巧问：以提问相机诱导
对学生难以理解的问题，需要疏导或提示时，在关键处发问，循序渐进地达到理解知识和解决问题的目的。叶圣陶先生认为：“教师之教，不在全盘授与，而贵在相机诱导。”诱导之法便是提问与指点。提问要有启发性，“必令学生运其才智，勤其练习，领悟之源广开，纯熟之功弥深”。对一些繁难复杂的问题，教师必须循循善诱、由近及远、由难及易、顺藤摸瓜，优化提问的切入点，逐步抓住问题的实质。要做到这一点就必须在提问中化整为零，多层设问，在解决一个个小问题的基础上深入到问题的中心，做到以问为导、以导代讲。
课堂案例1
“乘法分配律”教学片段
（执教：潘小明）
师：同学们，我们已经学习了乘法的交换律和结合律。今天，希望同学们能探究发现乘法的又一个新知识。（电脑出示课件）
师：买3套这样的儿童服装应付多少钱呢？你能用几种方法解答？请列式计算。
（学生各自独立计算，不一会儿，纷纷举手）
生：我先算出一套服装的价钱，再求出三套的价钱，算式是：（5+4）×3。
师：（结合学生回答进行板书，并故意地——）你列的算式里共有几个括号？
生：这样说吧，5与4的和乘以3，得数是27。买3套服装应付27元。我的另一种方法是：先分别算出三件上衣和三条裙子的价钱，再算出三套服装的总价钱。算式是5乘以3的积加上4乘以3的积。[结合学生回，答教师板书：（5+4）×3；5×3+4×3]
生：我的方法是：5+5+5+4+4+4=27。
生：我的方法是：5+4+5+4+5+4=27。
生：我觉得这两个同学的想法与前面同学的两种想法是一致的。但是，上面的算式比较简单。（众生点头以示同意）
（电脑出示：小强摆木块，每行摆6个绿木块，8个红木块，共摆了4行）
师：小强一共摆了多少个木块？你能用几种方法解答？
[学生各自列式计算，并很快说出两种不同的思考方法和算式，结合学生回答，教师接着上题板书如下：（6+8）×4；6×4+8×4]
（这里，教师直接提出“你能用几种方法解答”，其目的是让学生在经历了两种不同思考方法的计算后，便于学生发现新的知识规律；同时，产生这样一种体验，乘法分配律的知识存在于实际问题的解决中）
师：从上面的算式中你有没有发现什么规律？
（学生注视着黑板上的算式，在寻找着其中的规律，渐渐地，一些学生举起了手，有些学生开始有些激动，急着与周围的同伴说起了悄悄话……此时，教师没有急于指名学生个别回答，而是——）
师（惊奇地）：你们真的发现了这些算式中隐含着的规律，请与你的同桌交流一下，好吗？
（教室里的气氛一下子热烈起来了，同学之间指点着、交流着，一些心急的同学忍不住又高举着小手）
师：从大家的神态和面部表情中，老师知道你们一定觉得自己发现了什么规律。同学们，你们发现了什么，我能猜到。不过，你们所看到的也许只是一种偶然现象，是一种猜想而已。你们能再举些例子对自己的猜想进行验证吗？
（同学们认真地在本子上任意地写着算式，进行着计算，很快地举起了手，积极地汇报自己验证的结果）
生：（8+3）×4=8×4+3×4。
生：（5+1）×3=5×3+1×3。
生：（1+9）×5=1×5+9×5。
生：我觉得不一定对的。我也举了例子，（1+1）×7≠7+1×7
（该生的回答，引起了轩然大波，许多学生问道：左边算式的答数是几？右边算式的答数是几？这两个算式你说不相等吗？通过这个小小的计算失误，同学们更加坚定了自己的发现是正确的）
师：从同学们举的大量的例子中，可以确定你们的发现是正确的。
生：老师，虽然举了许多例子，可万一还是碰巧，怎么办？
（该生的这一提问，还引来了一些学生的赞同：“是呀，万一还是碰巧呢？”教师被这意外的“一问”问住了，稍后——）
师：会有这种“万一”吗？你能举出一个反例吗？
（教师的反问，引起同学们的深入思考……）
生：不可能有反例出现。以“（8+3）×4=8×4+3×4”为例吧，左边算式括号里算得11，表示有11个4，右边算式的“8×4”表示有8个4，“3×4”表示有3个4，加起来共有11个4。等号两边的算式形式不同，但它们的意思是相同的，都表示11个4，所以是相等的。其他的式子，道理是一样的。
师：同学们还有不同意见吗？
（众生摇头，以示没有意见）
师：你们发现的这个知识规律，叫做乘法分配律。什么叫乘法分配律？请同桌再交流一下。
（学生积极地与同桌交流着，又踊跃地参加集体交流）
生：把括号里的两个数加起来后乘以一个数，等于把括号里的两个数都去乘以一个数，再把乘出来的积加起来。
生：乘法分配律是：左边把两个数加起来乘以乘数，等于括号里的一个加数乘以乘数加上括号里的另一个加数乘以乘数。
师：你们想表达的是这样的意思吗？（教师板书：两个数的和与一个数相乘，可以用两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，结果不变）
师：这叫做乘法分配律。能用字母来表示乘法分配律吗？[结合学生回答，教师板书：（a+b）×c=a×c+b×c]
师：对于乘法分配律，用字母来表示，感觉怎样——（稍等）简洁、明了。这就是数学的美。
师：请运用乘法运算定律，回答下面各题：
①（32+25）×4=□×4+□×4
②（64+12）×3=□×□+□×□
③25×（4+9）=□×□+□×□
④75×64=□×□+□×□
（前面三题，学生很快根据乘法分配律正确地填数；由于第④题是开放的，有的把75写成两个加数的和再乘64的形式，也有的将64拆成两个加数的和再乘75的形式等，再运用乘法分配律进行填数）
师：选择。请用手势表示正确答案的编号，与25×（4×8）相等的算式是（）：
①25×4+25×8 ②25×4×25×8 ③25×4×8
（全班学生中有一位选①，三位选②，其余都选③；通过辨析，学生更加清楚乘法分配律的内涵及与乘法结合律的区别）
教学延伸
对于乘法分配律的教学，教师并没有把重点放在数学语言的表达上，也没有反复地进行所谓的严格、准确和简明的表述，而是把重点放在让学生通过多种方法的计算去完整地感知，对所列算式进行观察、比较和归纳，大胆提出自己的猜想并举例进行验证。只有经过这样的探究活动，学生才会真正有所体验，才能建构自己有意义的知识，用语言表达乘法分配律也就水到渠成。
在整个探究发现乘法分配律的过程中，教师没有采用简单的一问一答的方式，把知识规律展示给学生，而是适时地给出一组问题：“从上面的算式中，你有没有发现什么规律？”“请与你的同桌交流一下，好吗？”“不过，你们所看到的也许只是一种偶然现象，能再举些例子进行验证吗？”让学生积极地动手实践、自主探索及与同伴进行交流，亲历观察、归纳、猜测、验证、推理等探究发现的全过程，学生不仅发现了乘法分配律的知识，而且学习了科学探究的方法，数学的思维能力得到了发展。
课堂案例2
“交换律”教学片段
（执教：张齐华）
片段一：一个例子，究竟能说明什么？
师：喜欢听故事吗？
生：喜欢。
师：那就给大家讲一个“朝三暮四”的故事吧。（故事略）听完故事，你们想说些什么？
（结合学生发言，教师板书：3+4=4+3）
师：观察这一等式，你有什么发现？
生1：我发现，交换两个加数的位置，和不变。
（教师板书这句话）
师：其他同学呢？（见没有补充）老师的发现和他很相似，但略有不同。（教师随即出示：交换3和4的位置，和不变）比较我们俩给出的结论，你想说些什么？
生2：我觉得老师给出的结论只代表了一个特例，但他（生1）给出的结论能代表许多情况。
生3：我也同意他（生2）的观点，但我觉得单就黑板上的这一个式子，就得出“交换两个加数的位置，和不变”好像不太好。万一其他两个数相加的时候，交换它们的位置，和不等呢？我还是觉得您的观点更准确、更科学一些。
师：的确，仅凭一个特例就得出“交换两个加数的位置和不变”这样的结论，似乎草率了点。但我们不妨把这一结论当做一个猜想（教师随即将生1给出的结论中的“。”改为“？”）。既然是猜想，那么我们还得——
生：验证。
片段二：验证猜想，需要怎样的例子？
师：怎么验证呢？
生1：我觉得可以再举一些这样的例子。
师：怎样的例子，能否具体说说？
生1：比如再列一些加法算式，然后交换加数的位置，看看和是不是跟原来一样。（学生普遍认可这一想法）
师：那你们觉得需要举多少个这样的例子呢？
生2：五六个吧。
生3：至少要十个以上。
生4：我觉得应该举无数个例子才行。不然，你永远没有说服力。万一你没有举到的例子中，正好有一个加法算式，交换他们的位置和变了呢？（有人点头赞同）
生5：我反对！举无数个例子是不可能的，那得举到什么时候才好？如果每次验证都需要这样的话，那我们永远都别想得到结论！
师：我个人赞同你（生5）的观点，但觉得他（生4）的想法也有一定道理。综合两人的观点，我觉得是不是可以这样，我们每人都来举三四个例子，全班合起来那就多了。同时大家也留心一下，看能不能找到“交换加数位置，和发生变化”的情况，如果有及时告诉大家，行吗？
（学生一致赞同，随后在作业纸上尝试举例）
师：正式交流前，老师想给大家展示同学们在刚才举例过程中出现的两种不同的情况。
（教师展示如下两种情况：
①先写出12+23和23+12，计算后，再在两个算式之间添上“=”；
②不计算，直接从左往右依次写下“12+23=23+12”）
师：比较两种举例的情况，想说些什么？
生6：我觉得第二种情况根本不能算举例。他连算都没算，就直接将等号写上去了。这叫不负责任。（生笑）
生7：我觉得举例的目的就是为了看看交换两个加数的位置和到底变不变，但这位同学只是照样子写了一个等式而已，至于两边是不是相等，他想都没想。这样举例是不对的，不能验证我们的猜想。
（大家对生6、生7的发言表示赞同）
师：哪些同学是这样举例的，能举手示意一下吗？
（几位同学不好意思地举起了手）
师：明白问题出在哪儿了吗？（生点头）为验证猜想，举例可不能乱举。这样，再给你们几位一次补救的机会，迅速看看你们写出的算式，左右两边是不是真的相等。
师：其余同学，你们举了哪些例子，又有怎样的发现？
生8：我举了三个例子，7+8=8+7，2+9=9+2，4+7=7+4。从这些例子来看，交换两个加数的位置，和不变。
生9：我也举了三个例子，5+4=4+5，30+15=15+30，200+500=500+200。我也觉得，交换两个加数的位置，和不变。
（注：事实上，选生8、生9进行交流，是教师有意而为之）
师：两位同学举的例子略有不同，一个全是一位数加一位数，另一个则有一位数加一位数、两位数加两位数、三位数加三位数。比较而言，你更欣赏谁？
生10：我更欣赏第一位同学，他举的例子很简单，一看就明白。
生11：我不同意。如果举的例子都是一位数加一位数，那么我们最多只能说，交换两个一位数加数的位置，和不变。至于加数是两位数、三位数、四位数等，就不知道了。我更喜欢第二位同学的。
生12：我也更喜欢第二位同学的，她举的例子更全面。我觉得，举例就应该这样，要考虑到方方面面。
（多数学生表示赞同）
师：如果这样的话，那你们觉得下面这位同学的举例，又给了你哪些新的启迪？
（教师出示作业纸：0+8=8+0，6+21=21+6，
）
生13：我们在举例时，都没考虑到0的问题，但他考虑到了。
生14：他还举到了分数的例子，让我明白了，不但交换两个整数的位置和不变，交换两个分数的位置和也不变。
师：没错，因为我们不只是要说明“交换两个整数的位置和不变”，而是要说明交换——
生15：任意两个加数的位置和不变。
师：看来，举例验证猜想，还有不少的学问。现在，有了这么多例子，能得出“交换两个加数的位置，和不变”这个结论了吗？（学生均表示认同）有没有谁举例时发现了反面的例子，也就是交换两个加数位置，和变了？（学生摇头）这样看来，我们能验证刚才的猜想吗？
生（齐）：能。
（教师重新将“？”改成“。”，并补充成为：“在加法中，交换两个加数的位置和不变。”）
师：回顾刚才的学习，除了得到这一结论外，你还有什么其他收获？
生16：我发现，只举一两个例子，是没法验证某个猜想的，应该多举一些例子才行。
生17：举的例子尽可能不要雷同，最好能把各种情况都举到。
师：从“朝三暮四”的寓言中，我们得出“3+4=4+3”，进而形成猜想。随后，又通过举例，验证了猜想，得到了这一规律。该给这一规律起什么名称呢？
（学生交流后，教师揭示“加法交换律”，并板书）
师：在这一规律中，变化的是两个加数的——（板书：变）
生（齐）：位置。
师：但不变的是——
生（齐）：它们的和。（板书：不变）
师：原来，“变”和“不变”有时也能这样巧妙地结合在一起。
片段三：结论，是终点还是新的起点？
师：从个别特例中形成猜想，并举例验证，是一种获取结论的方法。但有时，从已有的结论中通过适当变换、联想，同样可以形成新的猜想，进而形成新的结论。比如（教师指读刚才的结论，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交换两个加数的位置，和不变。”那么，在——
生1：（似有所悟）减法中，交换两个数的位置，差会不会也不变呢？
（学生中随即有人作出回应：“不可能，差肯定会变。”）
师：不急于发表意见。这是他（生1）通过联想给出的猜想。
（教师随即板书：“猜想一：减法中，交换两个数的位置差不变？”）
生2：同样，乘法中，交换两个乘数的位置积会不会也不变？
（教师板书：“猜想二：乘法中，交换两个数的位置积不变？”）
生3：除法中，交换两个数的位置商会不变吗？
（教师板书：“猜想三：除法中，交换两个数的位置商不变？”）
师：通过联想，同学们由“加法”拓展到了减法、乘法和除法，这是一种很有价值的思考。除此以外，还能通过其他变换，形成不一样的新猜想吗？
生4：我在想，如果把加法交换律中“两个加数”换成“三个加数”“四个加数”或更多个加数，不知道和还会不会不变？
师：这是一个与众不同的、全新的猜想！如果猜想成立，它将大大丰富我们对“加法交换律”的认识。（教师板书“猜想四：在加法中，交换几个加数的位置，和不变？”）现在，同学们又有了不少新的猜想。这些猜想对吗？又该如何去验证呢？选择你最感兴趣的一个，用合适的方法试着进行验证。
（学生选择猜想，举例验证；教师参与，适当时给予必要的指导，然后全班交流）
师：哪些同学选择了“猜想一”，又是怎样验证的？
生5：我举了两个例子，结果发现8-6=2，但6-8 却不够减；
，但
却不够减。所以我认为，减法中交换两个数的位置差会变的，也就是减法中没有交换律。
师：根据他举的例子，你们觉得他得出的结论有道理吗？
生（齐）：有。
师：但老师举的例子中，交换两数位置，差明明没变嘛。你看，3-3=0，交换两数的位置后，3-3还是得0；还有，14-14=14-14，100-100=100-100，这样的例子多着呢。
生6：我反对，老师您举的例子都很特殊，如果被减数和减数不一样，那就不行了。
生7：我还有补充，我只举了一个例子，2-1≠1-2，我就没有继续往下再举例。
师：那又是为什么呢？
生7：因为我觉得，只要有一个例子不符合猜想，那猜想就肯定错了。
师：同学们怎么理解他的观点。
生8：我觉得他说的是对的。
生9：我突然发现，要想说明某个猜想是对的，我们必须举好多例子来证明，但要想说明某个猜想是错的，只要举出一个不符合的例子就可以了。
师：瞧，多深刻的认识！事实上，你们刚才所提到的符合猜想的例子，数学上我们就称做“正例”，至于不符合猜想的例子，数学上我们就称做——
生：反例。
师：关于其他几个猜想，你们又有怎样的发现？
生10：我研究的是乘法。通过举例，我发现乘法中交换两数的位置积也不变。
师：能给大家说说你举的例子吗？
生10：5×4=4×5，0×100=100×0，18×12=12×18。
（另有数名同学交流自己举的例子，都局限在整数范围内）
师：那你们都得出了怎样的结论？
生11：在乘法中，交换两数的位置积不变。
生12：我想补充。应该是，在整数乘法中，交换两数的位置积不变，这样说更保险一些。
师：你的思考很严密。在目前的学习范围内，我们暂且先得出这样的结论吧，等学完分数乘法、小数乘法后，再补充举些例子试试，到时候，我们再来完善这一结论，你们看行吗？
（对猜想三、四的讨论略）
（随后，教师引导学生选择完成教材中的部分习题，从正、反两面巩固对加法、乘法交换律的理解，并借助实际问题，沟通“交换律”与以往算法多样化之间的联系）
片段四：怎样的收获更有价值？
师：通过今天的学习，你有哪些收获？
生：我明白了，加法和乘法中有交换律，但却没有减法交换律或除法交换律。
生：我发现，有了猜想，还需要举许多例子来验证，这样得出的结论才准确。
生：我还发现，只要能举出一个反例，那我们就能肯定猜想是错误的。
生：举例验证时，例子应尽可能多，而且，应尽可能举一些特殊的例子，这样，得出的结论才更可靠。
师：只有一个例子，行吗？
生：不行，万一遇到特殊情况就不好了。
（作为补充，教师给学生介绍了如下故事：三位学者由伦敦去苏格兰参加会议，越过边境不久，发现了一只黑羊。“真有意思”，天文学家说，“苏格兰的羊都是黑的。”“不对吧。”物理学家说，“我们只能得出这样的结论：在苏格兰有一些羊是黑色的。”数学家马上接着说：“我觉得下面的结论可能更准确，那就是：在苏格兰，至少有一个地方，至少有一只羊，它是黑色的。”）
片段五：必要的拓展，让结论增殖！
师：在本课即将结束的时候，依然有一些问题需要留给大家进一步展开思考。
（教师出示如下算式：20-8-6○20-6-8；
60÷2÷3○60÷3÷2）
师：观察这两组算式，你发现什么变化了吗？
生：我发现，第一组算式中，两个减数交换了位置；第二组算式中，两个除数交换了位置。
师：交换两个减数或除数，结果又会怎样？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本课所掌握的方法，你能通过进一步的举例验证猜想并得出结论吗？这些结论和我们今天得出的结论有冲突吗，又该如何去认识？
教学延伸
教师要善于质疑无疑处，让学生在无疑处生疑是引导学生深入数学本质，把学生思维引向深入的重要方法，对于揭示知识的本质，拓宽思维广度和深度有着重要的作用和意义。仔细品味以上四个教学片段，每个环节里张老师都善于在学生的无疑处质疑，引导学生浅处深问，“无中生有”，通过教师智慧的一问，一石击起千层浪，活跃课堂气氛，更能激活学生思维，打破学生思维的定势，打开学生思维的阀门，收到意想不到的神奇效果。
在教学片段一中，当学生得出结论“交换两个加数的位置，和不变”后，教师“别有用心”地把“两个加数”改为“3和4”，再质疑学生“比较我们俩给出的结论，你想说些什么”，教师在学生无疑处略显突兀的介入，引发了学生对“一个例子究竟能说明什么”的数学思考，而这个问题的背后是教师有意触发猜想和验证的一根引线，这里关乎知识的习得，更关乎方法的生成，关乎学生对于如何从事数学的思考。
“验证猜想，需要怎样的例子”的探讨，更是折射出了张老师独特的教学智慧。小学数学里的结论大都是通过不完全归纳法得到的。“举例”不应只追求简约，例子的多元化、特殊性恰恰是结论准确和完整的前提。张老师善于通过提问，引发学生对多元化、特殊性例子的关注。如“如果这样的话，那你们觉得下面这位同学的举例，又给了你哪些新的启迪？”没有教师适时的点拨与引导，学生如何才能有如此深度的体验？无此体验，我们如何能说，学生已经历过程，并已感悟思想与方法？
“结论，是终点还是新的起点”这个教学片段，更彰显了张老师提问的艺术。在学生通过举例、验证得出加法交换律的结论后，教师问“在加法中，交换两个加数的位置和不变。那么，在——”，学生提出了“减法中是否也会有交换律”“乘法、除法中呢”等新问题，于是从原有结论中诞生出一个个新的生长点。接着教师顺学而问“除此以外，还能通过其他变换，形成不一样的新猜想吗”，从两个加数拓展到了多个加数。在对原有结论进行拓展、迁移的过程中，作为某一特定运算的“交换律知识”被弱化了，而“交换律”本身、“变与不变”的辩证关系、“猜想—实验—验证”的思考路线、由“此知”及“彼知”的数学联想等却一一获得突显，成为超越于知识之上的更高的数学课堂追求。
