借助于多种直观模型理解分数的含义

在小学阶段主要学习“行为的分数”，教材中往往以学生熟悉的日常事物与活动为模型，建立分数的概念，例如把一个月饼平均分为两份，其中的一份是个，或者其中一份占整个月饼的，把一张纸平均分为为四份其中的一份是张纸，或其中一份占这张纸的，这是从“面积模型”的角度来理解分数，学生理解分数可以借助于多种“模型”。

1.分数的面积模型：用面积的“部分—整体”表示分数

儿童最早接触分数概念及其术语可能与“空间”有关，而且更多的是“3 维”的，而不是“2 维”的，例如半杯牛奶、半个苹果、……

儿童最早是通过“部分—整体”来认识分数，因此在教材中分数概念的引入是通过“平均分”某个“正方形”或者“圆”，其中的一份或几份（涂上“阴影”）认识分数，这些直观模型即为分数的“面积模型”。

对于“平均分”，儿童有丰富的经验。皮亚杰等的实验发现：一些学生能成功地把纸张或扁平泥块通过“对折”进行“剪切”或“切割”，例如：

4～4岁半的儿童能把小的正规图形分成两半；

6～7岁的儿童能把小的正规图形进行三分；

7～9岁的儿童能把小的正规图形能通过试错进行六分；

10岁的儿童能把小的正规图形较精确的进行六分，如先对半分，再三分。

儿童的这些丰富的经验为他们从“部分—整体”的角度认识分数打下了坚实的基础。

2.分数的集合模型：用集合的“子集—全集”来表示分数

这也是“部分—整体”的一种形式，与分数的面积模型联系密切，甚至几乎没有区别，但学生在理解上难度更大，关键是“单位1”不再真正是“1个整体”，而是把几个物体看作“1个整体”，作为一个“单位”，所取的“一份”也不是“一个”，可能是“几个”作为“一份”，例如，在下图中，“蓝色长条”占全部“长条”的。分数的集合模型需要学生有更高程度的抽象能力，其核心是把“多个”看作“整体1”。

有研究者认为：学生对离散的集合的“部分—整体”的理解，不如对“面积”模型的理解，但随着学生年龄的增长，认知水平的提高，这种差别并不明显。

分数的集合模型的缺点仍然是容易对“假分数”（improper）产生误解，这与面积模型的问题完全一样：谁作为“整体1”，这既是认识分数的一个核心，同时也是一个难点。J.Martin总结出“整体1”可以分为以下六种情况（以为例）：

（1）1个物体，例如一个“圆形”，平均分为 5 份，取其中的 1 份；

（2）5个物体，例如“5块糖”，其中的“1块”占“5块”的；

（3）5个以上但是 5 的倍数，例如“15 块糖”，平均分为 5 份，取其中的1 份；

（4）比 1个多但比 5个少，例如，“2 条巧克力”作为“整体”；

（5）比 5个多但不能被 5 整除，例如，“7 根香蕉”作为“整体”；

（6）一个单独物体的一部分的，例如，一米的的。

上述六种情况不可能让学生同时学习，但学生逐步地经历这些“情境”对学习分数是非常必要的，尤其是（1）（2）（3）这三种情境。（4）（5）两种情境对于学生进一步理解“分数”与“除法”的关系非常必要，情境（6）对于学生理解分数乘分数则是很好的“模型”。

3.分数的“数线模型”：数线上的点表示分数

分数的“数线模型”就是用“数线”上的点表示分数。它把分数化归为抽象的数，而不是具体的事物，对这个模型的理解需要学生更高水平的抽象能力，甚至有的初中学生对用“分数”表示点仍然感到困难。

分数的“数线模型”与分数的“面积模型”有着密切的联系：一个分数可以表示“单位面积”的“一部分”，也可表示“单位长度”的“一部分”，前者是二维的，后者是一维的。

“数线模型”是“数轴”的前身，是数轴的“局部放大”和“特殊化”，是用“点”来刻画“分数”。

4.分数与“除法”“比”的关系

对分数的另一种理解是把分数与除法联系起来：，被解释为7个人平均分3个东西。分数是除法运算的结果，但事实上，小学生对此并不理解，其典型表现就是在解决实际问题或者解方程时，当结果为“分数”时，有很多学生认为“还没有计算完”，一直要把分数再化为小数为止。

分数与除法的互相转化有重要的应用：把分数化为小数或百分数。

当刻画两个量的数量关系时，我们经常用“比”，例如A与B的点数之比是3∶5，也可以记作，其比值则是3除以5的结果即为，小学生更习惯于写作“0.6”。

根据上述分析，可以看出我们对分数的理解可以从多个角度，借助于多个直观模型，其抽象水平越来越高，因此在分数的教学设计时要注意：

1.提供多样的模型：提供多种不同的“实物模型”，在“分割”中使儿童逐步体验分数的解释的多样性与表示法的多样性。

2.把握抽象水平：精心设计，精心的控制，逐步提升儿童在抽象的水平上理解分数。

分数的每一种解释都与某一特殊的认知结构有关，如果忽略了其中某一必要的认知结构，可能导致儿童缺乏关于分数某些方面的理解，有的儿童可能对于日常生活中分数某些应用有很好的理解，但换一种情境就感到困难。例如，一方面，他们能把3 米长的木条等分成 5 段，并取其中三段，每段为 60cm。但他们却不理解：3÷5＝0.6.

3.学生对分数的抽象理解过早或过晚都不利于学生的发展。学生对分数的不同理解存在显著的个体差异，有些学生很早就能在抽象水平理解分数，而另一些则需要等待很长的时间。

为此，一开始就要利用不同的实物模型，从平均分中，帮助学生体验分数含义的多重性，体验分数含义的复杂性。