丁杭缨：扎实·自然·灵动

学生在经历操作、观察、抽象、概括等相关动手动脑的数学活动的过程中，逐步形成小数的概念，了解了小数的来龙去脉以及与相关知识的纵横联系，形成了完善的数学认知结构，感受到数学的精神、思想和方法。
朱国荣：教学基于学生的创造
学生在解决挑战性问题的过程中，建立了小数与十进分数的本质联系。这样不仅对小数意义的理解更为深刻，也发展了创造的精神，提高了发现问题、分析问题和解决问题的能力。
同课异构赏析
两位名师从各自不同的视角，生动地表达深刻的学习内容，让学生轻松快乐地学习。他们关注学生学习需要，并依此安排教学内容，设计教学方法；他们注重在引导学生掌握数学知识、形成良好数学认知结构的同时，触及数学本质的深处，更深切地感受数学精神、思想和方法的魅力；他们展现了让学生在学习有限知识的同时，探寻认识无限世界之本领的各自教学主张。他们课堂和而不同、各美其美！
小数连接了十进分数与整数这两个不同的表征系统，所以概念的形成有两条基本途径：通过分数的“部分与整体”关系，或者利用整数的位值原理。教学时，学生必须依托分数和整数的相关知识，借助分数理解小数的意义，借助整数掌握小数的结构特征。现行人教版、苏教版和西南师大版教材都是按照“分数的初步认识”、“小数的初步认识”、“小数的意义”、“分数的意义”这样的顺序编排教材的，北师大版则是按照“元、角、分和小数”、“认识分数”、“小数的认识和加减”、“分数的再认识”这样的顺序编排的。北师大版的教学编排和其他版本的逻辑顺序是有很大区别的。
学生在学习小数的意义时，一般会经历三种不同层次的思维水平：最初层次是联系生活中的货币、长度、重量等理解小数的思维水平，现行北师大版的“元、角、分和小数”，以及20世纪70年代左右日本和苏联的算术教材都有这样的安排，这样处理的目的是借助日常生活中一些常见量的“十进”关系，帮助学生认识小数的意义；高一点的层次是借助直观理解小数的思维水平，最常见的是通过对各种图形（或物体）进行操作、观察以帮助理解小数的意义；最高的层次是能直接根据小数的意义理解小数，这种思维水平是建立在前两种思维水平的基础之上，并通过抽象、概括等一系列思维活动来达成的。
同课案例 扎实·自然·灵动
丁杭缨^脚注5
［第一阶段：操作阶段］
师：三年级时我们已经初步认识了小数。现在请你在脑中回忆一个小数，按要求举手。（板书“整数部分是零的小数”。）
师：我先想一个小数0.3。（板书“0.3”）你想的是什么？
生：我想的是0.5。
生：我想的是0.253。（板书“0.253”。）
师：的确不太一样，还有吗？
生：零点十三。（其他学生有意见。）
师：我先把它写下来，你想的是不是这样一个小数（板书“0.13”）？同学们对你的读法有意见，这个小数应该读做——零点一三。
师：再来第二个要求（板书“整数部分不是零的小数”），谁想的小数符合这个要求？（教师根据学生的回答，板书“1.5”、“2.253”、“24.37”。）小数还有很多很多，举不完。咱们先以黑板上这些为例。（此时黑板上的板书如下。）
整数部分是零的小数：　0.3　0.13　0.253
整数部分不是零的小数：1.5　24.37　2.253
师：刚才我们把小数分成了两类，一类是整数部分是零的小数，还有一类是整数部分不是零的小数。你觉得还可以怎么分？
生：刚才是横着看的，现在竖着看。这（指第一列）就是一位小数的，这（指第二列）是两位小数，这（指第三列）便是三位小数。
师：是的，不同的分类标准就会有不同的分法。
实时评析
小数概念的学习不能由教师简单地传授给学生，而要依托学生已有的认知基础和认知经验。因此，教学开始的问题情境创设起了非常关键的作用，有助于数学概念的现实背景和形成过程的揭示，使学习活动能顺利展开，使学生能进行充分的活动体验。
师：现在我们以0.3为例深入学习小数。看到0.3，你马上想到什么？
生：十分之三。
师：很好，看到小数我们马上想到了分数，小数和分数密不可分。小数和什么样的分数密不可分，知道吗？
生：十进分数。
师：什么叫做十进分数？（学生摇头。）比如十分之几、百分之几、千分之几，分母是十、百、千，这样的小数叫做十进分数。（教师板书“小数和分数密不可分，小数是十进分数的另一种表现形式”。）
师：刚才有同学提到看到0.3就想到十分之三，那么0.3的意义和十分之三的意义一样吗？假设这张长方形纸的大小用“1”来表示，请你用最快的速度在上面画出“0.3”。（学生独立尝试，同桌交流，教师展示部分学生所表示的“0.3”，如下图。）

实时评析
具体形象的学习材料以及动手、动脑的数学活动，帮助学生对小数的概念形成丰富的感知，有利于学生小数概念的理解和形成。通过“在长方形纸上画出心目中的0.3”的操作活动，学生在已有的知识和经验基础上亲身体验、感受小数这个概念的直观表征和与十进分数概念间的联系，获得对小数意义的初步理解。
［第二阶段：过程阶段］
师：黑板上的六幅图，你对哪幅图表示的0.3有意见？
生：我认为第1幅图表示的不像0.3。
师：你认为像多少？
生：像三分之一。
师：为什么是三分之一？
生：因为它把这张纸平均分成了三份，表示了其中的一份。
师：的确，这幅图表示的是三分之一，不是0.3。
生：我认为第6幅图不是0.3，它表示的是0.1。
师：说说你的理由。
生：因为它把长方形平均分成10份，涂了其中的1份，是十分之一，就是0.1。
师：同意他的意见吗？如果你来画，你会怎么修改这幅图？
生：给它涂上3格，再增加2格。
师：再增加2个十分之一，就是十分之三，也就是0.3。
生：第5幅图也不是表示0.3，它表示四分之三。
师：是的，四分之三是0.75不是0.3。
师：现在大家同意这几幅图（第2、第3、第4幅图）都可以用0.3来表示吗？
生：同意。
师：仔细观察这三幅图，为什么它们的阴影部分都可以用0.3来表示？
生：因为它们都是把这个图形平均分成10份，取了其中的3份，表示十分之三。十分之三就是0.3。
师：太棒了。0.3表示十分之三（板书“0.3 表示十分之三”），十分之三就是0.3。0.3和十分之三大小一样，意义也一样。
师：图中的空白部分可以用什么小数来表示呢？
生：0.7。
师：为什么用0.7来表示空白部分？0.7表示什么意思？
生：它们把图形平均分成10份，表示其中7份，0.7表示十分之七。
实时评析
师生通过六幅图的辨别与修正，在头脑中对前面的操作活动进行描述和反思，建立小数与分数的联系，初步经历关于小数意义的思维内化、压缩过程，逐步抽象出小数0.3、0.7的本质意义。

师：你能不能在这个数轴（如右图）上指一指0.3在哪里？（学生上台指。）
师：为什么是这里？
生：因为0到1之间有10个点，这里（指第二个点）就是十分之一，（往右数就是）十分之二、十分之三。
师：在0和1之间平均分成了10份，3份就是十分之三，也就是0.3。0.3里面有几个0.1？
生：3个。
师：你怎么找0.7？
生：找到1，往前倒过来数3格就是0.7。
师：倒过来数，很好。1减0.3等于0.7。还能怎么找？
生：从0.3开始往右再数0.4，0.3加0.4就是0.7。（课件出示“0.9里面有（）个0.1；1里面有（）个0.1”。）
师：数轴上还有其他的一位小数吗？
生：还有0.2。
师：找到0.2了吗？在哪里？
生：0.3的前面。
生：还有1.5。
师：1.5在哪里？（学生上台指“在1 的后面，再数出5 格”。）数轴上还有很多一位小数。现在我给0.3加个单位，变成0.3米。请你告诉大家，怎样在这根米尺上找到0.3米。
生：0.3米就是把1米平均分成10份，取了3份，1份是1分米，这3份代表的就是3分米，就是30厘米，所以这里（指着米尺）是0.3米。
师：如果在0.7的后面加上一个单位“元”，（出示1个1元硬币和10个1角硬币），你会从哪里拿0.7元？
生：我会从10个一角硬币中拿0.7元？
师：为什么？
生：因为一元硬币不能分开。0.7元就是把1元平均分成10份，表示其中的7份，也就是1元的十分之七。
师：你会拿1.3元吗？
生：先拿1元，再拿3角。
师：（出示右图）与1.3元相对应的图应该是哪幅呢？

生：第1幅，第3幅。
师：这个1 元表示第一幅图中的哪一部分？这个3角又表示哪部分？
生：1元相当于灰色阴影的大正方形，3角相当于这个正方形中的3格阴影部分。
师：1元3角在数轴上呢？（学生回答略。）
实时评析
过程阶段是把操作活动综合成数学化的过程，其关键是让学生体验小数意义形成中的数学思维方法。在上面的教学片段中，数轴、线段、图形、硬币、米尺出现在小数概念学习的同一时空并非是偶然的巧合，多种学习材料的组合能让学生更好地理解“是什么”、“为什么”，通过思维运算和反省抽象，对小数这个概念所具有的直观表征和形式定义进行必要的综合，从而比较顺利地完成由“操作”到“过程”的转型。
［第三阶段：对象阶段］
师：你们已经把一位小数搞清楚了，那么一位小数表示什么意义呢？
生：一位小数表示十分之几。（教师板书这一句话。）
师：下面我们学习两位小数。学习之前，老师想送你们一句话。（课件出示“成功等于百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋——爱因斯坦”。）
师：看到数了吗？看到了几个？
生：一个是百分之一，还有一个是百分之九十九。
生：一个小数是0.01，还有一个小数是0.99。
师：假设这里有两张正方形纸（出示课件，如右图），要求以最快的速度表示出0.01，请问你会选哪张正方形纸？为什么？

生：我会选择第二张，因为它已经平均分成了100格了。
师：为什么不选择第一张呢？
生：因为第一张没有100份，只有10份，它只能表示十分之几。（课件把0.01涂红，0.99涂绿。）
师：现在红色的一格表示0.01，绿色的就表示0.99。请告诉我，在这里“灵感”是什么颜色？“勤奋”是指什么颜色？“成功”在哪里？
生：“灵感”是红色，“勤奋”是绿色，“成功”是指整个图形。
师：看来，要获得成功，勤奋很重要。那么让我们一起来勤奋一下。（出示练习，让学生独立尝试，完成后同桌交流。）
先在括号里写一个整数部分是零的两位小数：
（1） 
（2）从下图中选一张正方形图，用阴影部分表示出这个小数；

（3）同桌说一说，如何在米尺上找出这个数。
师：这位同学写的小数是0.11 米，0.11 米用分数来表示是一百分之十一米。在这两个图中，他选择了这个图（指第二张正方形图），画了11份。如果在米尺上，如何找到这个数？
生：我准备把米尺平均分成100份，取其中的11份，就是11厘米。
师：刚才我们说一位小数表示（生答：十分之几），那么两位小数就表示——
生：两位小数表示百分之几。
师：回过头来看刚才同学们举例的0.13，它表示什么？
生：0.13表示一百分之十三。
师：你知道最小的两位小数是多少吗？
生：0.01。
师：对，最小的两位小数是0.01。在两位小数里面，还有一个小数很特殊，六年级时会经常用到，这个两位小数就是3.14，你知道这个两位小数是什么吗？
生：3.14是圆周率。
师：真棒！其实圆周率并不等于3.14，是一个无限不循环小数，在计算时为了方便，我们通常取圆周率为3.14。
师：以此类推，三位小数表示什么？
生：三位小数表示千分之几。
师：对，把一个正方形平均分成1000份，其中的一份就是千分之一，一千分之一就是0.001。0.001就是最小的三位小数。刚才举例的三位小数0.253表示什么意思？
生：0.253表示的意思是一千分之二百五十三。
师：很好。
师：四位小数表示的是——
生：万分之几。
实时评析
对象阶段是对前面“操作”与“过程”的抽象，认识到了概念的本质，对其赋予形式化的定义，使其达到精致化，成为一个具体的对象，在以后的学习中以此为对象进行新的活动。在这个阶段可以把两位小数、三位小数甚至四位小数上升为一个独立的对象来处理。不过，在这个过程中教师一定要意识到一点：一个数学概念由“过程”到“对象”的建立大多数时候是既困难又漫长的，“过程”到“对象”的抽象需要经过多次反复、循序渐进、螺旋上升，直至学生真正理解概念。教师增加了一些学生喜闻乐见的小数例子，使学生在头脑中建立起的小数概念不但精致而且更具直观结构形象。
［第四阶段：概型阶段］
师：下一个环节轻松一点，我们来看几个生活中的小数（课件出示）。
你知道生活中的小数表示什么意思吗？
（1）1枚2分硬币约重1克；世界上最小的鸟——蜂鸟约重2 克，它的蛋只有豌豆那么大，仅重0.2克。
（2）北京奥运会上，飞人博尔特跑100米的速度是9.69秒。
（3）从网络上搜索到我国10 岁儿童的平均身高：女孩136.7 厘米、男孩135.8厘米。丁老师的身高是1.60米。
（4）六年级数学毕业考试的难度系数是0.85。
师：我们先来看第一题，1 枚2 分硬币约重1 克（出示一枚2 分硬币），世界上最小的鸟——蜂鸟约重2克，有多重啊？
生：2个2分硬币那么重。
师：它的蛋只有豌豆那么大，仅重0.2克。0.2克表示什么意思？
生：就是把这个2分硬币平均分成10份，取其中的2份。
师：2分硬币的十分之二才是这个蛋的重量。真的很轻很轻。
师：第二题，9.69秒，10秒钟不到。10 秒钟你们能干什么？大家一起在纸上写一写“一位小数表示什么，两位小数表示什么”。（10 秒后。）你们写了几个字？（生答：4个、6个。）你看，你们写了6 个字，博尔特就跑了100米。
师：第三题，同样是身高，你们有136.7、135.8，我只有1.60，怎么数据相差那么多？
生：因为136.7、135.8的单位是厘米，而1.60的单位是米。
师：丁老师的身高是以“米”做单位的，而小朋友的身高是以“厘米”做单位。小数后面添上单位后，表示的大小完全不同。
师：最后一题，六年级数学毕业考试的难度系数是0.85，这表示什么意思呢？
生：这个考试卷很简单。
师：简单到什么程度？
生：100道题里有85道很简单，我们都做得出。
师：通常还可以这样解释，毕业考的平均分在85分左右。想尝试一下难度系数是0.85的题目吗？（出示如下练习。）
小数的计数单位分别写做0.1、0.01、0.001……
你能说清0.1、0.01、0.001之间的关系吗？
生：它们相互之间都是乘10的。
生：都是十进制的。
师：为什么？
生：因为它们相互之间都是乘10得出来的。
生：0.1除以10是0.01，0.01除以10是0.001。
师：了不起，小数除法都会了；反过来说0.001 乘10 是0.01，0.01乘10是0.1，0.1乘10是1，1乘10是10。和整数一样，小数的相邻两个计数单位的进率也是十。让我们在图形里面再来看一下它们的关系。（课件出示下图。）

师：正方形是1，这（指一列）是0.1，这（指一小格）是0.01，这（指一小格中的一列）是0.001。所以，我们说，0.1 里面有10 个0.01，0.01里面有10个0.001。0.1里面有几个0.001？
生：100个。
师：从图上我们清楚地证明小数相邻两个计数单位之间的进率是十。
课后总评
概型阶段是概念学习的最高层面，它的形成要经过长期的学习活动来完善，起初的概型包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习建立起与其他概念、规则、图形等的联系，最后在头脑中形成关于这个概念的综合的心理图式。这节课教学的高级目标就是让学生在头脑中形成的关于小数意义的综合心理图式。在上面的教学实录中，教师千方百计地挖掘小数意义的内涵与外延，生活的、抽象的、具体的、联系的、逻辑的小数以个性化的方式存在于不同学生的头脑中，在原有知识结构中拥有丰富的关于小数意义的知识的“场”。
本节课主要是以APOS理论为支撑而设计的。美国学者杜宾斯基认为，学生学习数学概念是要进行心理建构的，这一建构过程要经历四个阶段（以小数意义为例）：操作（Action）——小数意义的理解首先需要通过学生的亲身活动或操作；过程（Process）——运用分析比较等方法把操作活动综合成关于小数属性的数学过程；对象（Object）——把刚才的数学过程上升为一个独立的对象来处理，抽象出小数的意义；概型（Scheme）——小数概念以一种综合的心理图式存在于学生的脑海中，这一心理图式包含具体的小数实例、小数意义抽象的过程、比较完整的定义，乃至和其他概念（如分数、整数等）的区别和联系，并在学生已有的数学知识体系中占有特定的地位。从数学学习心理学角度分析，以上四个学习阶段分析是合理的，它反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动。
APOS理论给“小数的意义”的教学提供的强有力的教学策略是：首先把小数的概念寓于学生的现实生活与已有知识的背景中，让学生对小数学习材料进行充足的操作与活动；其次，亲身经历、体验小数与分数等知识的联系，经历关于小数意义的数学化过程；然后用数学的方法组织和建立小数的概念；最后，建立起含有小数的现实原型、小数意义的抽象过程、有关的数学思想方法等具有丰富的内涵的小数概念。
同课案例 基于学生的创造
朱国荣
朱国荣，1972年11月生，浙江嘉兴人，中学高级教师，浙江省特级教师，先后被评为浙江省“5522“计划名师培养人选、嘉兴市首批中小学名教师、嘉兴市学科带头人，现任嘉兴教育学院课程改革研究处副处长，嘉兴市特级教师协会副会长，嘉兴市数学学会副会长。应邀在新疆、福建、河北、海南、贵州、云南、江苏、安徽等地开展讲学及教材培训活动。他逐渐形成了“简约、真实、富有数学味“的鲜明教学特色，课堂教学富有挑战性，善于以具有较大思维空间的核心问题激发学生的探究欲望，把不同水平层次学生生成的材料转化为最为鲜活的教学资源，使课堂富有生命活力。
一、导入，揭示课题
1.教师直接板书课题“小数的意义”。
2.指名学生说出几个小数，并告诉学生“在一个小数中，小数点左边的是小数的整数部分，小数点右边的是小数部分。小数部分只有一个数字的小数叫做一位小数，小数部分有两个数字的小数叫做两位小数……”。
实时评析
在小数的意义学习前，学生已经学习了小数的初步认识，教师在新课伊始引导学生交流已有知识，旨在帮助学生找准新知识的“生长点”，激发学生的思维。根据奥苏伯尔的相关研究，只有新知识同学生原有认知形成非人为的本质的联系，这样的学习才是“有意义的”。
二、展开，认识一位小数的意义
师：（板书0.1、0.01和0.001三个小数）0.1表示什么？
生：0.1表示1角。
生：0.1表示10份中的1份。
生：0.1表示 。
师：老师规定，这么大的一块（指边长正好是10 厘米的正方形纸的一个面的大小）用数“1”表示，这样的两张呢？
生：用数“2”表示。
师：这样的10张呢？
生：“10”。
实时评析
这里的“1”突出得好，在整数里它是一系列十进单位的基础，也就是基本单位，这里已经通过“2”和“10”来强化了。在下面小数的学习中，它是小数一系列十进单位的基础。这样的处理为位值原理的应用打下孕伏，同时也便于学生建立整数和小数这两个表征系统的联系。
师：如果老师想表示出0.1 那么大小的一块，你估计有多大？（指名两个学生来比画，结果一位学生大约比画成 那么大的一块，而另一位学生则比画成 那么大的一小块。）
师：0.1到底有多大呢？请每个同学都来分一分，涂一涂，表示出你理解的那么大小的一块。（学生活动，教师巡视，收集不同水平学生的创造成果。教师用实物投影依次呈现不同水平学生的创造成果。）
师：（呈现图1）你们认为他表示的是0.1那么大小的一块吗？
图1

生：他表示的不对，太小了！
师：（呈现图2）这图表示的是0.1吗？
图2

生：他这一块太大了。
生：他画成 了。
师：（呈现图3）那你们认为他表示的是0.1吗？
图3

生：他画成 了，0.1应该表示 。（学生虽然说出了“0.1表示 ”，但理解仍然停留在记忆的层次，并未真正理解“0.1”的意义。）
师：（呈现图4）你认为他表示的对吗？你是怎么看的？
图4

生：他表示的是对的，他把这张纸平均分成 10 份，其中的 1 份就是0.1。（有个学生高高举手，表示自己有不同表示方法，如图5。）
图5

师：他表示的对吗？这两个同学表示的方法有什么共同的地方？
生：他们都是把这张纸平均分成了10份，涂出了其中的1份。（教师用多媒体演示：把一张纸平均分成10份，涂出其中1份。）
师：谁能说说0.1所表示的意义？
生：0.1表示把一张正方形纸平均分成10份，涂其中的1份。
师：只能把正方形纸平均分吗？
生：还可以表示把一张长方形纸平均分成10份，涂其中的1份。
生：还可以表示把一样东西平均分成10份，取其中的1份。
生：还可以表示把1平均分成10份，取其中的1份。
师：仔细观察这个正方形，你除了看到0.1这个小数，你还能看到别的小数吗？
生：空白部分是0.9。
师：0.9表示什么？
生：0.9表示把1平均分成10份，取其中的9份。
生：0.9表示有9个0.1。
师：0.1和0.9合起来是多少？
生：是10个0.1，也就是1。
师：你们还能看到哪些小数呢？（教师依次演示涂出2 份、3 份、4份、5 份的过程，学生依次说出 0.2 和 0.8、0.3 和 0.7、0.4 和0.6、0.5。）
师：仔细观察这些小数，你发现了什么？
生：我发现了这些小数都是一位小数。
生：我发现这些小数都表示十分之几。
师：同学们真聪明！是的，一位小数表示十分之几。
实时评析
学生的学习一般都必须从感知开始，先通过对感性材料的操作和观察获得感性认识，然后在感性认识的基础上抽象出概念的本质属性和原理的普遍意义。学生在分一分、涂一涂“0.1”的环节经历了在操作、观察中感知，在感知后抽象、概括，并在思维碰撞中提高认识的学习过程。
三、推进，认识两位小数的意义
师：如果要表示出0.01那么大小的一块，你会吗？先请学生先独立思考，再与同桌交流。（学生思考并交流。）
师：哪位同学来说说看，你是怎么表示的？
生：把这张正方形纸平均分成100份，涂其中的1份。（教师演示把一张纸平均分成100份，涂出其中1份的过程。）
师：谁来说说0.01所表示的意义？
生：0.01表示把一张正方形纸平均分成100份，涂其中的1份。
生：0.01表示 。
师：仔细观察这个正方形，你还能看到别的小数吗？
生：空白部分是0.99。
师：0.99表示什么？
生：0.99表示 。
生：0.99里面有99个0.01。
生：0.01和0.99合起来是100个0.01，也就是1。
师：请在百格图上涂一涂，自己创造出一个小数。（学生涂百格图。）
师：哪位同学来说说你涂了几格？阴影部分用小数表示是多少？（学生回答略。）
师：你创造的小数是多少？大家想想，他涂了几格？空白部分用小数表示是多少？（学生回答略。）
师：大家创造的小数有什么共同特点？这是为什么？
生：都是两位小数。
生：因为我们都把这张纸平均分成了100份，阴影部分用分数表示都是百分之几，写成小数都是两位小数。
生：我们都创造了两个小数，这两个小数合起来都等于1。（正当教师得意于教学尽在意料之中时，意外发生了！）
生：老师，我创造的是一个一位小数！
师：（投影出示这个学生的结果）他正好涂了30 份，用小数表示是0.3。（很多学生脸上露出了疑惑的神情。）
师：如果让你用小数来表示他涂的阴影部分，你会用哪个小数？
生：我也会用0.3。
生：我会用0.30。
生：我觉得0.3和0.30都对的。
师：这个问题有点意思啊！请一起思考并讨论一下，到底应该用哪个小数表示呢？
生：我觉得0.3和0.30都是对的，0.30就等于0.3。
生：小数后面的“0”是可以去掉的。（学生一致认同。）
师：有不同想法吗？
生：我认为用0.3表示比较简单，后面的“0”用不着写的。
生：我不同意！用0.3表示是不对的。如果是0.3 的话，应该把这张纸平均分成10份，涂其中的3份。
师：那现在是——
生：把这张纸平均分成100份，涂其中的30份，用分数表示是 ，用小数表示应该是0.30。
生：0.30和0.3虽然涂的大小是一样的，但分的方法是不一样的。
生：0.30和0.3的大小是一样的，表示的意义是不一样的。
师：是的，小数0.30和0.3的大小是一样的，但它们所表示的意义并不一样。两位小数0.30表示 ，一位小数0.3表示 。
实时评析
理解是小学数学学习中的一个关键环节，其实质是在感知的基础上，通过思维加工，使新的数学知识同学生原有知识发生相互作用，并将新知识和原有知识融为一体的内化为学生的认知结构的过程。学生在百格图中表示小数的环节，生成了“涂30格，到底是0.30还是0.3”这样的问题，教师组织学生进行了深入的讨论。这时，学生的活动经验在不断积累，数学思维不断受到冲击，认知结构不断重建并且与概念的本质逐步趋同。
四、拓展，认识三位小数、四位小数的意义
师：我们已经知道了一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，那么三位小数呢？
生：三位小数表示千分之几。
师：四位小数呢？
生：万分之几。
师：0.001表示？
生： 。
师：0.103表示？
生： 。
师： 写成小数是——
生：0.027。
师：如果想在这张正方形纸上表示出一个很大很大的三位小数，你认为可以是几？
生：0.999。
师：那该怎么表示？
生：把这张纸平均分成1000份，涂其中的999份。
师：如果老师把这999份全部涂成了红颜色，你有什么感觉？
生：全部是红颜色了！
生：不对，还有一点点的空白。
生：空白部分是0.001。
生：0.001和0.999合起来是1，1里面有1000个0.001。
实时评析
前面，学生通过操作具体事例、主动反思形成了小数的初级概念，这里学生不再借助直观，在思维活动中，将小数的认识从特殊推广到一般，亦即实现了将概念的本质属性推广到同类事物中了，实现了更高水平的抽象、概括。
五、解释与应用
（课件呈现习题1：把一条线段的长度看做“1”，把这条线段平均分成10段。请分别用分数和小数表示其中3段的长度，如下图。）

（课件呈现习题2：星期天，阳阳走了0.3千米，到文具商店买了一块0.3元的橡皮，一共用了0.3小时。这里的“0.3”分别表示什么意义？学生独立完成后，教师指名学生板书答案：0.3千米=300米，0.3元=3角，0.3时=30分。）
师：先说说为什么0.3千米=300米，0.3元=3角。
生：因为1千米=1000米，所以0.3千米=300米。
生：0.3千米表示把1千米平均分成10份，其中的1份是100米，0.3千米表示有这样的3份，就是300米。
生：0.3元表示把1元平均分成10 份，其中的1 份是1 角，0.3 元就是3角。（教师引导学生观察第1小题中的这条线段，使学生认识到理解“0.3千米”的含义时，可以把这条线段看做1千米，而理解“0.3元”的含义时，可以把这条线段看做1元。）
师：0.3时=30分，对吗？
生：0.3时=20分。
生：0.3时=18分。
师：请同学们想一想、议一议，0.3小时到底是几分钟？
生：我认为是18分钟，可以把这条线段看做1小时，也就是60分钟，把它平均分成10份，其中的1份是0.1小时，也就是6分钟，0.3小时表示有这样的3份，也就是18分钟。
生：我也认为是18分钟，我是先想3小时是180分钟，0.3小时就是18分钟了。
实时评析
数学知识的应用，就是运用所获得的数学知识去解决同类或类似的问题的过程。这个过程可以加深数学知识的理解，有利于数学知识的巩固、拓展和提升，可以促进数学知识的广泛迁移，是实现数学知识向数学能力转化的重要环节。
异构赏析 和而不同 各美其美
汤雪峰
汤雪峰，1976年1 月生，本科学历，江苏省扬州市教科研专家培养对象，三次荣获江苏省“教海探航“征文评比一等奖，获奖文章入选《“教海探航“20年精华》（全省数学类共5篇）。现任职于扬州市广陵区教育局师资培训中心，为全区教师专业发展服务。
丁杭缨、朱国荣老师分别通过《小数的意义》这一课，为我们诠释了如何让学生在基础数学的学习过程中，触及数学本质的深处，更深切感受数学精神、思想和方法的魅力。同时，他们的教学不落俗套，特别是学生学习内容和方式的安排等诸多方面，更为我们展示了各自不同的教学主张，真可谓“和而不同，各美其美”。
一、条条大路通罗马
在围绕核心知识“小数的意义”展开的教学活动中，丁杭缨老师和朱国荣老师教学的起点以及采用过程、方法等都有很大不同，但都取得了很好的教学效果。
丁老师在操作阶段引导学生观察、对比，了解一位小数、两位小数和三位小数，发现小数和十进分数密不可分，进而让学生借助十进分数，经历操作、观察、抽象、概括等活动，初步形成小数的概念。这样处理体现了小数联系整数和分数两个表征系统的作用，不仅仅考虑了小数的来龙去脉、自身结构以及与相关知识的纵横联系，更充分考虑了学生原有的认知结构，有利于学生建构完善的数学认知结构。
朱老师在规定了边长正好是10厘米的正方形纸用数“1”表示后，引导学生思考“0.1到底有多大”，并请每个学生都来分一分，涂一涂，表示出那么大小的一块。这样处理，就是让学生借助正方形，用不同的方式来表征0.1、0.01，具有一定的思维难度。学生能表征0.1、0.01 的前提是深刻理解这一小数的意义。朱老师这样处理教学，也正是由于他在课前充分研究了学生，在与学生访谈中了解到不少学生都能说出“0.1就是10份中的1份”，但尚未达到理解的水平。朱老师从具有挑战性的问题入手，通过包括“1”的确定、把“1”平均分成多少份等相关细节的安排，引导学生经历动手操作、自主探索、相互交流等数学活动，促进学生在解决这些问题的过程中，建立小数和与十进分数的本质联系。在此基础上，再让学生去认识三位小数、四位小数……学生就能达到从小数的意义去理解的层次了。
二、从动手操作走向心智活动
为帮助学生深刻理解基本数学概念，可先充分运用演示、操作、观察等直观手段，把基本概念的本质属性和普遍意义形象地展现出来，使学生在头脑中建立起这些内容的丰富表象；再组织学生进行分析、讨论，加深对这些概念的感性认识；最后对表象进一步加工，形成概念，从而实现对概念的深刻理解。丁老师、朱老师都注重引导学生经历从直观到抽象、概括的心理活动过程，实现“动作表征”、“直观表征”和“符号表征”的循序渐进发展。但他们的具体处理方式又不尽相同，为教学方式的多样性研究提供借鉴的典范。
丁老师在学生“看到0.3就想到十分之三”后，约定把一张长方形纸用“1”来表示，让学生画出“0.3”，这样处理是借助学生已有的对分数的认识，将小数的表征转化为分数的表征，这样学生的操作有了基础，小数和分数两个表征系统也建立了相关联系。接着，利用这些图形引发学生进行相关的分析、讨论，加深学生的感性认识。接下来，不断呈现数轴、线段、图形、硬币、米尺，提供和概念相关的变式，丰富学生的表象，促进学生“同一性”抽象的心智活动。学生在对象阶段，对三位小数、四位小数的学习，则是在此基础上的迁移和提升。
朱老师的设计意图则是给每一位学生创造“动手做”的机会，物化学生对知识的理解水平，进而以学生之间呈现出的差异为资源展开对话与交流，内化学生对知识的理解。朱老师在组织学生“用正方形纸表示出0.1的大小”时，先呈现较低水平的操作结果，再逐步呈现较高水平的操作结果，丰富学生反省抽象的过程，让不同水平的学生都得到尊重和发展，在不同表示结果的交流与比较过程中，学生借助图式，深刻而清晰地理解了一位小数的意义。于是，接下来在正方形纸上涂出“0.01”的教学环节就变得较为顺畅了。学生在百格图上创造一个分数的环节，生成了“涂30格，到底是0.30还是0.3”这样的问题，学生经过深入的讨论，得出“意义不同，大小相等”这么深刻的认识。在这里，学生的问题意识，以及提出问题、分析问题和解决问题的能力得到了很好的训练，真可谓“道法自然”。
三、以问题驱动，促进数学思考
从数学史来看，数学的发展史就是一个不断提出问题、分析问题和解决问题的过程。譬如，三次数学危机都是由某些数学问题引发的，在解决这些问题的过程中，数学自身都获得了空前的发展。在小数的意义教学中，丁老师、朱老师则是从各自不同维度，强化了以问题驱动，促进数学思考的重要意义。
朱老师表示，只有在遇到陌生的、富有挑战性的问题时，能够主动地尝试从意义出发进行分析，进而解决问题，这才是深刻理解概念的标志。朱老师在“认识一位小数”环节中设计了让学生“用一个正方形中表示出0.1那么大小的一块”这样的探究性问题，激发和调动学生的探究意识，启迪他们的思维，引导学生进行一些主动探究的相关活动。在“解释与应用”环节中，设计了“0.3时=（）分”这个具有挑战性的问题。朱老师给我们的启发是，只有具有挑战性、探究性的问题，才能引发学生的积极思维，才能反映出学生的学习状态与思维水平。
丁老师在“操作阶段”的教学中，抛出这样的问题“现在我们以0.3为例深入学习小数，看到0.3，你马上想到什么”。当学生回答“十分之三”后，丁老师追问：“小数和怎么样的分数密不可分，知道吗？”“什么叫做十进分数？”在丁老师一连串的启发性的追问下，学生明白了“小数和分数密不可分，小数是十进分数的另一种表现形式”。这样的处理，不断引发学生思考，使学生对小数意义的理解一步步逼近本质。在“概型阶段”的教学中，丁老师出示问题“小数的计数单位分别写做0.1、0.01、0.001……你能说清0.1、0.01、0.001之间的关系吗？”不仅巩固了学生对小数计数单位的十进关系的理解，也使得学生将小数与整数之间的结构特征建立了本质的联系。
丁老师、朱老师分别设计了让学生在纸片上表示一位小数和两位小数的问题，这样的处理打破了答案的唯一性。交流时，学生呈现的就是要表示的这个小数的若干个变式，使学生个体大脑中形成的相关表象更丰富，并对这些不同的表示形式做出“同一性”抽象，这就是概念初步形成的基础。丁老师问学生“你会拿1.3元吗？”、“与1.3元相对应的图应该是哪幅呢？”，都是借助开放性的问题呈现出“同一小数的不同表征”，促进学生进一步理解小数的本质。朱老师让学生在百格图上涂一涂，创造出一个小数，产生了0.30和0.3“意义不同，大小相等”的精彩生成过程。
总体上讲，两位名师的课各有特色，丁老师的教学课前充分预设，思考周全，课堂提问循循善诱具有启发性，学生学得扎实有效；朱老师注重学生自主探究，通过抛出几个富有挑战性的问题引领学生对核心知识展开探索。他们都重视让学生形成完善的数学认知结构，触及数学的本质，感受数学的精神、思想和方法。他们都力求让学生在学习有限知识的过程中，探索认识无限世界之本领。