验证猜想，提升认识——“乘法交换律”的教学

执教：浙江嘉兴市学科带头人 沈燕锋

1.质疑引题

师：加法中有交换律，同学们猜猜其他哪些运算中也可能有交换律呢？

生：减法中可能有。

生：减法中没有，比如，3-2=1，可是2-3就不够减了。

生：乘法中也可能有。

生：除法中可能有，比如，8÷8=8÷8。

……

2.共同探究，验证定律

师：那么，这些运算中到底有没有交换律呢？我们4人小组可以一起讨论。（生讨论）经过讨论，你们认为这些运算中有没有交换律呢？

生：我们组认为除法中有交换律，比如，5÷5和5÷5，它们结果相同，等式成立，所以我们组认为除法中有交换律。

生：我们组也认为除法中有交换律，比如，2÷2=2÷2，4÷4=4÷4。

师：其他组的同学也这样认为吗？

生：我们组认为除法中没有交换律，比如，8÷4和4÷8，等式就不成立了，所以我们组认为除法中没有交换律。（师板书学生举的例子）

师：为什么不成立呢？你能举个例子来说明吗？

生：8÷4=2，而4÷8不知道等于多少。

生：4÷8要用分数表示。

师：呀，你真聪明，知道用分数表示。我给大家举个例子，买来8个苹果分给4个同学，每人得几个？如果我买来4个苹果分给8个同学，每人又得几个呢？

生：每人只得半个了。

师：那你们说这个等式成立吗？

生：不成立。

师：那么，你们认为除法中有没有交换律？

生：没有。

师：（小结）像2÷2=2÷2，4÷4=4÷4这些是特例，我们寻找规律不能只看一个例子，而要通过大量的、普遍的事例来验证，这样才能得出可信的规律。

师：那么，减法中有没有交换律呢？

生：没有，因为6-5和5-6等式不成立。

生：我们也认为没有，减法和除法的道理是一样的。虽然7-7=7-7，但是存在像5-3不等于3-5这样的算式，所以减法中没有交换律。

师：那乘法中到底有没有交换律呢？

生：我们认为乘法中有交换律，如2×3=3×2等式成立。

生：我们也认为乘法中有交换律，如8×6=6×8等式成立。

生：我们也认为乘法中有交换律，如11×2=2×11等式成立。

师：你们还能举一些这样的例子吗？

生：125×23等于23×125。

生：451×234等于234×451。

生：760×122等于122×760。

……

师：你们为什么认为等式成立呢？

生：因为因数不变。

师：因数不变，但是它们的结果是不是也相等呢？这样好不好，坐在左边的同学算等号左边，坐在右边的同学算等号右边，看一看他们的结果如何？

师：同桌校对，你们发现了什么？

生：它们的答案相同。

师：因数复杂的算式中交换位置后结果也是相等的。（板书，等号）

师：那么，你们能不能举出一个交换因数位置后积不相等的例子？

生：无法举。

师：通过上面大量的验证后，你们认为乘法中有没有交换律呢？

生：有。

师：乘法中确实存在交换律，今天，我们就一起来研究乘法交换律。（出示课题）

师：那么，你们能再举几个乘法交换律的例子吗？（生踊跃举例）

师：这样的例子举得完吗？

生：举不完。

师：举不完怎么办呢？

生：用省略号。

生：用“等等”。

生：用字母。

师：怎样表示呢？

生：a×b=b×a。

（师板书：a×b=b×a）

师：这个等式表示什么意思呢？谁能根据这个等式用一句话把乘法交换律概括出来呢？（板书：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变，这就是乘法交换律……）

【感悟启发】本堂课打破了传统的课堂教学结构，注重培养学生的创新意识和实践能力。从学生熟悉的加法交换律入手，让学生猜测“乘法、除法、减法中有没有交换律”，从而激发他们的学习兴趣和探索欲望。在整个教学过程中，教师打破封闭式的教学过程，不把提高计算能力作为重点，而是注重学生对乘法交换律的理解，使其学会一种数学思想，构建“问题——探索——应用”的学习过程，鼓励学生根据自己的“数学现实”，通过举例、验证，亲历了探索“乘法、除法、减法中有没有交换律”和“乘法交换律是怎样的”这两个数学问题的解决过程，提高了学生数学思考的能力，并使学生从中体验了成功解决数学问题的喜悦的情感。教师在引出乘法交换律后，又把重点放在引导学生发现并用数学语言表述数学规律上，使学生的认识由感性上升到理性。

【小结】在有关“运算律”内容的教学中，要注意以下几点：

1.注重教学目标的整合

根据时代的发展和要求，数学教学的价值目标取向不仅仅局限于让学生获得基本的数学知识和技能，更重要的是在数学教学活动中，了解数学的价值，增强数学的应用意识，获得数学的基本思想方法，经历问题解决的过程。教师在教学中要处理好知识性目标和发展性目标平衡与和谐的整合，使学生在获得知识的过程中促进发展，在发展过程中落实知识。在“交换律”这节课中，教师在目标领域中设置了过程性目标，不仅和学生研究了“交换律”是什么，更重要的是让学生体验了数学问题的产生和如何解决问题。

2.注重教学内容的现实性

（1）从学生熟悉的情境和已有的知识出发，这是提高课堂有效性的基础。对学生学习起点的正确估计是设计适合每个学生自立学习的教学过程的基本点，它直接影响新知识的学习程度。加法交换律和乘法交换律在小学数学教材中分别安排在第七册和第八册，而在过去的学习中，学生对加法和乘法交换律已有大量的感性认识，并能运用交换加数（因数）的位置来验算，所以在教学中，教师应把重点放在引导学生发现并用数学语言表述数学规律和总结怎样获得规律的方法上，使学生的认识由感性上升到理性。

（2）找到生活的原型。加法交换律和乘法交换律的实质是加数（因数）交换位置，结果不变，这种数学思想在生活中到处存在。这两节课教师首先引导学生用辨证的眼光观察身边的现象，渗透变与不变的辩证唯物主义的观点。然后利用生活中的实例，同桌两位同学交换位置，结果不变，进而引导学生产生疑问——这种交换位置结果不变的现象在数学中有没有呢？你能举出一个或几个例子来说明吗？这样利用捕捉到的“生活现象”引入新知，使学生对数学有一种亲近感，感到数学与生活同在，并不神秘，同时也激起学生探索的兴趣。

（3）改进材料的呈现方式。教材只是提供了教学的基本内容、基本思路，教师应在尊重教材的基础上，根据学生的实际对教材内容进行有目的的选择、补充和调整。这两节课在处理教学材料时，改变了把课本当作“圣经”的现象，让学生参与教学材料的提供与组织，给学生创设了一个创新和实践的环境，既激发了学生的学习动机和探究欲望，又使学生获得了成功的体验。