分数的基本性质—

●教学内容

苏教版义务教育教科书《数学》五年级下册第66～67页的“例11、例12”和“练一练”，及第69页练习十第1～3题。

●教学目标

1.使学生经历探索分数基本性质的过程，初步理解分数的基本性质，知道分数的基本性质与商不变的规律的关系。

2.使学生能运用分数的基本性质把一个分数化成分子、分母不同而大小相等的分数。

3.使学生经历发现问题、探究问题、解决问题的全过程，在观察、猜想、操作、验证等探索活动中，培养学生抽象、概括以及合情推理等能力，积累基本的数学活动经验。

●教学重点

探索分数基本性质，初步理解分数的基本性质，知道分数基本性质与商不变规律之间的关系。

●教学难点

理解分数的基本性质。

●教学准备

多媒体课件。

●教学过程

▍流程一：引出问题，初步探索规律

1.用分数表示涂色部分，引出大小相等的分数。

出示：

师：你能用一个分数分别表示图中的涂色部分吗？

生：、、。（课件出示）

师：观察这三个分数，你发现它们什么没变？什么变了？

生：分子没变，都是1，分母变了。

师：是这样的，其实从图上我们不难看出分数的大小也跟着变了。接着请看这三幅图,继续出示:

师：这三幅图的涂色部分又可以用哪些分数表示呢？

生：、、。（课件出示）

师：这组分数什么变了？什么没变？

生：它们的分母都是8，但分子变了，分数的大小也变了。

师：看来，一个分数的分母变化或分子变化，分数的大小就变了。再仔细观察一下上下两行分数，你会发现有两个分数很特别——

生：和一样大。

师：确实，从图上我们可以一眼看出，不过，如果没有了这两幅图，你还能用咱们学过的知识说明它们相等吗？（课件隐去图形）

生：我们可以将分数化成小数，＝1÷4＝0.25，＝2÷8＝0.25，所以它们是相等的。

设计思想 通过观察给出的图得出分子相同分母变化，分数的大小不同；分母相同，分子变化，分数的大小不同。再对比这两组图，找出其中相等的两个图，分子与分母都不相同，为什么大小却是一样呢？从而引发学生疑问，进而主动开始探究新的问题。

2.直觉判断并自主验证可能与相等的分数。

师：脑筋挺灵活，把分数化成小数便可以说明它们相等。同学们，分数的分子和分母变了，分数的大小竟没有变，这么重要的发现我们可不能轻易放过。凭你的直觉，在咱们分数大家族中，像这样分子、分母变化而大小相等的分数还有吗？

生：有！

师：这么肯定？那好，就拿大家非常熟悉的来说吧，你觉得哪些分数可能和它相等？

生：、、。

师：好样的，一口气说出3个，还有吗？

生：、。

师：看来还真的有不少，（板书：、、）刚才大家说这几个分数可能和相等，不过口说无凭，你得证明给我看，接下来就请每位同学选择这里的一个分数，动手动脑，证明它们和相等，独立证明好之后和同桌交流自己的方法。

（学生操作、交流）

师：谁来说一说你是怎么证明的？

生：我把这张长方形的纸先对折，平均分成两份，这样的一份就是它的，然后把另一张同样的纸对折两次，把它平均分成四份，这样的两份就是它的，正好和刚才的一份一样大，所以和是相等的。

师：借助长方形纸片，非常直观，说得也很清楚。

生：我们把和化成小数，它们都等于0.5，所以它们相等。

师：这个方法简洁明了，挺好的，还有不同的方法吗？

生：我是在纸上画了两个大小一样的圆，不过画得不太好看，一个涂色表示出它的，另一个涂色表示出它的，也能看出等于。

师：相信大家从他画的图中也能看出等于了。

设计思想 给学生时间和空间，他们的思维火花才能够迸发。先让学生猜想与相等的分数可能有哪些，让学生感受到可能有无数个，证明这些分数相等也证明能有无数个，这其中肯定有规律。又引发了学生进一步的思考。

3.初步总结规律并拓展到所有分数。

师：通过同学们刚才动手动脑，我们已经深信：的分子和分母变了，大小却可以不变。这里，的分子分母是随便变化的吗？（学生都在摇头）你发现它们是怎样变化的？

生：的分子和分母同时乘2得到。

生：的分子和分母同时乘3就成了。

生：的分子和分母同时乘4就成了。

随着学生回答完善板书：

＝＝

师：从黑板上的例子，你能得出什么结论？先独立思考一下，然后再带着自己的想法和小组同学交流。

生1：的分子和分母同时乘相同的数，分数的大小不变。

生2：一个分数的分子和分母同时乘相同的数，分数的大小不变。

（课件出示两种结论）

师：比较他们俩的结论，你觉得谁的结论更加准确？

生：我觉得说“的分子和分母同时乘相同的数，分数的大小不变”比较准确。因为黑板上这些都是以为例的，其他分数还不一定。

师：的确，仅凭一个特例就得出关于“所有分数”的结论不够科学。但我们不妨把它当作一个猜想(课件将先前给出的结论2中的“。”改为“？”)。既然是猜想，那么我们还得——

生：验证。

师：怎么验证呢？

生：我觉得可以再举一些这样的例子。

师：好的，每位同学再举一个例子试试，注意尽量让自己的例子与众不同。

（学生独立举例）

师：谁来分享一下你的例子？

生：我先写了一个，然后把它的分子和分母都乘上2，得到，我用分子除以分母算出等于0.75，也等于0.75，所以它们是相等的。（板书）

生：我举的例子是假分数等于，我把的分子和分母同时乘10，得到，两个分数化成小数都是1.2。（板书）

师：由真分数想到假分数，考虑很周全。还有不一样的吗？

生：我的例子很特殊，我写的是，把它的分子、分母同时乘2，得，结果都等于1，如果分子、分母同时乘3、乘4……也都等于1。

师：还真是一个特例！刚才同学们又展示了这么多例子，我关心的是在你举出的例子中有不符合这一规律的吗？

生：没有！

师：这样看来，我们从中得到的规律具有普遍性，现在我们可以放心地将结论中的“”改成“分数”了。

设计思想 数学学习就是在不断的猜想验证中获得经验。从一个特例中发现规律，是不能说明问题的。所以教学中我们要不断地制造矛盾冲突，让学生处在“不悱不发、不愤不启”的状态中，这样知识与经验的获得才能真正融入到学生的技能中。

▍流程二：全方位探究分数的基本性质

1.回顾方法，引发猜想。

师：同学们，回顾刚才的学习过程，我们从一个特例中产生一些想法，并举例验证，这是我们获得一些结论的常用方法之一。但有时，从已有的结论中通过适当变换、联想，同样可以形成新的猜想，进而得到新的结论。比如：“分数的分子和分母同时乘相同的数，分数的大小不变。”（重读“乘”）那么，分数的分子和分母同时——

生：除以相同的数，分数的大小不变。

师：由分数的分子和分母同时乘相同的数想到同时除以相同的数，这是一种很有价值的思考。除此以外，还能通过其他变换，形成不一样的新猜想吗？

生：分数的分子和分母同时加上相同的数，分数的大小不变。

生：分数的分子和分母同时减去相同的数，分数的大小不变。

（课件出示三种猜想）

师：通过联想，同学们由“乘”拓展到了除、加和减，如果这些猜想成立，它将大大丰富我们对分数的认识。这些猜想对吗？又该如何去验证呢？选择你最感兴趣的一个，用合适的方法试着进行验证。

（学生举例验证）

师：现在请同学们将自己验证的结果和大家分享一下。

生：我验证的是“分数的分子和分母同时除以相同的数，分数的大小不变”。我先写的，把它的分子、分母同时除以2，得到，等于0.666……，也等于0.666……，它们是相等的。（板书）

生：我也是证明的这个猜想是正确的，我举的例子是假分数，把的分子和分母同时除以3得到，化成小数都等于1.5。（板书）

师：这两个例子都证明了第一个猜想是正确的。

生：我验证的是“分数的分子和分母同时加上相同的数，分数的大小不变”。我先写的，把它的分子、分母同时加上1，得到，而等于0.666……，等于0.75，根本不等。

师：第二个猜想被我们否定了，那谁验证第三个猜想了？

生：我用的是，把它的分子和分母同时减去1，得到了，很显然，这两个分数是不相等的。（板书）

师：说明一个猜想不成立，这一个例子就足够了。

生：老师，我找到了一个特例。比如的分子和分母同时加上1，得到，还是相等的，同时减去1，也相等。（板书）

师：你的例子还真的相等，那这个例子能说明猜想二和猜想三成立吗？

生：这只是一个特例，可其他的分数都不行，照样不能说明后两个猜想成立。

师：说得挺有道理，但我们不妨记住这样的特例。

2.总结分数的基本性质，并沟通与旧知的联系。

师：通过刚才的交流，我们又明白了分数的分子和分母同时除以相同的数，分数的大小也不变，那和先前的发现合起来，谁能总结一下？

生：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数，分数的大小不变。

师：这里“相同的数”可以是任何数吗？

生：不能为0。

师：通常我们在描述这一规律时会这样描述：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这就是分数的基本性质（板书课题）。

师：其实说到分数的基本性质，大家有没有一种似曾相识的感觉？

生：有。

师：感觉在哪里见过？

生：除法中商不变的规律。

师：是的，一起来看（出示教材），四年级我们在用计算器探索规律时就见过，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。你能看出它们之间的联系吗？

生：我们学过分数与除法的关系，知道被除数相当于分子，除数相当于分母，所以被除数和除数同时乘或除以相同的数就相当于分子和分母同时乘或除以相同的数。

师：找到了这样的联系，也让我们更深刻地理解了分数与除法的关系。

设计思想 在方程中我们已经接触到了等式的性质有加减和乘除，但是分数的基本性质中只适用于乘除法，对于知识的讲解教学应当要激发学生去猜想。鼓励学生通过联想，由“乘”拓展到了除、加和减，如果这些猜想成立，它将大大丰富学生对分数的认识。这些猜想对吗？又该如何去验证呢？选择你最感兴趣的一个，用合适的方法试着进行验证。课堂上的时间是有限的，但是学生的想象却是无限的。

▍流程三：简单运用，丰富学生对分数的基本性质的认识

1.根据规律判断。

师：了解了分数的基本性质，来判断一下下面这些分数的分子、分母变化了，还相等吗？

出示：＝＝