长方体的体积在浙教版教材中出现在五年级下册（第十册）中，学生学习这部分知识一年后对体积的认识如何？计算公式掌握得如何？是否还能解决求长方体的体积问题和其他的变式问题？这些问题对于教师在教学体积和体积单位以及长方体的体积的起始阶段该如何设计和实施课堂教学，如何设计练习都有很大的影响，因此有必要在教学后对学生进行后测以便了解学生的掌握情况，更好地设计教学计划，更好地实施和组织课堂教学。
思考
如果请你来对学生进行后测，你想通过后测了解哪些情况？你会怎样来设计后测问卷？请你试着写一写。
5.1 后测的设计、对象与过程
后测的设计与目的
后测以练习的形式出现，包括填空题、问答题、计算题和应用题四种题型。测试在轻松的环境中进行，除要求独立完成外，没有对学生提出其他要求。
后测的对象
后测的对象为使用浙教版数学教材的六年级学生，共93人，一年前学习过“长方体的体积”内容。
后测的过程
测试前没有要求学生对测试内容进行复习，在学生不知情的情况下，进入教室发放试卷。为避免引起学生的紧张情绪，告知学生只是要了解学生掌握的情况，以便更好地复习这方面的知识。
测试时间为25分钟，要求学生独立完成，不会做的可以不做。
测试结束后，我们对试卷进行了批改整理。对每一题的测试情况进行了归类整理和分析，以期找到学生的共性和个性问题，并在当天对有典型错误和特殊解题方法的学生进行了个别访谈，以便了解学生的真实想法，对课堂教学的设计和实施进行改进。
5.2 后测的结果与分析
有多少学生能写出长方体的体积计算公式？
我们对学生回答后测卷中第1题和第2题（详见附录7）的结果统计如下。（见表5-1）
表5-1 后测数据统计表（一）

从后测数据来看，大部分学生能正确写出长方体和正方体的体积计算公式，个别学生有错误。长方体的体积公式写错的4个学生都是将长方体的体积计算公式写成了长方体的表面积计算公式。正方体的体积公式写错的7个学生中，有4人是混淆了正方体的体积和表面积计算公式，有3人是将棱长写成了边长。应该说，学生对于公式整体掌握得比较好，公式也比较便于学生的记忆。
写对的学生都是将长方体和正方体的体积计算公式分别表述为“长×宽×高”和“棱长×棱长×棱长”，而没有一个学生表述为“底面积×高”。我们翻阅了人教版、北师版、青岛版、苏教版、西师版、浙教版六个版本的教材，发现除了西师版没有出现“底面积×高”的体积计算方法，其他五个版本的教材都出现了这种计算方法。同时这几套教材在课后练习中，用长、宽、高求体积和用底面积求体积的习题量基本一致，那为什么学生在写体积计算公式的时候，都写了前者，而忽略了后者呢？我们通过对学生的访谈和对一些课堂教学设计的分析，试图找到产生该现象的原因。
一是学生认为长、宽、高是长方体的基本要素，且是可视指标，因此没有考虑还可以根据底面积和高去求体积。
二是学生受面积公式的影响，认为长方形的面积=长×宽，所以想到长方体的体积=长×宽×高。
三是动手实践发现的结论更利于学生的记忆。各个版本的教材和不同的教学设计往往都安排了动手操作，让学生发现长、宽、高和体积单位之间的关系，发现体积单位个数和体积之间的关系，从而得到长方体的体积=长×宽×高。而底面积×高是在前者的基础上根据“长×宽=底面积”的关系推导而来，不如前者印象深刻。
有多少学生能正确计算长方体的体积？
我们对学生回答后测卷中第4题（详见附录7）的结果统计如下。（见表5-2）
表5-2 后测数据统计表（二）

从后测的数据可见，大部分学生能运用公式计算长方体的体积。算错的6个学生中，有4人混淆了表面积和体积，分别求出了长方体和正方体的表面积，有2人算式正确，计算错误。
学生能否根据已知条件计算长方体的体积？
我们对学生回答后测卷中体积计算题（详见附录7）的结果统计如下。（见表5-3）
表5-3 后测数据统计表（三）

在后测卷中有四道题目涉及求体积，分别对应了上述四种不同的求体积的方法。从正确学生所占的比例来看，利用“长×宽×高”求长方体体积和利用“棱长×棱长×棱长”求正方体体积这两种方法正确人数最多，有将近15%的学生在利用“底面积×高”求长方体体积中出现错误，主要错误原因有计算错误和审题错误。对于根据周长求底面边长再来求正方体的体积，有30%左右的学生无法解决这个问题，由此也暴露出学生综合解决问题的能力比较欠缺。有些学生直接把底面的周长当作底面积乘高，有些把底面周长当作底面边长先求底面积再来求体积。
学生能否解决长方体体积的逆向题？
我们对学生回答后测卷中第6题和第7题（详见附录7）的结果统计如下。（见表5-4）
表5-4 后测数据统计表（四）

在后测卷的所有习题中，这两道题正确的百分比相对较高，这和前测的结果完全一致。通过对学生的访谈，发现大部分学生能根据长方体的体积公式，说出求宽的方法和求底面积的方法。
学生能否利用体积知识解决实际问题？
我们对学生回答后测卷中第9题（详见附录7）的结果统计如下。（见表5-5）
表5-5 后测数据统计表（五）

这一题是前测卷和后测卷中学生增量最大的一题，前测中正确率为0，后测中有接近70%的学生能解决这个问题，还有将近20%的学生算式列对了，错在计算或单位的换算上。学生在解题中主要有两种方法：（1）70×50×50-50×50×50；（2）（70-50）×50×50。在正确的学生中，有81.25%的学生采用了第一种方法，有18.75%的学生采用了第二种方法。
思考
阅读了学生的后测情况统计表，你得到了什么启示？
5.3 后测对教学的启示
教师要重视图形知识之间的迁移作用
从学生的后测以及个别访谈中我们发现，长方形面积计算的学习对学生学习长方体的体积起到了正迁移作用。长方形的面积和长、宽有关，由此学生想到长方体的体积可能和长、宽、高有关；长方形的面积是长与宽之积，由此学生猜想长方体的体积可能是长、宽、高之积。这些原有的知识与经验都对学生的体积学习产生了正向的迁移作用。事实上，在整个小学阶段的图形教学中，不仅不同知识点之间的学习存在着迁移作用，学生在前期学习中积累起来的数学思想方法对后续学习的迁移对学生起到了更大的帮助作用。比如在长方形的面积学习中采用了猜测、操作、观察、想象、发现、归纳等方法来探索面积的计算公式，在长方体的体积计算教学中，学生也能运用这样的过程来探索，解决实际问题。
教师要帮助学生建立初步的度量概念
随着年级的升高，学生逐步从长度的度量过渡到面积的度量再过渡到体积的度量，经历了一个“线—面—体”的过渡，不变的核心是利用基本单位来度量。但是我们发现，即使学生经历了长度的度量和面积的度量，在探索长方体的体积时，还是有学生缺乏用统一的单位来度量的意识和概念，不知道应该怎样来探索长方体的体积计算方法。因此，教师在教学中并不能为教而教，学什么教什么，更应当重视知识背后的思想和方法。如果在每一次的量与计量的教学中，教师都重视帮助学生建立度量概念，那么到了探索长方体体积计算方法时就容易多了。
教师要注重培养学生的空间观念
图形与几何部分的学习需要学生做到心中有形、心中有体，这就需要教师在教学中培养学生的空间观念，培养学生的空间想象。后测的结果显示，部分学生无法解决变式的问题，比如利用底面（正方形）周长和高求体积等，归根结底还是缺乏空间想象能力，不清楚每一个数据表示的含义，无法沟通数据之间的联系，在解题过程中，不能将文字和图形沟通起来。因此，在教学中，教师要多创造机会让学生动手实践、掌握特征，多进行空间想象、沟通关系，使得知识点的学习和空间观念的培养相辅相成、相得益彰。