开阔视野　紧扣本质　注重联系　丰富内涵——北师大版五年级上册《分数的基本性质》教学实录与赏析

福建省晋江市第二实验小学　许贻亮执教
福建省泉州市教科所　卓和平评析
福建省晋江市第二实验小学　许长华评析
精品解读
许贻亮老师执教的《分数的基本性质》获2010年福建省第九届小学数学课堂教学观摩研讨会一等奖。教师能立足更广阔的生活背景和数学背景，“跳出数学看数学”、“跳出课堂看课堂”，紧扣数学思想方法“变与不变”，紧扣数学知识间的联系与联结，给人以深刻、清新、独到的感觉，具有一定的借鉴意义。教师别出心裁地通过紧扣数学内容的核心数学思想方法，使课堂显得很有宽度；同时，于“不经意”间自然渗透“集合”、“数轴”等思想，使课堂显得很有厚度。这样的设计，既关注了学生学习的“起点”，更关注了学生学习的“发展”，较好地兼顾了学生学习的内在需求。
一、分数能否“变形”？
师：上课前，我们先来看一个图案。(课件呈现北京奥运会会标)认识吗？
生：北京奥运会会标。
师：红色的印上面写的是什么字？
生：京。
师：同学们真有艺术眼光！(课件呈现“京”)这是我们平时所见的“京”，和中国印上的“京”形状一样吗？“京”字形变了，什么没变？
生：结构没变、意义没变、读音没变。
师：我们最近学习的分数是否也可以这样“变形”？(教师板书：“分数能否‘变形’？”大多数学生认为可以变形。)
师：是直觉上的判断，还是有什么依据？
生：比如， 也可以写成 。
师：用例子来说明，好办法！
实时评析
本环节把数学融入生活，“变与不变”是分数基本性质的核心内涵，借助生活事例奥运会会标“京”，使陌生的数学概念有了鲜明的生活印象。用生活理解数学，分数基本性质理解的重心是“分数的分子、分母变了，而分数的大小不变”，这与学生的日常思维逻辑有一定的冲突，通过对生活事例的分析与对照，二者渐渐合而为一，为本课学习确立正确导向。
二、分数怎样“变形”？
师：这是一张正方形的纸，如果阴影部分不用 表示，可以用几分之几表示？

生： 、 、 。
师：这些想法对吗？请同学们拿出学习卡1(正方形纸)，动手折一折，并把折痕画一画，看看自己的想法对不对？(学生动手操作后展示)观察一下这三个图形，什么变了，什么不变？



生：平均分的份数不一样，第1个平均分成2份，第2个平均分成4份，第3个平均分成8份。
生：取的份数也不一样，第1个取1份，第2个取2份，第3个取4份。
师：那有什么不变的吗？
生：阴影部分的大小不变。
师：这三个图形的阴影部分大小相等，那表示这三个分数之间可以用什么符号连接？
生：等号。(教师板书分数等式，学生齐读“ ＝ ＝ ”。)
师：这三个分数相等，也就是说这三个分数的大小怎样？
生：相等，大小不变。(教师板书“分数的大小不变”。)
师：它们的什么变了？
生：分子变了，分母也变了。(教师板书“分数的分子和分母”。)
师：分子和分母是怎么变的？请同学们先从左往右观察一下。 是怎样变成 的， 又是怎样变成 的？
生： 变成 ，分子扩大2倍，分母也扩大2倍。
师：扩大2倍，也可以说是乘2。(教师板书“乘”)它们同时乘的是一个相同的数。(教师板书“相同的数”) 又是怎样变成 的？
生： 的分子和分母同时乘相同的数“4”。
师：还可以同时乘别的数吗？可以同时乘几？
生：分子分母同时乘3，变成 ，同时乘10，变成 。
师：照这样不停地乘，一共有几种情况？
生：无数种。
师：那能不能推导出这样一句话， 的分子和分母可以同时乘任何数。
生：不行，不可以乘0，不然没有意义。
师：你们认为0要排除在外吗？(学生讨论后汇报，教师板书“0除外”)其他分数也可以吗？我们再来看一个例子。涂出和左边图形大小相等的阴影部分，并填一填。


○ 
师：谁来把你的做法和大家交流一下。你涂了几格？阴影部分怎么表示？(学生回答。)
师：这两个分数的大小也相等，从左往右观察一下，分子和分母是怎样变化的？从右往左观察，会有新发现吗？(学生回答。)“ = = ”也能看出除法变化情况吗？(学生回答。)
师：分数的分子和分母除了同时“乘”相同的数，还可以同时“除以”相同的数。(教师板书“除以”。)
师：像 、 这样，分数的分子、分母发生变化，而分数大小不变的规律，用一句话可以怎样概括？
生：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。(教师补充板书“同时”、“或”。)
师：现在自己轻轻地、小声地把这句话读一读。是不是感觉到很熟悉？你想到了什么？
生：我想到了，这像我们学过的商不变规律。
生：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。(教师点击课件，并让学生齐读。)
师：前一节课，我们学习了分数与除法的关系，我们今天学习的规律符合了商不变规律。(教师边讲解分数与除法的关系边板书)这就是我们今天所要学习的内容“分数的基本性质”。(教师板书课题。)
实时评析
充分利用学生已有的数学知识和数学经验，通过对正方形阴影部分 “还可以用几分之几表示”，由细小处入手，引出认知发展的“线”，并连成“片”，在螺旋上升的学习进程中，拓展分数基本性质的外延，完善分数基本性质的内涵。
师：分数变形的方法和依据就是分数的基本性质。根据分数的基本性质，我们可以把 的分子和分母按顺序同时乘2、3、4、5等，组成这样有规律的数列——0 　 　 　 　 　…这个数列中的每个分数大小都相等，我们可以把它们看做相同大小分数组成的一个集合。(课件出示这个数列的集合图。)
师：如果从中选出一个来做它们的代表，你会选哪一个？你是怎么想的？
生：选 ，因为 、 等都可以看成由 变化得来的。
生：选 ，因为它排在第1个。
师：一沙一世界， 表面上看就像是颗小沙子孤孤单单的，但如果我们用分数基本性质的眼光，透过它，其实还可以看到 、 、 、 等分数，看到整个“集合”。根据分数的基本性质能不能看到 的集合？
生：可以看到 、 、 ……也是一个集合。
师：从一个分数中看到一个集合，这就是数学了不起的魅力！现在请同学们拿出尺子，把这个神奇的 标在数轴上。你是怎么做的？(学生回答。)

师：看谁能在20秒的音乐声结束之前，为 、 、 、 准确地找到它们在数轴上的位置？(学生练习。)
师：是不是20秒时间太短了？有没有同学挑战成功的？(请一个学生上台展示。)
生： 、 、 、 和 的大小相等，所以在数轴上的位置是一样的，直接写在 的下面就可以了。
实时评析
根据分数的基本性质，写出和 相等的一系列分数，组成一个数列，形成一个等值集合，感受“从一个分数看到一个集合”的数学视角。通过把多个等值分数标写在数轴上的操作活动，与集合视角相互呼应，感受数学的简洁美。
三、还有别的“变形”？
师：除了分数可以“变形”外，其他数学知识是否也有形变而大小不变的情况？
生：比如，应用乘法分配律，就是把算式变形了。计算除法时，800÷200可以变成8÷2。
生：比如，解方程时，也就是把方程进行了变形。
师：发生变形的数学例子还有很多，老师也收集了一些，我们一起来感受。(课件呈现下面内容：“(1)数字改写：200000＝20万；(2)单位换算：3米＝300厘米；(3)除法计算：4÷0.08＝400÷8；(4)字母简写：a×2=2a……”)
实时评析
数学学习往往都不是独立或孤立的，“形变质不变”的现象也是屡见不鲜的，只是以往都是零散的，缺少一种系统化观察。本环节把相关知识联结在一起学习，加深学生对“形变质不变”的理解，让学生用“系统”的眼光看待数学知识，强化学生的数学知识结构。
四、分数为何“变形”？
师：为什么要变形？(课件呈现从“京”到北京奥运会会标。)
师：“京”字这么端正，多好，为什么要变形？
生：这样比较符合奥运会的精神。像一个人在跑步，上面是人的头、手，接下来是身子、两条腿。
师：它的寓意是“我运动，我快乐”，很有中国特色，这是艺术的需要。
师：那分数为什么要变“形”？想一想，可能是什么的需要？
生：可能是学习的需要吧？
师：是这样吗？我们来看一下。(课件呈现“34○14”。)怎样比较呢？(学生回答。)如果是“34○1720”怎么比较？
生：20是4的5倍，三五十五，填上“＜”号。
师：也就是把34变成1520，这样可以比较了吗？16+26等于多少呢？(学生回答。)16+512等于多少呢？
生：可以把16先变成212，再加512，就等于712。
师：现在明白分数为何变形？根据分数的基本性质，可以把分数进行改变，帮助我们解决许多数学问题。
课后总评
数学发展的重要原因在于数学自身的需要。从对同分母分数大小比较和加减法计算，到异分母分数的大小比较和加减法计算，在解决现实的数学问题的“内需”下，学生自觉地应用“分数的基本性质”，根据具体问题的需要变换分数的表现形式，从根本上确立本节课的学习价值和学习意义。
教师充分发掘知识本身的丰富内涵，课堂凸显大气和厚重。其一，把分数纳入集合之中。应用分数的基本性质，把分数有规律地写成一组和它大小相等的数列，组成一个等值集合，感受“一个分数可以代表一个集合”的集合思想；其二，把分数纳入数轴之中。通过在数轴上标写5个相同大小的分数，感受“相同大小的分数在数轴上的位置是一样的”简约思想，为学生的数学思考与发展插上“分数基本性质”的翅膀。