构建充满生命力的课堂
——“质数与合数”教学实录及评析
潘小明，著名特级教师
课堂实录
一、巧设铺垫，引出知识
（课件出示3个大小相同的小正方形。）
师：每个正方形的边长为1，用这样的3个正方形拼成1个长方形，你能拼出几个不同的长方形？
（学生独立思考。）
生：我能拼出2个长方形。
师：说说是怎样的2个长方形。
生：横着1个，还有竖着1个。
师：横着的这个长方形的长是多少？宽是多少？
生：长是3，宽是1。
师：还有1个呢？
生：还有1个长方形的长也是3，宽也是1。
（学生中发出“啊”的声音，以表示不同意这种说法。有些学生帮助纠正说“长是1，宽是3”。）
师：这无关紧要，反正长方形相邻的两条边，一条叫“长”，另一条就叫“宽”。
师：同学们，这2个长方形实质上是怎样的？
生：实质上是同样的长方形，只是放的位置不同。一个是横着放，另一个是竖着放。
师：是呀，我觉得还可以斜着放。其实，我们只能拼出1个长方形，它的长是3，宽是1。
（课件演示：将3个大小相同的正方形拼成1个长方形，接着出示了4个大小相同的小正方形。）
师：这样的4个小正方形能拼出几个不同的长方形？
（学生各自独立思考、想象后举手回答。）
生：1个。
师：也只能拼出1个？请说出该长方形的长和宽。
生：长方形的宽是1，长是4。
生：我认为还有1个，它的四条边的长度都是2。（话音刚落，学生议论开了）
生：他说的是正方形，我认为也是对的。因为正方形是特殊的长方形。
师：正方形也属于长方形，是一种特殊的长方形，所以，用4个同样的小正方形可以拼出几个不同的长方形？（结合学生回答，课件演示出拼成的2个长方形）
师：同学们再想一下，如果有12个小正方形，你能拼出几个不同的长方形？
［评析：学生独立思考，拿出笔在纸上画了起来，教师给予一定的时间让他们画，尊重学生自己的思维方式。但不能让学生将大量的时间花在画出所有不同的长方形上面，需要进行教学调控。］
二、自主探索，引出质数和合数
师：我看到许多同学不用画就已经知道了。
［评析：教师说这句话的目的既起“暗示”作用——暗示学生不需将所有不同的长方形一一画出也有办法知道“能拼出几个不同的长方形”，又起导向作用，让学生思考其他的方法或策略。］
生：能拼出3个不同的长方形。
师：是怎样的3个呢？
生：1个长是12，宽是1的；还有1个长是6，宽是2的，以及1个长是4，宽是3的3个不同的长方形。
师：你们能想象出拼成的这些长方形的样子吗？
生：第1种是把这12个正方形摆成1排；第2种是每排6个，摆2排；第3种是每排4个，摆3排。
师：同学们，如果给出的正方形的个数越多，那拼出的不同的长方形的个数——（学生异口同声地说：“会越多。”）
师（装作没听清楚）：给出的正方形的个数越多，拼出的长方形的个数，你们是说——（同学们清楚又响亮地回答：“越多。”）
［评析：课堂一下子安静了下来，此时无声胜有声。］
生（突然说）：不一定的。
师：他说不一定，（故意加重语气）对吗？
（其他学生更加坚定而响亮地回答：“对!”）
师：说话要有根据呀!
（学生的情绪更加激动了。）
生：刚才4个正方形能拼出2个，如果用5个正方形只能拼出1个。如果用潘老师的说法，5个正方形拼出的不同的长方形应该不止2个，所以，这话是错的。
师：同学们听明白了吗？他说得好不好？
生：好!
师：我觉得他说得还不太好，他说“潘老师说的”，我什么时候说过“小正方形个数越多，拼出的长方形的个数也越多”这句话？这可是你们自己说的呀。不过，你们觉得刚才这位同学举的例子好不好？
生：好!
师：一个例子就把你们刚才的结论给否定了。多有说服力的反例啊!
师：同学们，用小正方形拼长方形，有时只能拼出一种，有时拼出的长方形不止一种。你们觉得当小正方形的个数是什么数的时候，只能拼出一种长方形？
（学生思考后，相互之间展开了热烈的讨论。）
生1：我觉得当小正方形的个数是奇数——（还没待该生说完，有些学生便忍不住打断他的发言）
师：慢!尊重人家，让人家把话说完。
生1：是奇数的时候。
师：我们首先要学会尊重别人，倾听别人的发言，然后对他人的发言做出自己的思考，有不同意见的再与他人进行讨论。
生2：我有反对意见。我想问××，9是什么数？用9个小正方形能拼出几个长方形？
生1：9是奇数，用9个小正形能拼出2个长方形。我知道了，当个数是奇数时，也不一定只能拼出1个长方形。
师：那该是什么数的时候呢？
生3：如果小正方形的个数在除法里只能被1整除的话，这些小正方形只能拼出1个长方形。例如，小正方形的个数是1时。
师：用1个小正方形怎么去拼呢？
生4：那0呢？0是可以被任何数整除的。
师：他说的是那个数只能被1整除。
生4：但是，0可以被任何数整除呀，也能被1整除的。
师：噢，我明白了。你的意思是0也能被1整除，那么0个正方形你怎么拼呢？
生5：我想问前一位同学，你能找出只能被1整除的数吗？
生3：43。
生5：43还能被43整除。
师：是呀，43能被1整除，还能被43本身整除。
生5：我认为，应该是这个数只能被1和它自己整除的时候。
师：我们一起来举些例子，检验她这话说得对不对。
（学生举例：3，13，7，5，11……）
生：还有1。
师：只有1个正方形就不用拼了。
（同学们同意地点着头。）
师：我们发现，表示正方形个数的数只能被1和它本身整除的时候，只能拼成一个长方形。什么情况下拼得的长方形不止一种？
（学生举例：4，6，8，9，10，12，14，15……）
师：说得完吗？
生：说不完。
师：那么，应该怎样回答这个问题呢？（一些学生发出无奈的叹气声）这些数有什么共同的特征？
生：这些数中，第2个、第3个每次都比前一个数增加2，然后第4个增加1，后面又每次增加2——（话没说完，一些学生“呀——”地表示不同意）
生：我觉得这些数都能被两个以上的数整除。
师：这些数都能被两个以上的数整除，你能结合例子说具体点吗？
生：4能被1，4整除，还能被2整除；6能被1，6整除，还能被2，3整除；8能被1，8整除，还能被2，4整除；9能被1，9整除，还能被3整除。
师：这些数有着共同的特点，那就是它们除了能被1和它本身整除外，还能——
生：还能被别的数整除。
师：同学们，像上面这些数（指前面板书的3，5，7，11，13等数），在数学上我们把它们叫作“质数”，下面的这些数（4，6，8，9，10，12，14，15等数），我们把它们叫作“合数”。什么样的数叫“质数”，什么样的数叫“合数”？
（学生独立思考后，在小组内进行交流，然后再全班交流。）
生：质数就是只能被1和它本身整除的数，合数是能被两个以上的数整除的数。
生：我们小组在讨论了质数与合数后，还讨论了0。0到底是质数还是合数？我们认为是合数。
师（笑着）：关于“0”的问题，我们待会儿再说，好吗？
生：好。
师：现在看来，大多数同学的意见是这样的，质数只能被1和它本身整除，而合数除了能被1和它本身整除外，还能被别的数整除。一个数能被1整除，说明1是它的约数，能被它本身整除，说明它本身也是它的约数。
（教师边说边板书。）
（接着，教师让学生判断哪些数是质数，哪些数是合数。）
生：17是质数。
师：为什么？
生：因为它只能被1和它本身整除。
师：嗯，能不能运用概念进行回答？
生：因为17的约数只有1和它本身，没有别的约数，所以，17是质数。
师：对!运用概念去判断。
生：我觉得21是合数，因为它的约数除了1和它本身，还有3和7。
师：对!它的约数除了1和它本身外，还有3和7。
生：29是质数。
生1：我觉得48是合数，因为它的约数除了1和它本身外，还有别的约数，譬如说，24，2都是它的约数，所以它是合数。
（有一些学生认为她回答得不完整。）
师：有人说她回答得不完整，那谁能回答得完整？
生2：我认为，48的约数除了1和它本身外，还有2，24，12和4。
师：看来你的回答也“不完整”。
（这时，其他学生补充说，还有3，16，6，8。）
生3：我有一个问题，刚才××说的是“例如”，她并没有说全部的约数。
师：那你说，要不要说出全部的约数？
生3：不用!只要说出一至两个就够了。
师：一至两个，到底是说出两个还是说出一个就够了？（许多学生齐声回答：“一个。”）
师：××同学，你同意吗？
生1：同意。
师：其实，刚才那位同学已经回答得非常好了，而这位同学的解释也很有道理。你要说48是合数的话，它的约数除了1和48外，还有——这“还有”我只要举几个？
生：一个。
师：对!管它还有几个，我只要举出一个，就足以说明它是一个合数。
（教师在刚才板书的质数、合数的定义中的“没有”与“还有”下面打上着重号。）
（继续进行判断。当课件慢慢地显示出一个数的各位数“2”“1”“7”“8”“1”“3”时，一些学生发出“哦——”的惊奇声，稍顿，课件又显示出该数的最后一位数字“5”，此时，寂静的教室又热闹了起来，一些学生积极地举手争取发言。）
生：是个质数。（话刚出口，其他学生异口同声地“啊——”）
师：你能说说理由吗？
生：它的约数除了1和它本身外，没有别的约数。
师：如果真的没有别的约数，那么这个数就是质数。不过——这个数到底还有没有别的约数？你再思考一下，好吗？
生：根据我们上学期学的能被5整除的数的特征，我们知道个位上是0或5的数能被5整除，所以，这个数有别的约数5，它是合数。
师：你们觉得他回答得怎么样？
生：好!
师：你们说的“好”很不具体，能不能说出到底好在哪里？
生：我觉得他的回答好在能运用上学期学的知识和现在学的概念来分辨一个数是质数还是合数。
师：你们觉得他回答得好不好？
生：好！
师：好在哪里？（同学们及听课的教师都会意地笑了起来）他能自觉运用我们已经学过的能被2，5，3整除的数的特征等知识来回答今天的问题，这就是好!
（接着，电脑屏幕上又渐渐地显示出“10000032”，同学们激动地说是“合数”。）
师：这么大的数，同学们都能迅速做出正确的判断，小的数更不在话下，对吗？
（成功的喜悦洋溢在同学们的脸上，大家非常自信地回答“对”。这时，教师随手板书“1”，许多学生都笑了起来。）
师：请同学们都发表一下自己的意见。你认为1是质数就打手势“1”，认为1不是质数就用手势“2”表示。
（大家开始思考，随着教师的一声令下，同学们都打出了手势。结果，班上只有5个学生认为1不是质数，其余学生都认为1是质数。）
师：同学们，你能说出自己做出选择的理由吗？
生：能！
生：1能被1整除，还能被它本身整除，没有别的约数，所以1是质数。
生：他说1只能被1整除，那么，我想问“1除以43”呢？
（教师提醒：“1能被43整除吗？”该生马上发现了自己的错误。同学们也马上发现了问题，提醒道：“是整除。”）
生：那我想问你——
师：你想问潘老师？
生：是的。
师：好呀，问潘老师，当然可以。请问吧!
生：它的规定上面没有说要整除。
（许多学生提醒该生是“约数”。）
师：噢，你说什么是“约数”？
生：在整除的情况下，除数是被除数的约数。
师：对呀，那你说，规定上还要写明是“整除”吗？（该生点着头，满意地坐下）
生：我还有反对意见!那0呢？
（该生话刚说出口，其他同学一起向他指出“0不可以做除数”。）
师：0能被1整除，0能被100整除——
生：0还能被它本身整除。
（一石激起千层浪。）
生：1除以0呢？我认为0是不能做除数的，因为0乘任何数都不会等于1的。0做除数是没有意义的。
师：同学们的讨论是很不错的。对于“1”是不是质数，大家都在从概念出发进行判断。有的同学认为1是质数，也有的认为1不是质数，在认为1不是质数的人中间，还有一个人，他是谁啊？
（教师举着手在问大家，同学们却转头相互看着，终于有学生说：“是老师。”）
师：我告诉你们，1确实不是质数!
（同学们怀疑地发出“啊”的声音，有的学生补充道：“也不是合数。”）
师（肯定地）：对！1也不是合数。
生：我想问你，1是什么数？（有些学生回答说：“1是自然数。”）
师（承接着）：1是自然数呗。可是，1好像是符合质数的条件的，为什么说1不是质数呢？
生：因为1和它本身是同一个数。
师：是呀，1是1的约数，它本身也是1的约数。同学们，问题到底在哪里？
（一些学生低声议论道：“可能是概念有问题。”）
生：可能是编书的老师编错了。
师：有可能是“编书的”编错了，编书的老师今天也在。
（大家哈哈大笑了起来。）
师：那怎样说，才能说明1不是质数呢？
生：当1和它本身是相同的数的时候，这个数就不是质数。
师：也就是说，1只有一个约数，它不是质数。那么，质数的约数应该是几个呢？
生：是两个。
（结合学生的回答，教师在前面板书的“一个数除了1和它本身”后插入“两个约数”。）
［评析：这样的定义虽然与课本上的叙述不尽相同，但确实表明学生已经理解质数的概念了。］
师：现在运用这个概念，你们能做出判断吗？
生：1不是质数也不是合数。那0是什么数？
师：0肯定不是质数。关于“0”的问题，我们以后再好好地研究，好吗？
［评析：对于学生提出“0是什么数”的问题，教师首先想到的是要保护学生敢于质疑的积极性，同时又考虑到“数的整除”是在非0自然数范围内学习的，为此，与学生商量“以后再好好研究”。］
三、知识所需，引出质数表
（课件出示：73。学生思考它是不是质数。）
师：要想马上知道“73”是什么数还真不容易。如果有质数表可查就方便了。
生：是呀！
师：这表从哪里来？
（一个学生举起一张课前印发的纸，高兴地说：“质数表在这儿。”）
师：这上面是1到100这100个数。（一些学生大声地说：“99个数。”）
师：对！它不是质数表。因为1既不是质数，也不是合数，所以我把它丢了。老师要你们找出100以内的质数，制成质数表。
［评析：对于制作100以内的质数表，用什么样的方法去制表，要比单纯地找出这些质数更为重要，因为它能够让学生在制表的过程中学习数学。学生不是机械地按教师的指令操作，而是从自己的实际出发自由地开拓思维。］
师：刚才，有些同学接受任务后，马上就去找。要是我，我可不会这么急，我会先想想要用什么方法去找。说说你们是怎样找的。
生：我是按照质数的概念一个一个地进行判断，是质数的用一种符号表示，是合数的用另一种符号表示。
生：我是将质数用符号表示出来，剩下的数划去。
师（若有所思地）：把质数留下，其他的数去掉，这——古代数学家就是用这种筛选的方法制作质数表的。我们都来“筛”吧！
（接着，学生各自用筛选的方法制作质数表。学生在进行了一段时间的实践后，教师发现大多数的学生是用逐个判断的办法筛选出质数的。）
师：怎样筛选得更快？
生：我先把偶数都划掉。
（话没说完，许多只手高高地举起来，一些学生急不可待地说着：“不对!2不能划去。”）
师：同学们，我们应该让他先把话说完，再发表自己的意见，对吗？
生：我刚才说错了。应该把2留下，因为2是质数，把2以外的其他偶数都划去；接着把3留下，其他的3的倍数都划去；把5留下，其他的5的倍数都划去；把7留下，其他的7的倍数都划去……
（此时，同学们一起回答着：“把11留下，其他的11的倍数都划去……”）
师：表中11的倍数是哪些呢？你能说出几个吗？
（同学们列举着，发现22，33，44，55，66，77，88，99等在前面都已经划去了。）
师：再看看，表中还有要划去的数吗？
（学生自己发现了规律，高兴地说：“不用再划下去了。”）
生：我有更快的方法，第一列留2，其他都划去；第二列留3，其他都划去；第三列都划去；第五列都划去；再接下去，只在第四列和第六列中找质数就可以了。（这时，下课的铃声响了）
生：我发现，除了2和3两个质数外，其他的质数都在第四和第六列中。
师：第五列的数有什么特点？
生：它们都能被6整除，是6的倍数。
生：2，3以外的质数比6的倍数少1或比6的倍数大1。
生：我发现1到20的数中有8个质数，可80到100的数中只有3个质数，以后的质数会不会越来越少？质数的个数是不是有限的？
师：同学们善于观察、肯动脑筋、敢于提问，太好了。关于质数与合数的学问多着呢!你们听说过“数学皇冠上的明珠”——哥德巴赫猜想吗？若感兴趣，就上网去查吧。
（同学们的好奇心油然而生，尽管下课的铃声已响过，可大家仍沉浸在数学的王国里。）
［评析：教师的真情投入，师生心灵间的交流与感应，都调动起了学生的兴趣，激发出学生的创造力，使学生的学习体验和效率成倍提高。感人心者，莫先乎情，情迫则思深矣。］
教学反思
“质数与合数”是本单元学习内容的一个转折点，起着承上启下的作用：承上是指对它的学习是建立在因数和倍数的学习基础之上的，而启下则指它是后面学习最大公因数、最小公倍数以及约分、通分的基础，是直接影响学生学习本单元后面知识的重要内容。
作为一节典型的概念教学课，本节课的教学内容相对来说比较抽象，与学生的生活有一定距离。如何让学生真正经历、体验数学规律的发现过程？如何让学生掌握质数与合数的意义？我大胆放手，引导学生进行了有益的探索和尝试，力求把学习的主动权交给学生。
1．让学生经历数学知识的形成与应用过程
在讲“质数与合数”这节课时，我沿着《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新课标”）的理念设计安排了这样的导入：3个小正方形可以拼成几个不同的长方形，再扩展到4个小正方形、12个小正方形……随着上述情境的不断展开，悬念顿生，学生兴趣盎然，思维处于欲罢不能的愤悱状态。此时，教师巧妙地把握住时机，导入新课。这样，从数学背景入手，让学生感到学的知识有用，同时也感受到了数学自身的魅力，对数学充满了无限的兴趣，这就为本节课的顺利实施提供了有效的条件。学生在判断能否拼成几个不同的长方形过程中对个数进行了分类和讨论，辨析出质数与合数。对此，教师没有过多的干预，而是让学生自己去经历观察、实验、证明等数学活动的过程，发展了学生的合情推理能力、初步的演绎思维能力及解决问题的能力。这样既在学生已有知识的基础上找好了切入点，同时又让学生亲自体验了数学的过程。
2．要让学生感悟和体验数学活动，培养探索与创造精神
本节课我设计了一系列形式多样的练习，目的有二：一是为了让学生加深对新知识的理解和掌握；二是为了让学生感知质数与合数、奇数和偶数这几个概念的区别，让学生在有趣、有层次的练习中获得新知、突破难点。在教学的后半部分，我又放手让学生制作100以内的质数表，这样设计已经不只局限于使学生理解、掌握知识，更多关注的是培养学生探究知识的能力，着眼学生的可持续发展。最后再用简短的结语激励学生去探寻质数的秘密与哥德巴赫猜想，最大限度地满足每一个学生数学学习的需要，让不同的人在数学上得到不同的发展。
本节课中我本着以人的发展为本的教学理念，着眼于学生的可持续发展，注重教学目标的多元化，在价值目标取向上不仅仅局限于使学生获得一般的知识技能，更重要的是让学生在数学学习过程中感受到数学自身的魅力，获得数学的基本思想，了解数学的价值，体验问题解决的过程。
专家点评
潘老师在教“质数与合数”时，为学生自主探究、主动建构创设良好的条件，能够让每一个学生都主动参与数学学习，改变了学生被动接受的学习方式。以下是本节课的两大亮点。
1．让学科内的知识相互关联
每一节课的教学内容都不是孤立的，而是某个知识体系、教学体系中的一环。新旧知识的关联，可以在教学中起到承上启下、温故知新的作用。比如，通过结合图形知识与代数知识，使学生更易理解质数与合数的概念。潘老师在教“质数与合数”时，没有直接去讲“什么是质数”“什么是合数”，而是让学生摆小方块，从中渗透质数与合数的思想，引入新课，让学生通过形象的图形来理解抽象的代数知识，很好地做到了数形结合。
2．赋予学生批判的精神
这是教会学生创新精神和实践能力的前提，一个不敢质疑、不会质疑的人是不会有所创新的。所以，批判精神的培养也是课程改革不可忽视的问题。潘老师的课很有特色，在他的课堂上总能听到孩子们相互辩论的声音。例如，在讨论“1是质数还是合数”时，潘老师没有呆板地说“下面分组讨论一下1究竟是质数还是合数”，而是让学生自发地辩论起来，有人认为是质数，并讲述理由，也有人认为是合数，也讲述了自己的理由，然后，潘老师让双方互相质疑，最后，所有的同学在讨论中都感觉到刚才他们对合数、质数下的定义不够严密，然后一起把定义补充完整。这是一个生动、创新的课堂。学生们通过反复讨论、质疑的学习过程，自然而然地受到了熏陶，认识到书本、教师不是权威，只有自己的思考实践才是真实可信的，同时也养成了自主的学习意识。
总之，潘老师的教学改变了传统教学机械、沉闷、程式化的模式，鼓励学生即兴创造，甚至超越了目标预定的要求，在从有序到无序再到有序的教学过程中，培养了学生的自主学习能力和创新能力，使课堂充满生命力。
（著名数学教育专家 邱学华）