三角形的三边关系

潘小明：智慧和人格在数学活动中生成
教师准确地把握学生的认知起点，设计了高质量的问题场，高品质地启发学生思考互动。通过操作活动，教师相机设置疑问、逐层追问、生成反问，学生的智慧和人格自然在其中生成。
丁杭缨：建构—解构—重构
教师巧妙地引导学生根据自身经验经历一次次的知识建构、解构、重构的过程，让学生的学习在“平衡—不平衡—平衡”的往复循环中不断丰富、提高和发展，从而清晰而深刻地建构三角形三边关系的知识。
同课异构赏析
读懂学生，才能动态引领课堂从有效走向深刻！
两位名师根据自己恪守的教育理念将同一节课演绎出了不一样的精彩，一样的高品质。丁老师引领学生经历意义深刻的数学建构之旅，架起了动作表征与意义表征的通道；潘老师设计的问题情境串，有机地渗透了数形结合与无限逼近的数学思想。他们的课虽路径各异，但都是基于自己对学情的了解和分析的，都有效地把握了教学的起点与方向。两节十分灵动的课，源自教师用敏捷的眼力及时捕捉学生的学习状态而随时调整、切换与跟进教学起点，并用相应的方式与途径引领学生学习。
几何初步知识中无论是线、面、体的特征还是图形的特征、性质，对于小学生来说，都比较抽象。经过第一学段的学习，学生已经具备一定的关于三角形的认识的直接经验，获得相应的知识和技能，为感受、理解抽象的概念，自主探索图形的性质打下了基础。三角形的三边关系的内容是在学生初步了解三角形的定义基础上，进一步研究三角形的特征，即三角形任意两边的和大于第三边。三角形三边关系定理不仅给出了三角形三边之间的大小关系，更重要的是提供了判断三条线段能否组成三角形的标准，熟练灵活地运用这一规律，有助于提高学生全面思考数学问题的能力，它还将在以后的学习中起着重要的作用。通过实践操作、猜想验证、合作探究，经历发现“三角形任意两边的和大于第三边”这一性质的活动过程，发展空间观念，培养逻辑思维能力，让学生学会从全面、周到的角度考虑问题，学会从美观、实用的角度解决生活中的数学问题。
需要指出的是，关于“三角形任意两边的和大于第三边”的性质是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》新增加的内容，在小学阶段只要求通过操作、实验、合作、探究，让学生了解这一性质，至于证明这一性质乃是第三学段的要求。
同课案例 有效互动，启迪智慧
潘小明
潘小明，中学高级教师，上海市特级教师，上海市宝山区第一中心小学校长，中国教育学会小学数学教学专业委员会理事，上海市小学数学青年教师教学联谊会会长。全国优秀教师，上海市骨干教师，荣获“宝山区拔尖人才“称号及首批名师称号。曾与吴正宪老师联合在青岛与上海开过个人教学艺术研讨会。应邀在全国各地多次开课并作讲座。出版有个人专著《小学数学课堂教学案例与反思》。
一、设疑引入
师：你们知道给每人发两根小棒干什么吗？
生：因为课题是三角形边的关系，我以为会发三根小棒让我们摆三角形的，可是只发了两根，我就不知道干什么了。
生：可能是摆角用的。
师：不是用来摆角的，确实是用来摆三角形的。
生：三角形是有三条边，需要三根小棒，只发两根，我们怎么摆呢？
师：（教师出示两根小棒）现有两根小棒，一根长3厘米，另一根长5厘米，再配上一根多长的小棒，就能围成一个三角形？有几种配法？
师：将你要配的小棒画在纸上，你有几种配法都在纸上画出来。（学生独立思考着，操作着……）
实时评析
出示的课题是“三角形的三边关系”，给出的小棒只有两根，而且要摆三角形，学生顿生困惑：用两根怎么能摆成三角形呢？这里，虽然没有复习三角形的概念，但已经激活了学生的已知，刺激了学生的思维，吸引了学生的注意。“再配上一根多长的小棒，就能围成一个三角形？有几种配法？”再配一根不难，有几种配法则给有差异的学生以自由探索的空间。
二、探究新知
1.提出猜想
师：请说说你配上了多长的小棒。
生：配上6厘米、4厘米、2厘米长的小棒。
生：我配上7厘米、8厘米、3厘米长的小棒。
生：我配了一根5厘米长的小棒。
生：还有1厘米、0.5厘米，还有更小的。（结合回答，教师顺着线段的长短板书“8、7、6、5、4、3、2、1、0.5”。）
生：我要反驳，把5厘米和3厘米的叠在一起，差距还有2厘米，0.5厘米的怎么可能呢！我希望他摆给我看。（说配0.5 厘米长小棒的学生进行了操作，发现0.5厘米是不能围成三角形的，并解释说：“我刚才没有摆过，我是想象的。”）
实时评析
“有几种不同的配法？”，不仅适合有差异的学生，而且在寻找多种配法的过程中，学生会感知到：不是任意画一根小棒都能围成三角形的，太短了接不上，太长了也接不上。有的学生在小组交流时说：“我发现配上的线段最长不能比两根长度的和来得长，最短不能短于两根线段的差。”说明学生已经关注到所画线段的长度是有一定的范围的。但这是一个怎样的范围呢？学生的思维对象已经从能配几种小棒转向所配小棒长度的取值范围，思维向纵深方向发展。
2.验证猜想
师：下面，请前后4人为小组，讨论在上面所配的这些小棒中，哪些不能围成三角形？要用事实讲道理，看哪组合作得最好。（学生组内讨论后进行组际交流。）
生：2厘米到8厘米的都可以。
师：（指着板书）1厘米呢？（学生齐说“不可以”。）我们来试验一下吧。（课件动画展示“当三根小棒是5厘米、3厘米和1厘米时，用3厘米和1厘米的小棒放在5厘米小棒的两端，然后慢慢向下围，3 厘米和1 厘米的小棒与5厘米的重合，两头没有围上，中间相差了1厘米。”）
师：1厘米不行，1.8 厘米呢？1.9 厘米？1.99 厘米呢？（学生齐说“不行”。）2厘米呢？（学生思考着。）
师：认为2厘米行的举手？（大部分学生举起了手。）认为不行的举手？（三位学生举了手。）
师：到底听谁的呢？我们来个少数服从多数，好吗？不！这不是选少先队代表。知识是科学，看谁说得有道理。
生：某某同学你想一下，一根5厘米和一根3厘米，还差2厘米。如果用2厘米的小棒去围，小棒要斜一点，肯定会有一点距离的，所以不能围成三角形。
生：我刚才是做过实验的，把小棒往里转的话，两根小棒之间的距离会减少一些，应该是能围成三角形的。
生：你用的是两根普通的小棒，你可以围起来的，但是，如果是两根很细很细的小棒呢？
生：那你是不是认为3厘米加2厘米比5厘米要少呀？
生：当然不是喽！
生：那好，3厘米加2厘米等于5厘米，不就可以围成三角形？
生：3厘米加2厘米等于5厘米，正好跟它平行，不多也不少。
师：3厘米加2厘米等于5厘米，3厘米、2厘米这两根小棒的两头就碰得着了。一个同学说，碰得着了，说明就能围成三角形；另一个同学认为，正好碰头，就平掉了。（教师结合回答，边画右图边提问：“再围下去，它们会碰头吗？碰头的点在哪里？”学生观察并想象着，积极地上来标出碰头的点是在5 厘米的线段上，终于得出：配上 2 厘米的线段，正好重叠了，不能围成三角形。）

实时评析
有的学生用2厘米、3厘米和5 厘米这三根小棒竟然围成了一个三角形，他们对两根小棒的和等于第三根时也能围成三角形是深信不疑！这显然是小棒较粗引起操作误差所致，但简单地解释又难以使学生信服。为此，教师采用“数形结合”的方式，双管齐下：一方面，由“1 厘米不行，1.8厘米呢？1.9 厘米？1.99 厘米呢？2 厘米呢？”，让学生进行数学计算，发现即使配上1.999厘米，其和还是比5厘米短，只有当配上2厘米时的和正好等于5厘米，而这时的2厘米和3厘米成为了一条新的线段；另一方面，借助于图形直观，并让学生进行空间想象：2 厘米和3 厘米小棒的另一头能碰头吗？碰头点在哪儿？这样，学生不仅对先前的想法进行自我否定，更重要的是学生在学习着用数学的方法分析问题，作出判断，思维更具理性。
3.得出结论
师：还有哪些是不能围成三角形的？
生：8厘米的。同样道理，因为5 厘米加3 厘米正好等于8 厘米，重叠掉了，不能围成三角形。
师：那么，你认为一共有多少种配法？
生：3厘米到7厘米，一共有5种。
师：这5种是行的，是不是只有5种？
生：加上小数就有无数种，如2.1厘米、2.2厘米……2.9厘米等。
师：什么样的小棒都可以吗？
生：大于2.1厘米小于7.9厘米的小棒都可以。
师：2.01厘米行不行？2.001厘米呢？7.999厘米呢？
生：应该是大于2厘米、小于8厘米的都行。
实时评析
“你认为一共有多少种配法？”，有的学生开始是在整厘米数范围内考虑，得出共有5种。在教师的“是不是只有5种”的追问下，学生的思维有了拓展，可以有无数种。但是，绝大多数学生的头脑中还没有建立起一个正确的取值范围。对于小学四年级的学生而言，范围的建立的确是有一定困难的。学生认为“大于2.1 厘米小于7.9 厘米的小棒都可以”，教师没有直接否定，而是提出了2.01、2.001厘米让学生判断。这些数据既是具体的，同时在向2无限逼近，学生自然会想到2.00001也是可以的，那该怎样表述呢？“比2 厘米长”已呼之欲出，以此思考，学生不难得出“又必须比8 厘米短”。这样层层递进地启发引导，发散拓宽了学生的思维，有机地渗透了无限逼近的数学思想，锻炼了学生的抽象思维，培养了学生的抽象、概括能力。
4.反思总结
师：请同学们回想一下，刚才在寻找“共有几种配法”时，你是怎样想的，怎样做的？
生：先在纸上画一条线段，然后用两根小棒去围围看，这样试着去找。
生：我想将3厘米和5厘米的两根摆成一个角，再连接另两头得到要配上的小棒。
师：两种方法，你现在更喜欢哪种？为什么？
实时评析
许多学生选择第二种方法，理由是：一来可以避免太短或太长的盲目性，二来可以找到许许多多种配法。教师顺势进行板书（如右图），启发学生思考得出，这种方法很容易发现配上小棒的长度范围，并使学生意识到：面对问题，我们不仅要关心答案，更要关心用怎样的方法去找答案，方法往往比答案更重要！小学生的元认知水平相对较弱，他们关心的往往是问题的答案，却很少会关心自己的思想方法及所用的策略。用第二种方法的学生，虽然没有了盲目性，并且容易找到了多种配法，但也很少有人去深入思考其取值的范围。引导学生学习解决问题的策略，进行深度的数学思考，是数学教学的重要任务之一。怎样引起学生对自己解题策略的关注呢？课中，教师没有在出示题目后马上告知学生怎样能马上找到许多种配法，而是在学生经过一番自主探究之后，引导学生“回回头，看看走过的路”，进行不同方法的比较，深深地体悟到“策略比结果更重要”，实现由只关心题目结果向关注解题策略的转化。

三、拓展提升
师：下面的两组线段，能围成三角形的用钩表示，不能的用叉表示，并说出理由。（出示下图。）

师：（重复学生的回答，并作板书）因为2+3>4，所以能。
师：照此说来，对于第一组的小棒，我们也可以说（板书“1+3>2”）因为1+3>2，所以能围成三角形？（学生思考后，纷纷发表自己的看法。）
生：这是不对的。因为1+2=3，所以不能围成三角形的。
师：为什么第二组由2+3>4就能断定能围成三角形？
生：因为2厘米、3厘米是较短的两条线段，它们的长度之和大于最长的，那么用最长的去加上2厘米或3厘米，肯定要比3厘米或2厘米长，这是肯定的。
师：原来如此，有道理！
实时评析
对于1厘米、2厘米和3厘米的这组线段，学生都做出了正确的判断，理由是1+2=3，所以不能围成三角形。对于2厘米、4厘米、3厘米的这组线段，大家的意见也是一致的：因为2+3>4，所以能围成三角形。
师：请大家继续判断。（出示三条线段，其中两条线段的和大于第三条。）这样的三条线段能围成三角形吗？（学生的判断各不相同，有的认为能，有的认为不能，也有的认为不一定。）
师：谁能说服别人？
生：我认为是不一定能！你说一定能，那么像1 厘米、7 厘米和3 厘米，其中1+7>3，是不是能围成三角形？你说一定不能，像4厘米、5厘米和8厘米，其中4+5 >8，却是能围成三角形的。所以，我认为是不能肯定的。
师：用事实说话，真让人信服！那么，把“其中”换成哪个词，满足条件的三根线段就一定能围成三角形？
生：把“其中”换成“较短”。（大多数学生表示同意。）
生：把“其中”换成“任意”。（经过交流，大家一致认同。）
师：（出示一个三角形）三角形三条边之间有什么关系？
生：三角形任意两边的和大于第三边。
实时评析
给出的两组小棒能否围成三角形，学生能作出正确判断。教师这“理直气壮”的类比，激起了学生对类比所得错误结论原因的思考，不仅深刻揭示出数学知识的本质：任意两条线段的和大于第三条，就能围成三角形；而较短两条的和大于第三条，则其他情况必然也大于第三条。而且，渗透类比的思想方法，学生体会到类比的结果不一定正确，还需要验证。我们知道，要证明一个命题是正确的，不是只举几个正例就能证明的。但是，要证明一个命题是错误的，只需举出一个反例。让学生结合具体问题，学习举反例来证明，进行数学推理的训练，是很有必要的。
课后总评
教学是一门有遗憾的艺术，上面的教学中一定仍存在着不足。我认为，对于遗憾的态度应该是悦纳并不断地探究，不断地改进教学，使数学活动的过程成为启迪智慧的过程。着眼于智慧生成的教学，应该把重心放在提高互动的质量上。影响互动质量的因素有许多，如互相尊重、民主平等、和谐宽松的学习氛围，独立自主的探究学习，同伴之间的合作交流，教师适时的启发引导等，而设计有价值的问题是一个重要的因素。对于教师“怎样的三根小棒一定能围成三角形？”的问题，学生回答“一样长的三根一定能围成三角形”，这是最贴近学生思维实际且无懈可击的答案，然而却没有揭示三角形边的关系。在教师“三角形就只有三条相等这一种吗？”的追问下，学生才得出有两根一样长、三根各不相等的两种情况，教学才得以继续展开，很是牵强。而教师设计的“再配上一根多长的小棒，就能围成一个三角形？有几种配法？”的问题，学生在尝试中自然会发现配上的小棒不能太短也不能太长，自然会产生到底有多少种配法的想法，自然会想小棒的长度会不会有一个范围、怎样表示这个范围等问题。所有这些问题都因三根小棒之间的关系引起，而解决了这些问题，知识的本质也就被深刻地揭示出来。数学教学就要抓住数学思考这一本质，而设计好问题是数学思考的关键。有高质量的问题，才会产生高质量的互动；有了高质量的互动，智慧自然会在其中生成。
同课案例 建构—解构—重构
丁杭缨^脚注6
一、动手操作，初步建构
师：今天这节课我们继续学习“三角形”。
师：把一根吸管任意剪成三段，然后用电线穿过吸管把它们首尾相连，猜猜会得到什么图形呢？
生：三角形。
师：你们已经想象出来了，一定会是三角形吗？
生：也不一定。可能是。
师：同桌合作，我们来试一试。看看你的三段吸管首尾相连后成什么图形。（教师选取学生中的4个作品贴于黑板，如下图。）
图1

图2

图3

图4

师：三个同学剪的吸管首尾相连后都围成了三角形，第四个同学的这两条边却怎么也连不起来。刚才我也试着剪了，连起来后变成了这样（如图5）。
图5

师：为什么第4个、第5个三条边围不成三角形呢？请大家在小组里讨论一下。
生：因为短的那两条边太短了，而长的那条边太长了，所以第4个围不成三角形。
师：你能具体说说它们短到什么程度吗？
生：它们加起来的都没有那条长的边长。
师：观察得真仔细！
生：第5个围不起来是因为两条短的边加起来和第三条边一样长。
师：那两条比较短的边在什么情况下能围成三角形呢？
生：当两条边的和大于第三边的时候，就能围成三角形。（教师板书“两边的和大于第三边”。）
实时评析
教学需要一个起点，以便学生从一个知识水平发展到另一个更高的水平，就像沿着脚手架那样一步步向上攀升。为了让学生对于三边关系知识的初次建构比较顺利，这个起点所包含的情境及支撑情境的数学信息资源的取舍成了教学中的关键要素。把一根吸管任意“剪”成三段，通过一次“围”的操作、利用一个“围”字，激活了学生已有经验中解决问题的思维角度。他们成了学习的主人，在与黑板上出现的5种数学信息资源交互作用的过程中各自拥有对所遇问题的解释，从而顺理成章地用“两边的和与第三边比较”的方法解析了围成三角形的一个必要条件。这时，学生处于一种建构平衡的认知状态。
二、制造冲突，解构新知
师：（课件出示，如右图）4+10>5，根据三角形两边的和大于第三边，这三条线段是可以围成三角形的。你们同意吗？

生：这三条线段不能围成三角形，应该是最短两条边的和大于第三边。
生：4厘米加5厘米只有9厘米，比10厘米要短，所以这三条线段围不成三角形。
师：虽然4+10>5，10+5>4，但是4+5<10，所以这三条线段不能围成三角形。看来我们不能随便拿两条线段看它们的和是不是大于第三边。
实时评析
在第一次建构“三角形两边的和大于第三边”的相关知识时，因为先前经验的有限性，学生头脑中的思维途径往往是呈射线状的，无法确定所构建的知识是否就是它最终的写照，这时需要一些冲突引发原有观念的转变。因此，在上面的教学片段中，解构的重点是关于这个知识的逆向思考：只要两边的和大于第三边就一定能围成三角形？它的功能是让学生从数学逻辑推理角度主动地对知识加以调整和修正，澄清关于这个知识的疑虑，以便形成正确的数学知识，逐渐完成第一次建构的过程。这时，学生认知状态的平衡被破坏，认知结构也被解构，他们急需修改或创造新图式以寻找新的平衡。
三、拾级而上，重构新知
师：那刚才的这句话应该怎么改呢？
生：较短的两边的和大于第三边。
师：你的发现很有价值，等会儿我们还将讨论你的发现，有不同的发现吗？
生：任意两边的和大于第三边。
师：什么叫“任意”？
生：就是随便拿两条边。
师：这两个字非常关键，我们把刚才的这句话补充完整。（教师板书“三角形任意两边的和大于第三边”。）
师：这句话在书本的第82页，请同学们打开书本画上重点符号，顺便自学书上关于三角形三边关系的内容。
实时评析
第一次的建构、解构与重构过程是学生个体通过自我调节机制使认知发展从一个平衡状态向另一个平衡状态过渡的过程。师生通过对话、沟通的合作方式来完成，其目的不仅是让学生从各自的经验背景出发推出关于三角形三边关系的合乎逻辑的知识假设变得比较严谨，还让学生感知到分析问题需要从多个角度去完善的思维方式。
四、拓展应用，深化建构
师：现在请同学们独立完成书本第86页第4题。（学生独立判断，完成后同桌之间交流，说说自己是怎么判断的。）
师：对第一题你是怎么判断的？
生：3加4等于7，大于5，所以这三条线段能围成三角形。
师：只要加一次就可以了吗？会不会出现像刚才那样的“4、10、5”的情况？
生：那加加看好了。4加5等于9，大于3，3加5等于8，大于4。肯定能围成三角形。
师：每道题每次都加3遍，有点麻烦。
生：只要最短的两边和大于第三条边就行了。
师：为什么只要判断最短的两边和大于第三边就行了呢？
生：最短的两边和大于第三边，其他较长的肯定大于第三边了。
师：好，我们用这个简洁的方法来判断其余三组线段是否能围成三角形。
生：第二组中3加3肯定大于3。第三组中2加2等于4，小于6，不能围成。第四组中3加3等于6，大于5，可以围成。
师：第一组的三条线段非常有意思，3、4、5 是三个连续的自然数，那是不是所有三边的长度是三个连续自然数都可以围成三角形呢？
生：不一定。1、2、3不行，1加2等于3。
生：一条是0也不行。
师：对，如果是0就表示其中一条线段没有，只有2条线段了。除了1、2、3以外呢？举举例子看。
生：7、8、9，100、101、102……
师：3、3、3这三条线段围成的三角形是怎样的呢？
生：是一个等边三角形。（课件演示。）
师：三条边相等是等边三角形，也叫做正三角形。
生：2、2、6，不能围成三角形。（课件演示。）
师：换一根怎样的小棒就行了呢？
生：要么6厘米缩短变3厘米，要么2厘米加长变5厘米。
师：3、3、5，这一组线段围成的三角形又是怎样的呢？
生：是等腰三角形。
师：因为两条边相等是吗？知识学得还真多。（课件演示。）
师：这个等腰三角形我很感兴趣。现在想把5厘米的边换一条，可以怎么换呢？
生：1～5，第三条边不能等于或大于6，因为3加3等于6。
师：1～5以外的数都不可以吗？有没有不同意见。
生：5.5好像也可以。
生：5.6也行。
生：0.5也可以呀。
师：能不能概括地说一说，到底什么范围内的数可以与3、3 围成三角形？
生：大于0、小于6这个范围内的所有数。
师：了不起！这个同学考虑问题很全面，值得我们学习。
师：想象第三条边是1厘米的时候，这个三角形是怎样的？你能用手表示一下吗？
生：是很尖的。（课件演示。）
师：第三条边是2厘米的时候呢？
生：再胖一些。
师：第三条边是3呢？4呢？（课件演示。）
师：如果保留5厘米的线段，把其中一条3厘米的线段换掉，又可以怎么换呢？
生：1～7，3加5等于8，所以要比8小。
生：1加3小于5，2加3等于5，所以1和2不行。
师：那就应该是4～7。
实时评析
知识建构过程中的积累是十分必要的，但这不是知识的简单叠加或量变，更需要对知识的深化、突破、超越或质变。在第二次的建构、解构与重构中，学生通过自我测试、自我检查、自我监控等活动，对三角形三边关系知识的第一次建构、解构与重构过程作出相应的判断与反思，肯定与否定的交替出现，进一步加强了分析问题与解决问题的能力。值得一提的是，在这个“平衡—不平衡—平衡”的循环中，教师的主导作用体现得淋漓尽致，每一道习题背后都离不开教师对于三角形三边关系的独特理解和诠释，使习题变得分外有价值：从三角形三条边的简洁判断方法到三条边的长度是三个连续自然数的推理，从等边三角形到等腰三角形的勾勒，从不能围三角形的小棒的调换到三角形第三边范围的猜想，教师通过一种自然的方式引起学生的思考和讨论，把三角形三边知识一步步引向深入的同时，让学生自己去发现规律，纠正和补充错误或片面的认识，加深对所学内容的理解。存在决定意识，教师的主导作用发挥得越充分，学生的主体地位也会体现得越充分。
五、沟通联系，内化提升
师：从小明家到学校，有三种走法（课件出示下图），你能马上说出哪种走法最近？
生：中间那一条。

师：为什么？
生：因为中间这条是直的，而另外两条是弯的。
师：你能用我们今天所学的数学知识来解释吗？
生：因为在三角形中，两边之和大于第三边，所以中间那条最短。
师：对，第一种和第三种的两条路可以看做是三角形中两条边的和。
师：如果就用一个算式来表示a+b>c，这里a，b可以代表什么？
生：最短的两条边。
生：也可以是任意的两条边。
师：对，既可以表示最短的两条边又可以表示三角形中任意的两条边。
师：现在，如果我们再剪一次吸管，一定要围成三角形，你有什么好办法？第一刀要剪在哪里？
生：可以是三分之一处。（课件出示，如图6。）
图6

师：分成了有长短的两段，谁知道这两段分别表示什么？
生：长的那段表示的是三角形中两边的和，短的那段表示的是第三条边。（教师板书“a+b>c”。）
师：第一刀为什么不选在中间？（课件出示，如图7。）
图7

生：不能。
师：如果这样剪会出现刚才的哪种情况（见第352页）？
生：会出现图5的情况。
师：那第二刀能随便剪吗？
生：不能。
师：第二刀可能会剪出图4的情况吗？
生：如果第二刀剪在短的那一段中，就会出现这种情况。
师：那可能出现图5的情况吗？
生：如果剪在全长的中间就会出现这种情况。
师：那怎样剪就一定能围成三角形呢？
生：不要剪在这两点上。
师：有道理，要剪在长的那一段上，并且要超过全长的中间点。老师相信你现在一定能剪出一个充满数学味的三角形。
实时评析
学生借助上学线路图在不同的情境下去应用所学的三角形三边关系的知识解决实际问题，形成具有个体特征的方案，通过用字母表示三边关系的抽象过程对知识进行一定的改造和重组，将知识外化的同时赋予它某种更新的意义。此外，学生头脑中的联系和思考是意义建构的关键，最后一个环节的目的并不是第二次“剪”的行为，而是突出“剪”的过程中的思维提升，通过与第一次无意识剪的结果的沟通和联系，一方面解构了剪三段围成三角形的任意性，另一方面重构了三角形三边关系与实际运用之间本质的联系，这样对三角形三边关系所反映的性质、规律以及与其他（知识）要素之间的内在联系达到比较深刻的理解。
课后总评
本节课学生学习的重点是通过对三边关系的探究，在变式（这里指相关知识量的增加、质的变化及可逆思考）中一次次经历三角形任意两边的和大于第三边的内涵及外延的建构、解构与重构，同时发展与三边关系紧密相依的空间观念。因此，这节课的教学目标确定为：第一，学生通过操作，感悟研究三角形三边关系的思维方法；第二，掌握三角形三边关系的意义，根据三边关系解释生活中的数学现象，提高学生观察、思考、应用及抽象概括能力；第三，借助操作、想象与推理，建立知识与知识间的联系，培养和发展关于三角形三边关系所涉及的空间观念；第四，在教师的引导下，利用多种变式，让学生经历三角形三边关系知识的建构、解构与重构的过程，实现新旧知识的有机结合，最终达到有效地实现对三角形三边关系知识的意义建构的目的。在实施过程中，学生的学习不是对知识进行复制的过程，学生以自己原有的经验系统为基础对新的知识进行编码，通过新旧知识和经验间反复的、双向的相互作用过程，以自己独特的方式对已有的建构进行选择、修正，并赋予新知识特有的意义。学生在对新旧知识的否定之否定中经历无数个建构、解构与重构的过程，从而不断完善个体知识的意义。
异构赏析 看似“殊途”亦是“同归”
蔡凤梅
蔡凤梅，福建省小学数学学科带头人培养对象，莆田市徐国裕名师工作室成员，现任教于莆田城厢区东海中心小学。近两年，共有十几篇文章发表在《福建教育》《中小学数学》等CN刊物，曾获福建省优质课一等奖。
细细品味潘小明和丁杭缨两位老师执教的《三角形的三边关系》的两节课，虽是不同版本的教材内容，是不同风格的教学课堂，然而对教材内容的深度解读与对学生思维视角的预测却不谋而合。或小细节或大氛围，或触动或惊叹，掩卷冥思，于是乎顿悟：看似“殊途”，亦为“同归”！
一、“异”版本，“同”解读
人教版是通过学生熟悉的生活实例创设问题情境，引发学生对三角形边的关系的思考，然后让学生动手实验，探究规律；北师大版呈现实验材料，给出实验方法，提出实验目的，归纳出“三角形任意两边的和大于第三边”的结论。
潘老师这样道来：教材编写的意图显而易见是让学生经历实验探究活动，不仅归纳出“三角形任意两边的和大于第三边”的结论，而且学习科学探究方法，提高发现知识的能力。这样编写，给教师的教指出了方向，但学生对“为什么要这四组小棒试搭三角形”、“为什么每次实验都要在表中的圈内填上 ‘ <’、‘ >’、‘=’”可能很茫然。学生探究的过程很有可能成为机械地执行教师的指令，其学习的主动性、发散性思维、批判性思维等都难以得到充分发挥。
丁老师这样解读：三角形三边关系的知识既是几何知识又涉及代数范畴，其蕴涵的逻辑推理与空间观念的双重性表现了数学知识各要素之间不可分割的和谐；三角形三边关系的结论对四年级的学生来说没有很高的技术含量，难点不是三角形三边关系结论的简单复制，而是理解从“两边之和与第三边比较”的新视角思考问题的方式；学生学习的重点是通过对三边关系的探究，在变式（这里指相关知识量的增加、质的变化及可逆思考）中一次次经历“三角形任意两边的和大于第三边”的内涵及外延的建构、解构与重构，同时发展与三边关系紧密相依的空间观念。
不难看出，两位老师都能站在学生的视角上深挖教材的编排意图，不管是以建构主义理论体系来解读，还是以问题追击的方式来解剖，相同的解读就是：其一，三角形三边关系的知识不是简单地复制，也不是在教师指令性操作下的发现，而应让学生自主探究、发现、建构；其二，触发学生的认识起点，让学生从已有的经验出发，自主探究与建构起“三角形任意两边的和大于第三边”；其三，找准知识的联结点，沟通新旧知识的内在联系，灵活运用知识解决一系列的实际问题，高品质地发展学生的学习能力。
二、“异”操作，“同”动机
丁老师的课一开始，便让学生把一根吸管任意剪成三段，并让学生把剪后的三段围成三角形，激活了学生已有经验并复习“三角形是三条线段首尾顺次连结所组成的封闭图形”。学生中出现了5 种数据信息，在解释辨析中顺理成章地建立了“两边的和与第三边比较”的思维。而潘老师的课一开始是只给出两根小棒叫学生摆三角形，学生质疑：“用两根怎么能摆成三角形呢？”这里，已经是内隐着复习三角形概念的动机了，激活了学生的已知，刺激了学生的思维，吸引了学生的注意。此时，潘老师通过巧妙的一问“再配上一根多长的小棒，就能围成一个三角形？有几种配法”，引导学生自然而然地探究、发现，如果配的那根太短了接不上，太长了也接不上。学生的思维对象已经从能配几种小棒转向所配小棒长度的取值范围，从而顺藤摸瓜地确立“两边的和与第三边比较来确定第三边的取值大小”。
丁老师的“剪”、“围”与潘老师的“摆”、“画”，似是路径各异的操作，动机却是一样的，即不仅复习三角形的概念并唤醒本原的知识，更让学生在操作中感悟怎样的三条线段可以围成三角形，三角形的两边的和与第三边有着怎样的关系。
三、“异”切入，“同”问题
丁老师在课始不久，学生研究出现5种情况、初步建构“两边的和大于第三边”之后立即提出问题：“4+10>5，根据三角形两边的和大于第三边，这三条线段是可以围成三角形的。你们同意吗？”而潘老师是在学生比较清晰完整地建立起“三角形任意两边之和大于第三边”认知之后的巩固练习环节反问：“照此说来，对于第一组的小棒，我们也可以说（板书：1+3>2），因为1+3>2，所以能围成三角形？”
两位老师实质相同的逆向问题，切入的时机不一。丁老师在新课进行中，而潘老师在课尾。细分析，缘于丁老师侧重于“先破后立”，潘老师侧重于“先立后破”。两位名师都能设计这样的逆向问题，充分体现了扎实深厚的专业功底，足以体现他们关注学生的逻辑推理能力的渗透培养。
四、“异”程序，“同”建构
丁老师的教学程序先是动手操作，初步建构，通过把一根吸管任意“剪”成三段并“围”出5 种情况，在辨析各组数据之后自主初步得出“三角形两边之和大于第三边”。接着，制造冲突，解构新知，通过逆向问题“只要两边的和大于第三边就一定能围成三角形”，解构了学生原有的认知结构，并拾级而上，重构新知，引出“任意”，使得新建构起的知识变得更加严谨。在拓展应用环节，丁老师引导学生继续深化建构。从三角形三条边的简洁判断方法到三条边的长度是三个连续自然数的推理，从等边三角形到等腰三角形的勾勒，从不能围三角形的小棒的调换到三角形第三边范围的猜想，把三角形三边关系一步步引向深入，高品质地完成了第二次的建构、解构与重构，有效沟通了知识间的联系。借助上学线路图，让学生应用三角形三边关系的知识解决实际问题，通过用字母表示三边关系的抽象过程对知识进行改造和重组。此外，课尾并不是第二次“剪”的行为，而是突出“剪”的过程中的思维提升。通过与第一次无意识剪的结果的沟通和联系，学生一方面解构了“剪”三段围成三角形的任意性，另一方面重构了三角形三边关系与实际运用之间本质的联系。如此一来，在丁老师一系列的穿针引线中，学生的学习在“平衡—不平衡—平衡”的循环中不断丰富、提高和发展，清晰而深刻地建构了三角形三边关系的知识。
潘老师的教学程序：一是设疑引入，只给出两根小棒让学生摆三角形，学生生疑之时，引出问题“再配上一根多长的小棒，就能围成一个三角形？有几种配法？”；二是探究新知，主要让学生在未操作之前提出猜想，再动手验证得出结论，并对结论进一步地反思修正，使得三角形三边的关系清晰地存在于学生的思维之中；三是拓展提升，引导学生在判断中通过类比，沟通知识间的联系，进一步完善认知结构。简而言之，潘老师是通过问题情境串展开教学的，先是“再配上一根多长的小棒，就能围成一个三角形？有几种配法？”，再是“任意给出三根小棒，你一定能围成一个三角形吗？”，最后是“怎样的三根小棒一定能围成三角形呢？”。在问题的不断追问与生成中，学生完成了三角形三边关系的意义建构。
无论是丁老师的建构、解构与重构，还是潘老师的设置疑问、逐层追问、生成反问，最终在学生脑子里都能清晰而深刻地建构起“三角形中任意两边之和大于第三边”的本质意义。品罢两位名师的同课异构，总给我一种“弹绕梁之音，运入神之墨”之觉，看似“殊途”，亦为“同归”！