【课前慎思】

第一，是发现还是证明？

“三角形中任意两边的和大于第三边”与“任意两边的和大于第三边就能围成三角形”是命题和逆命题的关系。有老师指出，应该从已经构造成的三角形中去研究三边关系，我们以前的教法是在证明逆命题，需要正本清源。

我想，从已经构造成的三角形中去研究三边关系，那太简单了，是常识，小狗都知道的事情。真要证明，那大概也就是一句话的事儿——两点间的距离，线段最短。要说有难度，那是把两条边作为一个整体与第三条边去比，这是学生没有经验的。

这一教学内容，如果从结论的角度，那完全应该放到中学再学，小学四年级学了，没有下文，没有太多的用处；如果从过程的角度，让学生感受到数学学习的方法，探究的乐趣，数学的好玩，那它就是很好的“玩具”了。

因此，这节课不是在证明，而是让学生在玩中、在巩固旧知中发现新知。

第二，是用胶片还是用纸条？

第一次教学，三角形三边关系，我是给三根小棒让学生来探究。第二次教学，我想到给两根小棒，让学生剪成三根，这样“两边的和”就是一个整体了，因此，为了方便剪开，我发吸管给学生。第三次教学，我考虑到即使用很细的吸管供学生操作，其粗度还是带来了一些干扰，于是，我反其道而行，用粗吸管供学生研究。

后来，看到一位好朋友给学生一张长16厘米、宽1厘米的画了线段的胶片，让学生剪开探究，这样交流起来省事多了，学生不再纠缠于宽度了，因为画的线段基本上没有宽度。其实，没有宽度，那是不可能的，只是忽略了，或者说“疏忽”了。

恩格斯说过，人看不见紫外线，但是人知道蚂蚁看得见人看不见的紫外线，这显示了人的智慧。那么，我们是不是可以说，数学教师是拿不出一条线段的，但是数学教师知道“数学”能拿得出自己拿不出的线段，这显示了数学教师的智慧。因此，我们硬要拿出一条线段给学生去研究三角形，是否是明智之举？是否忘记了“数学”的特色？中科院院士张景中先生说：“各门科学都要进行抽象，只是数学抽象得最厉害，一直抽象到‘凡夫俗子’莫名其妙的程度。”

是选择画在胶片上的线段，还是选择粗吸管？一个是课前老师费事，课上学生省事；另一个是课前老师省事，课上学生费事。选择的背后其实是对教学理解的差异：是教师嚼好了馍喂给学生，还是让学生自己咬开自己嚼？教学是教学生学，是引导学生的思维在学的过程中爬坡，而不应该是琢磨怎样节省时间，怎样顺利地走完教的过程。教之于学，应该是开导，而不应该是剥夺。

这样想来，与其费心、费事地给学生一张画有线段的胶片，倒不如给他们一根普普通通的纸条，需要学生忽视其宽度，重视其长度，把它“想成”只有长度的线段。这，就有了“数学化”的味道。

粗吸管与小纸条，孰优孰劣？两根粗吸管只能“点对点”或者“点对边”，不可能打架似的交错，教学中会省事；而小纸条，学生在拼摆中会把两根交错起来，带来不少麻烦。那么，我们可能要思考：一个是不可能交错而没有交错；另一个是可能交错而不能交错，哪一个更具有数学教育的价值？我们的教育是要享受过程中的省事，还是要享受“浪费时间”的过程？

大道至简。简单的才是最好的。

第三，差一点点，行不行？

为什么给学生1厘米宽的画了线段的胶片，学生剪开探究，再交流起来就省事多了？因为我们觉得差一点点就没有问题了。

这是否是丢弃了促进学生发展的良好契机？没有大小的点，没有粗细的线，没有厚薄的面……现实生活中是找不到的。而放大这“一点点”是很有情趣的事情，数学就是这样的“较真”。更为重要的“较真”是要闭上双眼，睁开第三只眼。学习数学就是这样。

数量是一切变化的根据。量变引起质变的例子在数学中比比皆是。平面与圆锥面相截，截口的图形随平面与圆锥轴线的交角而变化。交角是直角时，截口是圆；交角稍变一点，截口成了椭圆；再变到一个关键点，椭圆变成了抛物线；过了这点，抛物线又变成双曲线了。

剪两根纸条中较长的一根才能围成一个三角形，一定是这样吗？让学生想一想、试一试、玩一玩。剪开点的移动，数量的变化，成与败的转换，是认识深化的过程，也是情感丰富的天地。关键点的探寻，又把学生由课内引向了课外。“成功与失败就差一点点”的感悟，或许会影响学生一生。

综合以上的思考，我制订的教学目标是——

①探索发现三角形三边关系，能判断给定的三条线段能否围成一个三角形。

②在探究的过程中，培养操作能力和空间想象能力，以及严谨求实的科学态度。

③体验探究的快乐和数学的好玩，明白“成功与失败就差一点点”。

【课堂实录】

（一）三根纸条，规范操作

实物投影出示黄、红、蓝三根纸条。

师：这里有三根纸条，如果每根纸条代表一定长度的线段，你能用这三根纸条围成一个三角形吗？（板书：三角形）

（指名学生在实物投影上演示。生将三根纸条头尾相连围成一个三角形，但有两条边的顶点没有对齐，稍稍错开，如图1所示。）

图1

师：看到三角形了吗？（学生都认同。）不过，好像不特别标准。你觉得哪里还要调整一下？

生：他应该把红边和黄边对齐。这样就可以连起来了，连起来才会有三角形。这样有缝隙的话就不叫三角形了。

师：对，三角形是由三条线段围成的。（出示一个标准的作品）你觉得这样围和刚才那样围有什么不同？

生：这样更规范，中间围成的部分是三角形。

（PPT演示放大顶点相连，并提问：这样围成的三角形实际是点和点连在一起。为什么要这样围，有没有人明白？）

图2

生：三角形是一个封闭的图形。如果按照刚才那样围，还有一个角是有空隙的，没有封闭住。

师：是的，还有一个重要的原因，纸条代表的是有长度的线段。只有点和点连在一起才完全用上了纸条的长度。这样看来，第一位小同学的围法很有价值，他启发了我们的思考，让我们学会了怎样用三根纸条来围三角形。（学生们的掌声自发地响起）会了吗？

众生：（信心满满地齐声答道）会！

（二）两根纸条，创设情境

师：请打开信封，把纸条拿出来。有几根纸条？（2根）少了，怎么办呢？把其中的一根拿出来剪一刀，一刀两段，就有了三根纸条，就可以围了。不过剪的时候，应该这样剪（图3），不能这样剪（图4）。

图3

图4

同桌两人为一组，30秒时间，围成三角形。比一比，哪组同学围的三角形

最规范，哪一大组的同学完成得最棒，开始。

（学生以桌为单位动手围三角形，教师巡视。）

师：时间到，围成三角形的请举手。第一大组没有围成，第二大组全部围成了，第三大组有一部分围成了，第四大组都围成了。让我们一起祝贺第二、第四大组！

（学生掌声稀疏无力。）

师：掌声没劲儿，有什么问题吗？

生：我发现刚才给我们的两根纸条，如果一根剪断的话就不能围。

生：我们组的问题是，把一根纸条剪断了，但是围成的图形要么是平行，要么点和点不能连在一起，不能围成一个规范的三角形。

生：我们发现的问题是有些同学把短的那根给剪断了，结果不能围成三角形，但是我们把长的那根剪断了，就能围成三角形。

师：看来我们可以提出很多问题，请看大屏幕，PPT演示：

发现问题——

大组之间的差距怎么这么大呢？

难道有了三条边，还不一定能围成三角形？

围成的，为什么围成了呢？

没有围成的，为什么没有围成呢？

能不能围成三角形与什么有关？

三角形三条边之间有什么关系呢？

师：实际上，刚才的活动为同学们提供了一个思考的空间，发现三角形三条边之间会存在一定的关系，三角形三条边之间有什么关系呢？我们一起来讨论研究。

（三）分类讨论，达成共识

师：大组之间的差距为什么这么大呢？

生：我发现有的组把短的那根线段剪断了，而没有剪长的，这样就平行了，根本没法围成三角形。

生：我发现两边之和有的小于第三边，有的等于第三边。

生：我发现有的同学剪的位置不一样，如果剪的位置不对就围不成。

生：有的组开始把短的剪断了，一看围不成就把长的剪断了。

师：哈哈哈，我发的纸条有秘密：第一大组、第三大组的两根纸条是一样长的。第二大组和第四大组的纸条是一长一短。（第一、第三大组的同学有意见，第二、第四大组的同学得意地在笑。）别生气，别生气，请思考：纸条一样长的就围不成，纸条一长一短的就围得成，这背后的原因是什么？好好思考一下，成功失败都是收获。

（学生们正在思考。）

师：先让我们来欣赏一下围成三角形的作品，看看你能发现什么？演示的时候，一边说一边做，先把纸条还原。

生：开始是这样的，明显地红的比蓝的要长。（图5）所以我们发现这是可以围成的。（图6）。

（开始围得不很标准，台下学生不断地指挥台上学生调整，最终，其他学生鼓掌表示认可。）

师：围成之后想一想，为什么就围成了呢？

生：两条之和大于第三边。

师：三角形三边之间有怎样的关系？

众生：任意两边之和大于第三边。

师：任意两边之和大于第三边。（板书）怎么知道呢？

生：我通过摆知道了，如果两根纸条长度相等的话，那我怎么摆也摆不成。如果两条纸条一长一短的话，只要我用两边之和长，就能摆成一个三角形。

生：如果两根长度相同就会重叠在一起，怎么摆都不会摆成三角形。

师：看来通过操作，我们是有体会的。我们可以从另外的角度来思考一下为什么三角形任意两边之和大于第三边吗？（课件出示：从家到学校哪条路最近呢？）

（学生纷纷表示从家直接到学校的路线最短，因为两点之间直线段最短。）

师：这样看的话，三角形的任意两边之和大于第三边和我们以前学的两点之间的距离最短是一致的。

刚才，我们研究了一长一短的两根纸条。有人说剪长的就能围成，剪短的就围不成。谁来说明一下，剪短的为什么就围不成呢？

（一学生实投演示，如图7）

图7

生：这样也能围城一个三角形，因为其中空白的部分也是点对点围成的三角形。

生：不同意你的意见，因为老师要求三条边的点和点连在一起，现在只有两个点对齐了，还有一个点没对齐。

师：对，这样围成三角形纸条的长度是不一样的了。（移动成图8）

图8

师：为什么接不上？

生：两边之和小于第三条边。

生：我是这样想，本来这条边就短，再剪短就更短了，不可能两条短的接上。

师：我们比较这样的两个作品，一长一短的两根纸条，剪长的就围得成，剪短的就围不成。这样一比较就会发现三角形三边之间有什么关系？

图6

图8

众生：三角形任意两边之和大于第三边。

师：为什么要强调“任意”？

生：如果不是任意，那么其余的两条边有可能合不上，所以要任意两条边都能合上才行。也就是说三角形的任意两条边的和都要大于第三条边。

生：我认为刚才从家到书店的例子已经说明问题了。从家到学校直着走路线最短，从家先到书店再到学校路线就长，而且从家直接到书店路线就短，从家先到学校再到书店路线就长。

师：看来大家对“任意”的理解还是很清楚的。三角形有几组两边的和？（三组）我们只看左面围成的可能印象不深，但是有了右面图形作对比，就会深刻认识到两边之和要大于第三边。这就像空气一样，我们置身其中，毫不觉察。当我们的身边没有空气了，我们不能活了，才会感觉到空气的重要。等到失去了，才知道曾经拥有过。人一般都是这样。

（有几位学生笑了。）

师：刚才有同学说两根纸条一样长的也有围成的，哪位同学来展示一下？先把两根纸条还原，看看是什么样子。

生：它们两根一样的，先把红色的剪断，结果发现他们是平行的。然后我们把蓝色的也剪短了，就围成了。

图9

生：我不同意，您刚才说只剪一根，可他们剪了两根，不符合要求。

生：而且剪了第二根长度也变了。

（生用原来没有剪短的蓝色纸条继续调整，试图围成三角形。众生表示不同意。）

师：我首先佩服你的坚持！我还佩服咱们班同学一丝不苟的态度。（板书：就差一点点），就差一点点，究竟行不行呢？

（其他学生继续提出要调整的地方，生不断调整，但是最终也没有得到其他学生的认可。）

生（终于忍不住大声说）：我认为永远也不能围上，因为两边之和大于第三边，现在这样只能平行！

生（主动走到实投前）：从这个点到那个点是这条蓝色线段的长度，如果红色线段的两个点和蓝色线段的点连在一起，就会平行在一起。

生：我们说过三角形任意两边之和大于第三边，从这点可以看出不能围成三角形。

生：你这是等于第三边，不是大于第三边。

生：谢谢大家，现在我知道了两边之和要大于第三边才能围成三角形。等于的话就不行。

师：先别走，看看能不能再围一次。比如，先把蓝色线段的两端和红色线段一端的点连起来，然后呢？

众生：把两端往下压，再压，最后就平行了。

师：举手表决吧，认为能围成三角形的？（1人）认为不能的？（几乎全部学生）弃权的？（2人）

师：应该这样，我们现在看到似乎是围成了，但是还差一点点。让我想想怎么才能说清楚呢？（做思考状，学生们微笑）学数学，往往不能太相信自己的眼睛。（好多学生惊讶地“啊——”）刘谦的魔术看过吗？眼睛告诉我们那都是真的，其实真的是不可思议。那现在你闭上两只眼睛，睁开第三只眼。第三只眼在哪儿呢？（手指眉心）想一想，如果两根纸条是一样长的，把其中的一根一刀两断，然后把它们的两端接在一起，再往下压一点，再压一点，最后怎么样？（生：平行了。）或者是怎么样？（生：接不上。）或者是（生：完全重合了。）

（教师用PPT演示学生思考过程。学生随着演示过程发现总是差一点点，围不成三角形。当所有点都准确地连在一起的时候，两条线就平行了。）

师：看来当两边之和等于第三边的时候还能不能围成三角形呢？

生：不能，因为三角形的任意两边之和大于第三边。

（四）峰回路转，突破难点

师：两根纸条一样长，一刀两段，能不能围成三角形？一定吗？为什么？

生：一定不能，因为这个时候是两边之和等于第三边。

师：两根纸条一长一短，一刀两段，剪短的能不能围成三角形？一定吗？为什么？

生：一定不能，因为这个时候是两边之和小于第三边。

师：剪长的呢？

生：能，因为两边之和大于第三边。

师：一定能吗？认为一定的请举手（几乎全举手）。认为不一定的请举手。（两人）弃权的请举手。（无人）有人觉得不一定行，请你到前面来演示一下。

（学生演示：将较长的线段只剪下一点点，并说明：剪下一点点，围不成。图10）

（一生认为能围成，并坚持围摆。在几次尝试后放弃尝试。）

师：这位同学先坚持自己的观点，当发现真的不行了，又能及时修订自己的观点，好样的！鼓掌！（生：鼓掌）为什么围不成了呢？

生：因为蓝色纸条和最短的红色纸条加在一起，根本就不大于第三边，所以围不成。

图10

生：我想请大家注意“任意”这个词。因为蓝色的那条边和最短的红色的边加在一起是小于第三边的。没有满足“任意”这两个字。

师：从刚才的过程可以看出，如果只满足一组两边之和大于第三边，行不行？同学们说得非常好，要注意“任意”两个字。一长一短，剪长的一定行吗？

众生：不一定。

师：（PPT演示，两根纸条一长一短）请想象，从这里剪开能不能围成三角形？会是什么样的呢？

（随着回顾整理的过程，学生们猜测着，欢笑着，思考着）

师：那你看看，行，行，行，不行，是不是成功和失败就差一点点啊？这一点儿在哪呢？课下思考。

师：这样的三根纸条能不能围成三角形呢？

众生：不能。

生：不能，因为两边之和等于第三边。

生：我认为不用任意，用较短的两条边之和大于第三边也行。

师：为什么用较短的两条边呢？

生：长的本来就长，不用比较，只要看两条短的比大小就行了。

师：想想，怎么改变一下就可以围成？

生：只要把短边增加1厘米。这样两边之和是9厘米，就能围成。

生：或者把长边减少1厘米。

师：剪掉0.1 毫米行不行？为什么？

生：行，因为剪0.1 毫米两边之和也大于第三边。

师：对啊，成功与失败就差一点点！

动画演示，从长边上剪掉的部分越来越少，围成的三角形从锐角三角形到钝角三角形到围不成三角形。

师：把所有围成的三角形放到一起，你有什么发现？

生：开始的三角形矮，后来的三角形高，再后来又矮了。

生：两边之和比第三边大一点，三角形就矮；大得多，三角形就高；再大，三角形又矮了。

师：是不是数学真好玩呀？孩子，世界上一切的变化往往就是由于数量上发生了变化，成功与失败就差一点点。

（五）回顾总结，点破提升

师：（PPT展示课始发现的问题）请自己说给自己听——

（学生们兴趣盎然地自说自话。）

师：孩子们，把眼睛闭起来，回想一下这节课你有什么收获呢？

生：从这节课里我学到了，三角形任意两边之和必须大于第三边。

生：我认识到要围成三角形，就差一点点也不行。

生：两根一样长的纸条，就是剪一刀也不能围成三角形。

生：我知道了——学习数学不能太相信自己的眼睛。（众生笑。）

生：如果有一条边就比另两条边的和少0.1 毫米，就能围成三角形，成功与失败只有那么一点点距离。

生：我知道了做什么事都不能只差一点点，要做到精益求精。

生：我知道了差之毫厘，谬以千里。只差一点点，以后会越差越多，就不是一样的东西了。

生：我知道了，就像十大感动华人陈香梅说的那样，干什么事情都是做了，但要看作没做到家。

生：我知道了行百里者而半九十。就是要走一百里路，走了九十里才算是一半。所以做事越是接近成功越要认真对待，就差最后一点了也不行。

师：同学们说得真好，上完这节课我也有三个收获愿意和大家分享。第一，三角形三边关系很简单，跟我们以前学的两点之间的距离线段最短是一致的。第二，三角形边的关系很有趣，不是相等，而是大于；不是一条边和另一条边的关系，而是两条边的和与第三条边之间的关系。第三，成功和失败往往就差一点点。

（本实录由易玫老师整理）

【课后反思】

学生们积极地、丰富地、生动地说出了这节课的收获，我的心里真是乐开了花。我拥有了我所追求的。

回想起在讨论两边之和等于第三边究竟能不能围成三角形的时候，我说“学数学，往往不能太相信自己的眼睛”，好多学生惊讶地“啊——”的情境，我很享受，是醍醐灌顶吗？我不知道。不过，学生总结时说出了这样的感受，说明很受用。

《孟子·告子上》说：“耳目之官不思，而蔽于物。物交物，则引之而已矣。心之官则思，思则得之，不思则不得也。此天之所与我者。先立乎其大者，则其小者不能夺也。此为大人而已矣。”这段话的意思是——耳朵眼睛这类器官不会思考，就容易被外在的事物蒙蔽。耳目接触外物，就被外物引诱了。心这一器官的功能就是思考，一加思考就能看出事物的内在本质，不思考便看不出。这种器官是上天特意赋予我们人类的。将这种大的器官首先把握好了，那么那些次要的器官便不会被外在的事物所蒙蔽了。成为君子的道理不过是这样罢了。

成为会学习数学的人，就是这样罢了。

这次，大概我是做对了一件事。

遗憾的是纸条不听话，老滑动。学生想调整的一根到位了，可是另一根又淘气地逃走了。

怎么办？增加纸条与展示板之间的摩擦力，怎么增加呢？一块平绒的布可以解决问题。

一位好朋友发来短信提醒我：纸条沾一点点水，就行。一试，真行，纸条听话了。

哈哈哈，真是简单。

哦，成功，就是多了一条短信。

【专家评论】

试析教学目标及其完善

看了“三角形三边关系”这节课的课堂实录，马上联想到华老师的那本书——《我就是数学》。记得刚刚看到“我就是数学”这个如此张扬的书名时，总觉得作者和我印象中那位为人谦恭的华老师有点对不上号，直到读过了才释然。原来他在书里说的是，孩子是从数学教师开始认识数学的。教师自身对数学的理解，与学生未来数学观的形成息息相关，教师在学生数学学习过程中做出的引导，差不多可以决定孩子们一生在数学的道路上能走多远。他高调亮出“我就是数学”，实际上是点明了数学教师应该的角色，彰显了数学教师应有的担当与责任。那么，“我就是数学”的理念在课堂里应当如何渗透和体现？华老师“三角形三边关系”这节课，在诠释教师的数学如何转化为学生的数学方面，提供了不少有益的启示。限于篇幅这里只就他在教学目标设定方面的考量，谈谈我们可以从中借鉴些什么。

1.目标需“慎思”

教学要有目标，无论目标怎么设定，当教师走进教室时，心里都要有一个清清楚楚的目标，因为这是教师的职责所在，是对教师的一个职业性要求。而对目标的把握程度，绝对关系教学质量。

其实，对有些小学数学内容的拿捏其实挺让人困惑的，“三角形三边关系”就是一例。通常的小学数学教学要从“为什么”开始，而这些“为什么”差不多都和数学能在生活中派大用场有关，无论计算、统计、图形等莫不如此。“三角形三边关系”可能是个例外，因为它虽然能派大用场，但它的用场很难在小学阶段说明白。举个例子，许多沿海国家，特别是毗邻北海的国家，在基于200 海里专属经济区的范围内，不同国家的海上疆域之间形成了相互重叠、错综复杂的局面。而事实是它们各自的疆界划分清楚，彼此之间毫无争议，这是因为在划分海上边界时所采用的办法，就是基于“三角形任意两边之和大于第三边”这个最基本的原理。没有“三角形三边关系”，今天北欧那几个国家可能会为海上边界的划定闹翻天。另外“三角形三边关系”在后续的几何学习当中，将要伴随着推理几何体系的建立反复出现。所以，无论从应用的角度还是从学生后续学习的角度，“三角形三边关系”都很有用，但想让小学生理解其中的缘由，很困难。因此，在小学讲“三角形三边关系”，其教学目标需“慎思”。

2.目标的机理

华老师的“目标”很清楚，就是要引导学生自己去发现为什么三角形三边之间有“任意两边之和大于第三边”这样的关系。他认为，如果仅从事实出发，“三角形中任意两边的和大于第三边”是“小狗都知道的事情”。尽管这样一个内容在后续的推理几何中可能反复出现，但在小学设置这样一个教学内容的初衷如果只在了解事实，其教育价值将大打折扣。所以，他把小学里“三角形三边关系”的教学重心设置为关系，在教学实施上把“三角形三边关系”处理成一个使小学生有机会了解关系、发现关系的契机。正因如此，华老师的这节课从一连串“为什么”开始，把这个与关系有关的数学内容纳入小学生认识世界的轨道，让课堂里的数学走上一段“经历、体验、探索”的过程。

我也听过一些“三角形三边关系”的课，一般也都是从“为什么”开始，但有时候会关注“事实”是什么多一些，但由于“两边之和大于第三边”这个事实接近常识，加之关于“两边”的任意性的讨论多少有些困难，所以或多或少会留下些许“不解渴”的感觉。有时候也会在课后听到这样的疑问：明明5分钟就能搞定，为什么还要“小题大做”？的确，“灌输”有5分钟是够了，但了解一个事实和通过探索去发现为什么会有这样的事实，其过程、结果和教育意义有很大区别。为了使读者能弄清楚我的想法，这里结合华老师的教学实践，再说说教学目标的机理及其重要性问题。

说到教学目标，大体可分为两类：一类是知识性目标或知识导向型目标；另一类是能力性目标或能力导向型目标。无论知识性的目标还是能力性的目标，或者如《数学课程标准》所言的“四位一体”（知识技能、数学思考、问题解决、情感与态度）目标，在数学课程内容的设置上一般都是共用同一个知识载体。知识性目标着眼于载体的事实性、陈述性，一般要通过“了解、理解、掌握、运用”等行为达成。能力性目标则着眼于对载体的理解与体味，一般要通过“经历、体验、探索”的过程来实现。“三角形三边关系”作为载体，同时承载着掌握知识与培育能力的双重价值。由于“两边之和大于第三边”这一事实的直观性，华老师就把能力性目标设置为本次课教学的主要目标，把通过“经历、体验、探索”发现关系，设定为这节课的主题，这是华老师这节课的要点。他对要点的把握或许出于经验，我更倾向于这是他课前“慎思”的结果。针对“三角形三边关系”而言，他这个“轻”结果、“重”关系的目标考量，把认识一个陈述性事实的教学，导向了从直观出发，通过观察、操作、思考、互动等一系列教学行为和谐有序的铺陈、延伸，引导学生发现和从不同角度确认为什么三角形三边之间有“任意两边之和大于第三边”这样的关系的过程。这样的“慎思”真的是“思”到了点子上，从效果看，既达成了认识一个几何事实的目的，又引导学生认识了关系，不仅拓展了学生的思考和活动空间，也赋予一个经典几何知识以新的教育活力。

3.完善目标是改进教学的首要问题

可能有读者会觉得，这节课的教学处理、包括教学目标的设定，真的如你所说有那么重要吗？其实，不是重要不重要的问题，是需要！虽然数学课程改革已经历十个年头，今天我们还是感到太需要这样的教学了！

现实是，由于“了解、理解、掌握、运用”的可测试性，知识性目标理所当然地成为确定教学目标时的首选。而“经历、体验、探索”侧重于超出数学之外并可以普遍迁移的能力性目标，追求那些似乎是看不见、摸不着、甚至可能“够”不到的“兴趣、好奇心、猜想、探究”等，所以常常会在确定目标时似有若无。于是，无论推进改革的力度有多大、“四位一体”的目标喊的有多响，知识的难度和数量仍然是教学目标的主体，固定时间内完成任务量的多寡还是判断教学是否有效的标识，拓展出供学生自己自由想象、思考和互动的空间依旧要假以时日，那些虽然好考，但用处实在不大且在后续的学习中难以为继的内容总是被过度关注，“考试教育”的阴影挥之不去。虽然人人都意识到了喜欢和好奇确实重要，但面对该如何“经历、体验、探索”时，又都多少有些举步维艰。而面对目标的缺失，常常听到的解释是对考试瓶颈作用的无奈，对社会生活中常见的急功近利现象的抱怨等。其实大家都清楚，无论如何“外因是变化的条件，内因是变化的根据”。解决能力性目标缺失问题的关键在于数学教学自身的完善，在于把教学目标蕴含的理想转化为具体教学行为的、实实在在努力。这就是华老师“三角形三边关系”这节课的重要之所在！

完善目标是当前改进教学面临的首要问题，而完善目标离不开“慎思”，离不开教师的职业意识和责任心，更离不开使中国早日成为一个创新型国家的使命感。还是那句话，都做到华老师这样不容易，但不学学华老师，就有些可惜了。

（中央民族大学教授 孙晓天）