“异分母分数加、减法”教学研究

学生学习的过程是新的学习内容与学生原有认知结构相互作用，形成新的认知结构的过程。学生原有的认知结构是有意义学习的前提和基础。实施结构化教学需要了解学生认知结构的发展状况，从建构学生良好认知结构的角度出发，选择适当的教学策略，设计有效的教学活动。下面以“异分母分数加、减法”一课为例，谈谈结构化教学实施中的一些做法与体会。

（一）研读教材，把握知识结构

教材中的数学知识结构在内容上都是相对系统、完备、无缺口的，结构本身就涵盖了它的全部组成内容。“分数的加法和减法”安排在五年级下册第五单元，是在第四单元“分数的意义和性质”后紧接着安排学习的。学习“异分母分数加、减法”之前，有必要了解一下有关分数知识的整体结构，把握知识发展的线索，从中厘清学生的学习过程。

1．梳理分数知识体系。

苏教版教材从三年级上册开始安排有关分数教学的内容，包括“一个物体（图形）的几分之一”“比较两个几分之一的大小”“一个物体（图形）的几分之几”“比较两个同分母分数的大小”“同分母分数的加法和减法”，学生对分数的意义有了较深刻的体会，能比较几个同分母或同分子分数的大小，初步理解了同分母分数加、减法的算理，懂得如何进行同分母分数的加、减计算。

三年级下册主要教学用适当的分数表示整体的几分之一或几分之几和求整体的几分之一或几分之几是多少。

五年级下册安排两个单元教学分数知识，其中“分数的意义和性质”单元教学了“分数的意义和分数单位”“分数与除法的关系”“真分数和假分数”“假分数化成整数或带分数”“分数和小数的相互改写”“分数的基本性质”“约分”“通分”“比较分数的大小”。“异分母分数加、减法”单元主要教学“异分母分数的加法和减法”“整数加法运算律、减法性质在分数加、减法里的应用”。

六年级上册安排四个单元教学“分数乘法”“分数除法”“分数四则混合运算”以及“百分数”。

2．分析学生既有经验。

从明线（知识线）分析，异分母分数加、减法是以同分母分数加、减法，分数的意义，分数单位，分数的基本性质，通分，约分，分数与整数互化，分数与小数互化等作为知识基础展开学习的，学习这部分知识为解决简单的分数实际问题，学习分数乘、除法，分数四则混合运算以及百分数的相关问题做好了铺垫。

从暗线（思想方法）分析，异分母分数加、减法主要应用通分的方法将异分母分数转化为同分母分数，再按照同分母分数的加、减法进行计算。

转化是异分母分数加、减法计算的重要依据，是数学学习的重要方法，也是重要的数学思想。本节课的学习不仅要让学生理解转化思想，掌握化异为同的方法，还要理解为什么可以应用转化思想，因此必须让学生对分数意义、分数单位、分数基本性质有深刻的理解。转化的依据是“等值”，分数的计数单位发生改变，而大小不变；转化的目的是化难为易，让新知与旧知发生联系，将新的问题纳入旧的经验系统，从而达到顺利解决新问题的目的。

梳理教材知识网络不难发现，转化的思想方法在数学学习中学生已经有过多次接触。如图形与几何领域，将平行四边形转化为长方形、三角形转化为平行四边形、梯形转化为平行四边形来推导面积计算公式，将不规则图形通过平移、旋转、割补转化成规则图形求面积。数与代数领域，小数乘法转化为整数乘法，除数是小数的除法转化为除数是整数的除法；运算律学习后，应用乘、除法性质，运算律将复杂的运算转化为简单的运算等。转化在数学学习中发挥着重要的作用，虽然转化还未上升到策略层面，但学生在遇到新的、难的问题时，已经能自觉或不自觉地运用转化思想去探索解决问题的途径，尝试解决问题。

（二）精心组织，设计教的结构

1．数形结合，找准关键起点。

新知识的获得总是在已有的认知结构的基础上进行的，学生头脑中已有的知识经验所能提供的联系和线索越多，越容易同化新知识。激活学生已有的知识经验，让学生通过积极的思维活动把新知识与已有的知识经验联系起来，这是构建认知结构的基本前提。异分母分数加、减法最关键的知识基础便是同分母分数加、减法以及分数的意义，分数单位，应用分数的基本性质进行通分、约分，本节课有必要唤醒学生的这些既有知识经验，让学生应用经验顺势进行新知识的学习，而图形能为抽象的数提供直观、形象的图示支撑，加快学生的思维进程。因此，课始，教师出示一组八个图形，让学生用分数表示每个图形的涂色部分，并指一两个分数让学生说说分数所表示的意义，分数单位是什么以及有几个这样的分数单位。

接着讨论将其中两个图形的涂色部分合并，哪两个合并比较合适。我们知道，加法是“完全一致的事物的重复或累计”，也就是说，加法是将两个相同意义的量相加。这个问题的提出是为了让学生应用分数的意义做出解释，得出单位“1”相同的两个分数可以合并。

再引导学生将根据合并图形的过程写出的四道加法算式分类，比较发现分数加、减法不仅有同分母分数相加、减，还会有异分母分数相加、减，在回顾同分母分数相加的计算方法时让学生解释为什么“分母不变分子相加”，强调相同的分数单位才能直接相加、减；在复习旧知、激活经验的同时制造冲突，要理解“不同的分数单位无法直接相加、减”，势必需要探寻方法以解决新问题，从而使学生将关注点自觉投向对异分母分数加、减法的探究活动中。

2．由浅入深，把握流程节点。

（1）创设情境，自主探究方法。课件出示例题情境，让学生读题、审题后利用已有的知识经验尝试解决问题。指名学生汇报后，比较折纸、画图、通分的方法，沟通联系：无论是折纸还是画图，都是把长方形试验田先平均分成2份，取其中的1份，再把它平均分成2份，取其中的1份，这时1个就被转化成了2个，也就是。折纸、画图和通分是相通的，都是为了将转化成。最后比较化成小数计算方法与其他方法之间的联系，得出无论用哪种方法，都是把新知识转化成旧知识，方便我们解决实际问题。

（2）讨论交流，提炼优化方法。出示合并图形得到的两道加法算式：、，讨论用哪种方法解决更方便、快捷。通过讨论，让学生发现画图或折纸的方法比较麻烦，而化成小数计算又会遇到除不尽的情况，因此还是将异分母分数转化为同分母分数再相加更实用。全班交流，配合图示理解用通分进行计算的算理与算法。

（3）有效同化，迁移整合方法。在学习知识的过程中，同化意味着把新知识整合到一个正在形成或已经形成的结构中。学生已经学会用通分的方法将异分母分数转化为同分母分数，再依据同分母分数加法的计算方法进行计算，而异分母分数的减法只需要将异分母分数加法的经验有效迁移。所以教师出示“试一试”中两道题，让学生独立计算，再说说为什么要这样计算，整合方法，丰富了学生的经验体系。

（4）回顾小结，发展元认知能力。美国心理学家佛拉维尔给元认知下了定义：元认知是一个人所具有的关于自己思维活动和学习活动的认知和监控，其核心是对认知的认知。

学生对知识进行系统整理的过程，是一个积极主动的再学习的过程，是从整体上去思考、掌握知识的内在联系，并对学习活动进行反思、调控和优化的过程，对于提高学生知识的概括化水平，培养学生的元认知能力具有非常重要的作用。

教师抛出问题：“你掌握异分母分数加、减法的计算方法了吗？你觉得计算异分母分数加、减法时要注意些什么？”引导学生回顾探究计算方法的过程，提炼异分母分数加、减法的计算方法——计算异分母分数加、减法时，要先通分，再按同分母分数加、减法进行计算，并对计算结果的表达形式做出提醒——计算的结果能约分的要约成最简分数以及对计算结果的正确性做出检验。

3．比较提炼，理清知识结点。

系统论指出，任何系统的整体功能等于各部分的功能之和加上各部分相互联系而形成的结构功能。在各部分功能不变的情况下，整体功能的大小取决于各个部分的联系。

（1）综合练习，形成技能。教师将教材提供的习题进行合理的取舍、整合，采用教材第80页“练一练”第1题，第82页“练习十二”第1题并增加了两道填括号的练习，练习层次分明，由浅入深，不断引发学生的思维向纵深发展，既发展了学生的基本计算技能，又培养了学生良好的数感，更加强化了转化思想在异分母分数加、减法中的应用，使学生体会转化思想的价值。

（2）自主总结，促进联结。围绕核心内容将所学的知识进行综合概括，不仅整理知识，也整理方法，同时让学生说说转化的方法在以前的学习中是否应用过，以转化思想为纽带，将不同领域知识相互联结，形成知识技能结构。

（3）沟通联系，逼近本质。异分母分数加、减法属于分数加、减法范畴，而分数加、减法与整数加、减法，小数加、减法同属于加法系统。沟通整数加、减法，分数加、减法，小数加、减法之间的联系，不仅可以使学生深入理解异分母分数加、减法的算理（分数加、减法与整数加、减法，小数加、减法在算理上是相通的，都是相同计数单位的个数相加、减，只不过分数的计数单位在不断变化中，如的计数单位是,的计数单位是，通分正是为了统一计数单位再相加）也可以使学生将孤立的知识点纳入完备的知识系统中，构建完善的认知结构。

（4）拓展延伸，发展思维。让学生探究“两个异分母分数相加和是，有哪些填法？”沟通同分母分数与异分母分数之间的联系。本节课中，学生的思考过程一直都是由异到同，而这道题却要让学生由同到异，先找哪些同分母分数相加和是，再通过约分得到符合要求的异分母分数，并鼓励学生得到不同的填法，培养学生的发散思维。

（三）了解学生，引导结构地学

学习是学习者主动建构内部心理表征的过程，它不仅包括结构性的知识，而且包括大量的非结构性的经验背景，设计教的结构正是为了引导学生结构地学。

数学知识有着很强的系统性，很多新知识往往是旧知识的引申、发展和综合，而学生的认知活动也总是以自身已有知识和经验为前提。教师要根据知识间的内在联系，找准新旧知识的联结点，并以此为突破口，引导学生利用知识的迁移规律主动地获取知识，这就是学习方法上的转化。

1．直观图示，理解算理算法。

学生的思维发展正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，在学生学习新知识的过程中，通过直观图示可以使学生对所认知的事物形成清晰的表象，正确理解所学知识，发展认知能力。

本节课共出现四次图示。课始，让学生用分数表示图形的涂色部分，并解释分数所表示的意义、分数单位以及有几个这样的分数单位；再让学生说说哪两个图形的涂色部分合并比较合适，使学生从经验系统中有效地提取了本节课新知识学习所需要的经验，也帮助学生再一次理解同分母分数加、减法的算理，为学习异分母分数加、减法做好铺垫。

第二次，提供长方形纸和学习单上的长方形，让学生自主探究，寻找的计算方法，通过折纸、画图将抽象的通分与直观的图示建立联系，使学生轻松找到解决办法，理解这样算的道理。

第三次，在例题学习后以图示解释了,的算理，强化了算法。

第四次，则是放手让学生涂色并计算，通过在一个八等分的圆中涂，再次建立和的等值联系。

2．充分放手，自主探寻优化方法。

对新知识的学习，教师通过准备充分的素材，设计层次分明的流程，充分放手让学生去探究，自主获得计算方法，并在多次观察比较中，分析不同算法之间的异同，沟通不同算法间的本质联系，引导学生优化算法，自主建构计算模型。

（1）由操作探究的计算方法。

（2）由比较优化、的计算方法。

（3）由迁移获得异分母分数减法的计算方法。

（4）由回顾整理计算过程、方法及注意点，形成异分母分数加、减法的计算模型。

3．由点发散，实现知识的联结。

（1）以知识为载体，沟通整数加、减法，分数加、减法，小数加、减法的联系。异分母分数加、减法之所以通分后再计算，本质在于“计数单位相同才能直接相加、减”，教师提供整数加、减法，小数加、减法教材图让学生观察比较，也正是为了让学生理解这个数学本质，从而用一根纽带将整数加、减法，分数加、减法，小数加、减法联结起来。

（2）以思想为准绳，将不同领域知识关联。转化思想在数学不同知识领域都发挥着重要的作用，让学生说说在以前的学习中哪些地方应用过转化，分别是怎么转化的，通过转化思想让学生将不同领域的知识点不断整合、关联，可以帮助学生形成组织有序、层次分明的知识系统，实现知识结构的整体化，使知识能够迅速、准确地被提取出来，培养思维的灵活性与变通性。

总之，学生学习的目的不仅是理解并记住教材内容，更是要建立完善的认知结构。教学中，教师要通过把握知识结构、设计教的结构、引导结构地学，让学生真正参与到建立数学知识体系的过程中。