用字母表示数难道是因为不知道这个数是多少吗？难道凭这样的意义，“用字母表示数”就被称为人类认识的一次飞跃吗？
研读数学史，我们可以发现“用字母表示数”的数学本质并非如此。从历史上看，人类最初表达代数问题，一切算法皆用普通文字。公元4世纪，古希腊数学家丢番图首先用“数”的希腊发音中的第一个字母来表示数。这之后，许多数学家纷纷效仿。但用音节的缩写以及其他代数符号来表示未知量，每一种缩写，其本身都具有先入为主的意义，因而其价值也只不过是某一种未知量的简略而已。到了17世纪，法国数学家韦达设想寻找一种求解各种类型方程的通用方法，他不仅用字母表示未知量，而且也用字母表示已知量及其运算，超越了各类数量的具体特点，这种方法被公认为代数学发展历史上的一座重要里程碑。
很显然，用字母表示数的过程，不是字母替代文字的过程，而是具体数量符号化的过程。把现实课堂中的学生放在历史的视野中，他们也是人类的孩子，他们的认知发展可能各具特点，但总体上不可能违背人类认识提升的规律。因而结合人类认识提升的历史阶段看，用字母表示数意味着学生认识产生的递进规律是这样的：字母不仅可以表示未知数，还可以表示已知数；不仅可以表示特定的意义，还可以表示变化的数量；不仅可以在缩写水平上运用字母，还可以在符号水平上运用字母。
我进一步思考，数学的每一次发展都伴随着思维方式的提升。从具体的数到抽象的字母，表达形式的递进背后意味着思维方式有着怎样的变化呢？学生认为不能解答是否也有思维方式没有转变的原因？算术关注的是计算结果，代数关注的是量量关系。为了易于发现量量关系，代数中可以将两个量之间的关系看作最后的结果。即两个班人数间的关系是a+6，人数多的班级也就是有a+6人。而从算术的角度看，这还只是个算式，并不是最后结果。可见，怎样引导学生实现这种思维方式的转变同样很重要。
思辨至此，新的教学设计方式已跃然纸上。在数学知识的体系中，学习了“用字母表示数”，就被认为是步入了代数学的大门。由此看，“用字母表示数”的教学内容，是有意识地从数学的角度演绎教学，让学生真正地领悟它的意义，帮助他们顺利地迈入代数世界。
专家点评
正如教者自述的那样，本节课的教学不同于一般的“用字母表示数”的教学，具有一定的原创性。教者更关注将用字母表示数的数学内涵呈现给学生，很有意义。
1．立足于数学发展史，关注对数学的理解
大家普遍认为，只有理解才能学好数学。理解，用我国学者李士锜的话来说，就是“学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，那么才说明是理解了”。数学学习的内容是人类思维抽象的形式化的思想结晶，要建构的新意义只有固着于亲身经历的生动背景，溯源于个体熟悉的生活经验，并建立起和已有知识的各种联系，才能获得灵活运用、广泛迁移的活力。这说明，对于数学学习来说，从无到有建立起新知识的正确认识是一方面，和已有认识间建立起合理的、紧密的联系是不可或缺的另一方面。
教师的教学用书中说，用字母表示数是人类认识的一次飞跃，但很少有教师真正理解“飞跃”一词背后的不凡意义。数学概念，特别是战略性的数学概念，往往是人类千百年思维抽象的结晶，如果仅仅看它在公理体系中最终形式化的表述，很难深入把握其确切的本质意义。如果我们把抽象的数学概念比作一个巨大球体的话，那么，以具体形象思维为主的小学生要把握住这样的球体无疑是很困难的，你总得给他们一个“实在的抓手”（“实在的抓手”不一定是具体形象化的东西，也可以是前一层次的抽象认识）。数学概念一旦和抽象活动的整个过程结合起来，其抽象意义就变得不再不可捉摸。也就是说，这样的“实在的抓手”可以从抽象的过程中去遴选和凸现。我们从教者的教学反思中，可以欣喜地看到这种自觉的意识性。正是在对数学史的梳理中，我们才能体会到“认识飞跃”的具体含义在于认识到可以用字母表示一定范围里变化的已知数。
结合课堂看，在具体的教学实施中，教者还关注了下面的细节，引导学生逐步体悟“用字母表示数”的数学内涵：
（1）直面学生运用字母的各种经验，并加以调适和精致化。学生只有意识到以往的字母运用更多的是在缩写的水平上用字母表示特定的未知数，才能认识到现在用字母表示的是变化的已知数，进而体会字母符号的概括作用。
（2）着力引导学生经历由具体到抽象的过程，在体验的基础上，引领反思，提升认识（“摆三角形”“数学魔盒”后的回顾总结）。
（3）设计“编故事”的练习，让学生进一步体会“用字母表示数”的概括性，并详述从丢番图到韦达的提炼“用字母表示数”的抽象历程。这样，数学历史在学生眼里不再仅仅是一种事实性的表述，还充盈着人类智慧递进的历程，这为学生理解数学提供了支撑。
2．立足于数学学习心理，突出数学思维
仔细品味，我们能感受到，只有最初等的数学知识是对真实事物的直接抽象，除此之外的数学发展，往往把先前思维活动的形式或结果作为思维的对象，是一种抽象之上的抽象。数学思维不仅具有一般思维过程的特点，也具有数学学科的特质。这种特有的“反省抽象”特点，同样反映在“用字母表示数”的抽象过程中。
具体地说，数学概念可以区分为“过程”和“对象”两个相互依赖的侧面，“用字母表示数”就是无数次解决特定问题的思维由“过程”向“对象”凝聚的结晶。像“四年级（1）班有30人，四年级（2）班有32人”，这个问题的“过程”属性侧重于表达“由两个班的人数可以得到两班的人数和”的计算过程，关注“30+32=62”，但这样的加法算式只能表示这个特定情境中的特定问题，不具有一般性。当学生积累了相当的学习经验后，就可以引导他们不仅仅关注计算的过程，而要把算法本身作为数学思考的对象，关注“30+32”，由此才可能从特殊情况概括出一般意义：两个班的人数不管有怎样的变化，两个班一共有“a+b”人。从这里我们可以清晰地体会到由“过程”到“对象”，不是简单的词面字义上的更替，而是思维方式上的提升。由于小学生在学习“用字母表示数”之前，思维方式主要是“过程”层面的，形成的思维定式是“列出的算式要算出确定的结果”。这种思维方式对将一个代数式作为思考的对象的学生来说，是不能接受的，学生总觉得“这还没有算完呢”。而“对象”层面的思维方式偏偏更多地关注算法本身，“结果是多少”是次要的。因此，学生学习“用字母表示数”的另一个难点是能将含有字母的式子既看作一个过程，更看作一个对象，它是抽象性的关系和确定性的结果的统一体。
教者说，重构“用字母表示数”是从遇到的教学尴尬开始的。我们利用上面所述的数学学习心理理论，就能解读那70%以上的学生的问题出在哪里了。在实际调查中，还有可能有些学生虽然没有直接做出“不能解答”的应答，写了“a+6=”，看似只是多写了“=”，但反映出其心理上还是希望计算出结果，并没有将算法本身作为思维对象。
我们进一步慎思，本课例中教者这样的教学到底有没有价值？
从教育追求学生持续发展的价值看，这样的教学无疑给学生以后的数学学习提供了更多的生长点。而实际上，就当前的数学学习来说，学生接触这样的思维方式同样大有益处。由于数学的研究对象是经过人类思维加工的材料，因而，数学学习只有通过主体积极主动的智力参与才能实现，数学建构的本质是思维构造。如果学生对新的思维方式没有一点感知，他们怎么能理解依据这种思维方式构建的新概念呢？从学生数学学习的实际情况看，数学思维由“过程”向“对象”的凝聚，往往不是一种自觉的行为，而是一个不知不觉的演变过程。而正因为是一种不自觉的行为，学生在学习过程中就常常表现出较大的学习困难。例如，英国的CSMS小组曾经对3000名13至15岁的学生使用字母的情况做过调查研究，结果发现，虽然教者在教学中反复强调字母表达了对象的一般性，但只有较少学生能将字母看成广义的数，有能力将字母当作变量的就更少了。因而，引导学生“脱身”出来，作为一个旁观者来看待自己刚才做了些什么事情，将自己所做的过程置于被自己思考的位置加以考虑，这种反思无疑是思维自觉地由“过程”向“对象”转变的关键所在。而只有具备了这样的思维方式，才能进行更多的抽象之上的抽象思考，在更高的层次上进行数学学习。教者自觉地关注了学生在学习“用字母表示数”过程上的思维过程，因此，课堂中清晰地呈现了这样3个层次。
（1）感知。在计算摆三角形的小棒根数时，教者引导学生直接用算式来表示最后结果。
（2）体验。在探究“魔盒”中输出的数与输入的数有什么关系时，教者有意安排了“观察输出的数不易得到两数间关系，而把算法本身作为思考的对象时很容易发现两数间关系”的环节，引导学生体会这种思维方式的价值。
（3）运用。在“魔力框”的练习中，教者创设了引导学生运用这种思维方式的情境，让学生尝试运用。
数学从来就是一种文化力量，正如M.克莱因所说：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能扣人心弦，哲学使人获得智慧，科学可以改善物质生活，但数学却能提供以上的一切。”我们有理由相信，从数学的视界考察教学，一定能给我们的课堂带来丰厚的内涵、无穷的理性力量、恒久的思维魅力。
（北京市第二实验小学副校长 � 华应龙）