让学生体验数学化的过程
——“有余数的除法”教学实录及评析
丁杭缨，浙江省特级教师
课堂实录
一、初步感知有余数的除法
1．9根小棒能搭几个正方形
师：课前我们是不是都准备了小棒？小棒可以搭图形，如果搭成三角形就要用3根小棒，今天我们搭这样的1个正方形。（板书：□）
师：用9根小棒（板书：9）能搭几个这样的正方形？先想一想，再动手搭一搭，试一试。
（学生摆，教师巡视。）
师：你们用这样的小棒搭了几个正方形？
生：2个。（教师再画一个□）
师：然后呢？
生：还多了1根。
师：多的1根放哪儿了？
生：放在旁边。（教师在2个□后面再画1根小棒）
师：的确，用9根小棒搭这样的正方形，能搭2个，还多1根。
［评析：通过让学生动手搭图形直观感知9根小棒搭2个小正方形还多1根的现实，为的是让学生在搭图形的过程中获得感性经验，来理解有余数除法横式和竖式中各个数代表的意思，同时也为后面学习在脑中搭图形打下坚实的基础。］
2．能不能用横式表示搭的结果
师：如果把它转化成数学知识，能用除法算式表示出来吗？
生：能。
师：9里面有几个4呢？
生：2个。
师：除法算式是——
（学生边说，教师边板书：9÷4。）
师：9÷4等于多少？你能帮丁老师在本子上继续写下去吗？
（教师收集了几位学生的算式，投影展示。）
师：请大家一起来看第1位同学的算式。
（投影展示：9÷4=2。）
师：有什么感觉？
生：这是算不出来的，他怎么就写2呢？
师：什么叫算不出来？
生：等于2后还多了个1，那个1哪里去了？
师：1到哪儿去了？请写这个算式的同学回答一下。
（这位学生没回答。）
师：如果他想等于2的话，这个算式可以怎么改？
生：应该加3个点，然后再加1。
师：老师是说如果这里要除以4等于2，可以怎么改？
生：被除数要改，改成8。
师：这是我们以前学过的8÷4=2。刚才有同学说余下来的情况，我们看看这位同学写的。
（投影展示：9÷4=2…1。）
师：谁看懂了？我们请写这个算式的同学来说一说他写的是什么意思？
生：9÷4只能得到2，还余下了1根。
师：他用这种方法来表示余下的1根，能明白吗？
生：能！
师：有多少同学是这样写的？你是怎么知道要这样写的？
生：因为9÷4等于2还有余下的1根。
师：我们看看这个横式跟我们以前学的横式有什么不一样。
生：多了3个点和1。
师：这3个点表示什么意思？
生：多余的。
师：表示余下来的意思。不过在数学里的正规写法不是写3个点，而是写6个点。（板书：=2……1）
师：你知道这个“1”是什么吗？
生：多出来的1根小棒。
［评析：教师运用学生的错误案例或不优化的案例引导出正确的、优化的解决问题的方法，让学生经历知识的形成过程，突破难点。］
3．揭题
师：这个多出来的数在数学上叫作“余数”。你们知道这种算式叫作什么算式吗？不知道，老师告诉你们，叫作“有余数的除法”。（板书：有余数的除法）
师：在生活中，我们经常会碰到这样的情况。有的没有余数，正好分完；有的有余数，没有正好分完。今天我们学习有余数的除法。
师：会读横式吗？一起读。
生：9除以4等于2余1。
师：在这道算式中，9表示什么，4表示什么，2表示什么，1又表示什么呢？我请一位同学上来边指边说。
生：9表示一共有9根小棒，4表示搭一个正方形要用4根小棒，2表示2个正方形，1表示还余1根小棒。
师：1表示余下的1根，你们刚才搭的多余的1根在哪儿？举起来看看。
（学生举起余下的1根小棒。）
师：刚才我们认识了余数，你们知道其他几个数叫作什么数吗？
生：2是商，4是除数，9是被除数。（学生边说，教师边板书）
4．有余数除法竖式
师：能不能把横式改写成竖式？大家动笔试一试，写在本子上。
（学生尝试，教师巡视。）
（让两个学生板书。）
师：你同意哪位同学的竖式？
生：我同意第2位同学的写法。
师：有同意第1位同学的写法的吗？没有。那我想问问你们为什么不同意？
生：不是9，因为2×4不等于9，要等于8才对。
师：请写第1个竖式的同学说说你是怎么想的。
生：我算错了，应该写成8才对。
师：哦，他刚才犯了一个小小的错误。现在大家都同意第2位同学的写法，对不对？
生：对！
师：我现在找一位同学，我说这个竖式的数，让他来指一指各是哪部分。
师：这个9——
生：表示一共有9根小棒。
师：这个4——
生：1个正方形有4根小棒。
师：这个2——
生：一共可以搭2个正方形。
师：现在我们来圈一圈，我圈的是这部分。
（教师圈竖式的8，学生圈2个□。）
师：我用4×2来表示8，你怎么表示？
生：2个正方形用了8根小棒。
师：太棒啦！如果我要圈这个，你要圈哪个？
（教师圈竖式的1，学生圈图画中的1根小棒。）
师：他圈出来的是什么？
生：余数。
师：现在对有余数的除法了解了吧？
生：了解了。
［评析：把除法算式跟小棒联系起来，化抽象为具体，又在具体中提取出抽象内涵，从而达成教学目标，使学生深刻地理解了有余数除法的意义及各部分表示的意思。］
二、理解余数和除数的关系
师：现在老师还是要你们搭图形，如果用11根小棒搭这样的正方形，能搭几个呢？请在脑子里想一想。
（学生思考。）
师：在脑子里搭出来了吗？没关系，现在可以用小棒再搭一搭，看看是不是跟你想的一样。
（学生动手操作。）
师：你搭了多少个正方形？
生：搭了2个正方形，还剩下3根。
师：你能用算式表示出来吗？
（学生板书：11÷4=2……3。）
师：这11，4，2，3各表示什么意思？都知道吗？同桌两人说一说。
（同桌两人交流。）
师：好！相信你们都能说出来。刚才这位同学在脑子里想的时候一下子没想出来，到底怎样想比较好？
生：我是这样想的，11根与12根小棒很接近，12根搭3个正方形，11根搭2个余3根。（教师板书：3×4=12＞11）
师：你能把横式改成竖式吗？在黑板上写一下。
师：请大家跟同桌一起指着图画说说竖式中每个数各是哪部分。
（同桌两人练习。）
师：请收拾好小棒，接下来我们要在脑子里搭图形了。用13根小棒搭正方形，能搭几个正方形？（很多学生都举起了手）
生：能搭3个正方形，还多1根。
师：怎么这么快？你是怎么想的？
生：我是想到8根小棒，2×4=8，还不到13，再想到3×4=12，比较靠近13，然后12+1=13。
师：他是先想到2，再想到3，一步一步想的。怎样列算式？
（学生边说，教师边板书：13÷4=3……1。）
师：怎么证明是对的？
生：4×3=12，12+1=13。
（教师板书：4×3=12，12+1=13。）
师：你们猜接下来会搭几根小棒？
生：12根。
生：13根。
生：17根。
师：有一位同学猜对了，我们要搭17或18根小棒，你任选一种或两种都行，边做边看看有什么发现。
（学生活动。）
师：谁来说说17或18根小棒搭的情况？
生：我先想到“四四十六”，17根小棒比16多了1根，所以17根小棒能搭4个正方形，余下1根。
（学生边说，教师边板书：17÷4=4……1，4×4=16，16+1=17。）
生：18根小棒比16根多了2根，所以18根小棒也是搭4个正方形，不过余下2根。
（学生边说，教师边板书：18÷4=4……2，4×4=16，16+2=18。）
生：当我知道了17根小棒搭4个正方形余下1根后，我就知道18根小棒也是搭4个正方形，余下2根。
师：根据什么来推测？
生：18比16大2，所以多了2根。
生：由于17根小棒是多了1根，所以18根小棒就是多了2根。
生：1+1=2，余数1个1个增加。
师：为什么余数1个1个增加？
生：因为被除数多1，余数也就会多1。
师：好办法！根据17根、18根的结果推测19根、20根的结果。
（学生边说，教师边板书：19÷4=4……3，20÷4=4……4。）
（过了一会儿，有学生提出异议。）
生：不对啊！20÷4应该等于5才对啊！“四五二十”啊！
生：多出的4根小棒不是可以再搭成一个正方形吗？
生：应该是搭成5个正方形，不是4个。是没有余数的。
师：是啊！同学们说得很有道理，当余数是4的时候又可以搭成一个正方形，所以20÷4=5，是没有余数的情况。
［评析：教师围绕“脑中搭——理解有余数的试商原理”的目标，让学生分别用11～18根小棒在脑中搭一搭、写一写，从具体思维转化为抽象思维。然后，教师快速巧妙地引导出学生本来不会出现的错误：20÷4=4……4，引发学生的认知冲突，感受余数并不是越来越大，而是有一个范围。］
三、理解余数比除数小
师：一个量的改变，会改变另一个量。原来被除数在变，会引起余数的变化。余数是永远增加的吗？
生：不是。
师：看来余数并不是一直随着被除数增大而增大，而是会有一个范围，会有一个怎样的范围呢？
生：不能等于4。
师：除了不能等于4，还有其他的吗？请你用21根、22根小棒试一试，看有没有新的发现。
（学生活动。）
生：21根小棒搭成5个正方形后多出1根，21÷4=5……1。
生：22根小棒也是搭成5个正方形，不过多出2根，22÷4=5……2。
生：我又想到23根是多出3根，可是到了24根又变成能搭6个正方形，没有多出的小棒，又没有余数了。
生：我发现余数总是1，2，3，没有超过4的。
师：余数为什么不超过4？
生：因为超过4又可以搭一个正方形了。
师：也就是说算式中的哪个数影响了余数？
生：除数。
师：那怎么说除数与余数的关系？
生：余数要比除数小。
师：还能怎么说？
生：除数要比余数大。
［评析：学生在具体的搭正方形活动和抽象的算式中，通过一再地验证，证明余数不能等于或者大于除数，深刻地理解了余数一定会比除数小的道理。］
四、回顾与总结
师：到现在为止，你们能不能告诉我对有余数的除法有了哪些认识？我们稍微总结一下。
生：我认识了有余数的除法。
生：我知道了除法有时有余数，有时没有余数。
生：我还知道了余数要比除数小，不能比除数大。
生：我还会用竖式来列有余数的除法。
生：我知道了6个点表示余数。
师：6个点表示余下，不是余数，余数是6个点后面的数。
师：这是我们的课本第51页的内容，请打开课本，书上的例题你看得懂吗？
（学生看书自学。）
［评析：通过总结，使学生对本节课大容量的学习内容有一个回顾与再认识；通过自学书本，培养学生独立学习的能力。］
五、动脑筋
师：老师想奖励大家一道题，这道题很有趣：☆÷3=☆……？
师：“？”可能是几？
生：可能是2。
师：还有可能是几？
生：有可能是1，2，3。
生：不能是3，因为除数是3，余数要比除数小。
师：改成除以8呢？
生：可能是1到4。
生：可能是1到7。
师：我们看除数是几？
生：8。
师：那余数应该要比它小，应该是几才对？
生：1到7。
师：我想问刚才的那位同学，你为什么想的是1到4？
生：因为5的话就可以搭1个正方形了。
师：原来你还想到了搭正方形。除以8如果用小棒来搭，应该是搭成几边形？
生：八边形。
师：现在你知道了余数应该是几，要比8怎样？
生：小。
师：如果除以21的话，余数可能是几？
生：1到20。
师：现在你明白余数要比除数小的道理了吗？
生：明白了。
师：关于有余数的除法还有很多是值得我们研究的，以后我们再研究，这节课就上到这里，好不好？
［评析：思考题新颖有趣，让学生一看就明白可以不知道被除数和商，只需知道除数，就可以确定余数的范围，再一次唤起学生对余数一定要小于除数的认识。］
教学反思
1．对于教材的处理
人教版三年级上册的“有余数的除法”分为3课时，分别是除法竖式的教学、有余数除法的教学以及余数与除数的关系3块内容。我把教材分成2块，第1课时教学除法竖式，第2课时教学有余数的除法以及余数与除数的关系，突破了一般的课时分法。
2．体现学生的主体性
让学生在搭图形中感知有余数的除法，然后演绎出图与式，逐步抽象过渡到完全符合第一学段学生的认知规律。再由用实物搭图形过渡到在脑子里搭，再到看式想与算，让学生感悟和发现“除数和商不变，被除数增加1，余数也增加1”的规律。最后，通过观察和思考引领学生发现余数比商小的规律。在整个教学过程中，学生始终是学习的主体。
3．关注学生学会了什么
由于生活环境、家庭文化背景等差异，学生的表现可以分为3种类型：先知先觉型、不知不觉型、后知后觉型。所以，教师要关注学生学会了什么并以此开展课堂教学。本节课以搭图形为载体，内容切合学生的认知水平和生活经验，让学生在感知、体验、领悟的过程中感受数学与生活的联系。同时，在课堂上，我抓住了学生思维活跃的时机加以引导、拓展，把学生及时引导到主题上，使一个个问题生成，一个个问题解决；使学生自然地把生活知识转化为数学知识；使学生感受到数学就在身边，对数学多了一分亲切感、多了一分兴趣。
专家点评
“有余数的除法”是人教版三年级上册的教学内容。特级教师丁杭缨执教这节课时，没有用多媒体课件，没有用花样百出的教具、学具，仅凭一支粉笔、一些小棒，就演绎出浓浓的数学味，让学生经历了一次真实、扎实、朴实的数学化之旅。
弗赖登塔尔认为，数学源于现实，寓于现实，用于现实，与其说学习数学，不如说学习数学化。基于上述理论，我们不难知道：数学化是从“物化”到“内化”，由“具体”到“抽象”的过程，“从横向和纵向来设计、分析数学教学，能防止数学教学偏离现实主义的正确道路”（王永教授语）。数学课程改革倡导现实的教学，提倡横向数学化和纵向数学化的均衡发展。课例中，丁老师通过动手搭、脑中搭图形的途径，让学生经历有余数除法的学习过程。在动手搭中，学生用算式9÷4=2……1表示了“9根小棒能搭几个正方形”的问题，是横向数学化的结果；把横式改成竖式是纵向数学化的过程，是学生在符号世界学习的结果。在此基础上，要求学生及时回到问题情境，分别解释数字9，4，2，1的实际含义，其解释的过程本身又是横向数学化。
如课例所示，脑中搭正方形在内容上与操作相似，却体现了不同的思维水平，加深了学生对余数意义的理解。“用9根小棒来搭正方形”和“用11根小棒来搭正方形”在形式上给学生的纵向数学化提供了空间，具体体现在第3步。通过摆9根、11根、17根、18根、19根、20根小棒，学生经历了横向数学化和纵向数学化的学习过程，逐步建构起“余数要比除数小”的认识。在这一过程中，教师充分结合低年级学生的年龄特点，让学生在动手操作中摆一摆小棒，初步感受有余数的除法，在边动手边思考中研究有余数除法的竖式计算方法，逐步感受余数要比除数小，不断反复，真正体现出一个高水平教师的教学水平。在让学生理解除法各部分之间的关系时，教师没有让学生看着竖式来记忆，而是出示一个等式请学生说一说，这样做，学生就真正理解了，而且学得很愉快，数学味得到了体现。
本案例中，教师从横向和纵向的角度设计数学教学，让学生在有“数学含量”的学习情境中经历了完整的数学化活动，使学生个体内部的自主探究活动得以实现。
（江苏省常州市小学数学学科骨干教师 陈新宇）