重内涵轻外延——“轴对称图形”的反思与重构
案例描述
1.创设情境，初步感知
（1）出示轴对称图片（故宫、黄鹤楼、伦敦塔桥、巴黎埃菲尔铁塔、印度泰姬陵），学生欣赏。
（2）指导观察，认识特点。
师：观察这些图片，它们的共同特点是什么？
生：都很美。
生：它们的左右两边都一样。
师：像这种两边对称的图形，我们叫它轴对称图形。今天老师和大家一起认识美丽的轴对称图形。
2.动手操作，理解概念
（1）动手操作，揭示概念。
师：请大家拿出一张长方形纸，先把长方形纸对折，在折好的一侧画一个你喜欢的图形，把它剪下，再把纸打开，你发现了什么？
生：折痕两侧的图形完全重合。
师：和前面看到的图形有什么共同的特点？（概括轴对称图形的概念）
（2）对比分辨，理解内涵。
课件出示两棵树：左边一棵是部分重合，右边一棵是完全重合。
师：如果请你剪一棵小树，你会选哪一棵？为什么？
生：选右边一棵，因为它对折后是会两边重合的。
师：老师手上也有两棵树，你能上来折给同学们看看吗？（学生上台折）
生：沿着中间这条线对折，两边会重合。
师：那左边的这棵，对折后没有重合的地方吗？
生：有，但是它下半部分的树叶是不重合的。
师：也就是说，这个图形对折后两边——
生：不完全重合。
师：那左边的这棵树是轴对称图形吗？怎样的图形才能叫轴对称图形？（在“完全重合”这四个字下面加上圆点）
（3）操作对比，理解对称轴。
师：（指着左边小树的折痕）这条折痕是对称轴吗？
生：不是，这棵小树不是轴对称图形，这条折痕也不是对称轴。
师：怎样的折痕才是对称轴呢？
生：轴对称图形的折痕才是对称轴。
师：（把右边小树随意折出一条折痕）这样折得到的折痕是对称轴吗？
生：不是。只有图形对折后左右两边完全重合的折痕才能叫作对称轴。
3.综合练习，发展思维
（1）抢答：观察周围哪些事物的形状是轴对称图形。
（2）判断：
① 下面的数字，哪些是轴对称图形？它们各有几条对称轴？
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9
② 下面的字母，哪些是轴对称图形？它们各有几条对称轴？
A、B、C、D、E、F、G、H
③ 下面的汉字，哪些是轴对称图形？
口 工 用 大 水
④ 我们学过的图形，哪些是轴对称图形？它们各有几条对称轴？（等边三角形、正方形、长方形、等腰梯形和圆形）
4.回顾全课，归纳小结
问题诊断
任何一个概念都包含了内涵和外延。概念的内涵反映了概念中的对象的本质属性，概念的外延包含了某个概念的一切对象的范围。在数学概念教学中，有的教师往往认为，揭示了某个数学概念的内涵，就明确了某个数学概念，从而忽视了数学概念外延的教学。如本案例中，轴对称图形的内涵是：一个图形沿一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合。教师在教学中通过画一画、折一折、比一比、说一说等活动，注重学生对轴对称图形内涵的理解，但忽视对轴对称图形的外延的关注。对本案例的问题诊断为：重内涵，轻外延。
1.揭示概念，忽视辨析
概念教学中，给学生提供的各种直观材料或事例要变换形式呈现，使其中的本质属性保持恒定，而非本质属性复杂多变。分析内部各要素的相同点即本质属性，是揭示概念内涵的关键。案例中，教师出示的故宫、黄鹤楼、伦敦塔桥、巴黎埃菲尔铁塔等图片，都是左右对称，试想由这些图片抽象出来的轴对称图形的表象在学生心中会是怎样的？这些对称形式单一的材料，会让学生产生误导，那就是轴对称图形就是像这样左右两边对称且对称轴条数只有一条的图形。教师没有呈现上下对称的图形或其他方向对称的图形，让学生在不同对称形式的图形中感受到轴对称图形的本质内涵（即只要一个图形沿一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，与对称轴方向无关，与两侧的图形形状无关，与对称轴条数无关）。只有在多样的材料对比分析中，学生对概念的理解才会全面。
2.巩固概念，忽视比较
在平时的教学中，数学概念常常采用正面阐述的形式，因而造成学生对揭示概念本质属性的关键词语的认识不足、理解不全，所以一个正确的认识需要经过正反两方面的比较和鉴别才能确立。因此，在练习时，如果学生的思维深处没有经历正反两方面比较的过程、冲突的过程，那么他对概念的理解会拘泥于表面或形式化。本案例中，教师的练习大部分是围绕着正例进行，反例是少数且都比较容易判断的，学生只凭肉眼就能轻易观察出来，无须通过内心思维深处的激烈冲突，这样不利于学生厘清概念的外延。
矫正策略
弄清数学概念的内涵与外延，是理解和掌握数学概念的标准之一。理解数学概念的内涵就是要通过多种直观材料或事例，要求学生能把事物的本质属性揭示出来，并用简洁、明了的合乎逻辑的语言进行表达；厘清数学概念的外延就是要求学生理解数学概念反映的一个个、一类类的事物，理解概念与概念之间的相互联系与区别，防止相似概念的混淆。针对以上的问题诊断，可以采用以下策略进行矫正。
1.呈现丰富材料，突出概念内涵
学生通过教师呈现的材料在头脑中形成对概念的初步感知。教师为学生提供的材料必须丰富——既要利用标准例证，也要提供变式例证。变式例证是概念的正例在无关特征方面的变化，具有“形变而质不变”的性质。运用变式例证，可以使学生深入全面地理解概念的内涵，可以突出数学概念的本质属性。如本案例教学，通常先呈现标准图例，如左右对称的图例进行教学，然后概括出定义；为了加深学生对轴对称图形的理解，还要呈现变式图例，呈现上下对称的图例，如飞机图案；呈现对称轴不只一条的轴对称图形让学生判断，帮助学生透过现象看本质，抓住轴对称图形的本质属性。
2.加强变式练习，厘清概念外延
教育心理学家认为：概念的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于鉴别的信息；而分析概念内部各要素的相同点是揭示概念内涵的关键，明辨不同点则起到进一步厘清概念外延的作用。在本案例中，学生通过标准例证和变式例证这些正例已经掌握了轴对称图形的特征，这时教师可举一个反例，拿出一个平行四边形问学生是不是轴对称图形，并让学生猜测、交流、验证，进而进行对比，比较异同，使学生对“沿一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合”这一特征有更深刻的认识。教师还可以给出一个轴对称图形的一半，让学生画出另一半。由于教师没有给定这个图形的对称轴，因此，学生可以从多个角度想象画出这个图形的另一半。在这样的练习中，学生不仅能进一步理解轴对称图形的本质属性，厘清轴对称图形的非本质属性，还能培养学生的发散思维能力。
矫正案例
1.创设情境，导入新知
课件出示故宫（左右对称）、巴黎埃菲尔铁塔（左右对称）、飞机（上下对称）、小提琴（左上和右下对称）、三角形路标（三条对称轴）的图形，学生回答下面的问题。
师：这些图形有什么共同的特点？
生：它们都是两边对称图形。
师：从哪儿可以分为两边？请在图中指出。
生：故宫和埃菲尔铁塔从中间竖着可以分为左右两边相同的图形，飞机从中间横着可分为上下两边对称的图形，小提琴斜着分也可以分为两边完全相同的图形，三角形路标可以从中间竖着分为左右两边完全相同的图形。
生：我补充，三角形路标不仅可以从中间竖着分，还可以这样（用手比画）斜着分成两边完全相同的图形。
师：你是怎么知道这些图形两边完全相同的？
生：看出来的。
师：还可通过什么方法验证？
生：对折。
教师板书“对折”，电脑演示对折过程。
2.动手操作，理解新知
（1）动手试验，揭示概念。
学生先拿出一张长方形纸对折，然后在折好的一侧沿折痕画上自己喜欢的简单图案，用剪刀把图形剪下后再打开。
师：像刚才剪下来的图形就是轴对称图形。（板书课题）谁来说说什么是轴对称图形？（板书“一个图形沿一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合”）
师：折痕所在的这条直线叫作对称轴。
师：请画出你所剪的图形的对称轴。（学生操作）
（2）对比分辨，理解内涵。
课件出示两棵树：左边一棵是部分重合，右边一棵是完全重合。
师：如果请你剪一棵小树，你会选哪一棵？为什么？
生：选右边一棵，因为它对折后是会两边重合的。
师：老师手上也有两这棵树，你能上来折给同学们看看吗？（学生上台折）
生：沿着中间这条线对折，两边会重合。
师：那左边的这棵，对折后没有重合的吗？
生：有，但是它下部分的树叶不是重合的。
师：也就是说，这个图形对折后两边——
生：不完全重合。
师：那左边的这棵树是轴对称图形吗？怎样的图形才能叫轴对称图形？（教师在“完全重合”这四个字下面加上圆点）
（3）操作对比，理解对称轴。
师：（指着左边小树的折痕）这条折痕是对称轴吗？
生：不是，这棵小树不是轴对称图形，这条折痕也不是对称轴。
师：怎样的折痕才是对称轴呢？
生：轴对称图形的折痕才是对称轴。
师：（把右边小树随意折出一条折痕）这样折得到的折痕也是对称轴吗？
生：不是。只有图形对折后左右两边完全重合的折痕才能叫作对称轴。
3.巩固练习，运用新知
（1）巩固概念。
课件先后出示：圆形、长方形、正方形、等边三角形、等腰梯形、直角梯形、平行四边形。
① 学生先根据看到的图形猜测哪些是轴对称图形，哪些不是轴对称图形。
② 拿出这些图形的图片折一折，画出它们的对称轴，数一数各有几条对称轴。同桌合作并交流，重点交流平行四边形。
师：刚才猜测平行四边形是轴对称图形的同学说说你的想法。
生：我猜测平行四边形是轴对称图形主要是想把平行四边形沿上下两边的中点对折，两边的图形应该是完全一样的，但没想到折起来它们不能完全重合。
生：我们应该看它沿一条直线对折后能不能重合，重要的是完全重合。
（2）判断：
① 下面的数字，哪些是轴对称图形？它们各有几条对称轴？
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9
② 下面的字母，哪些是轴对称图形？它们各有几条对称轴？
A、B、C、D、E、F、G、H
③ 下面的汉字，哪些是轴对称图形？
口 工 用 大 水
④ 下面哪些图形是轴对称图形？画出轴对称图形的对称轴。
（3）推理游戏：一个图形，它的一半的是直角梯形（课件出示），原图可能是什么图形？
（4）自己动手，在方格纸上设计一个轴对称图形。
4.课堂小结（略）