探寻起点　直面本质——夏青峰教《分数的意义》

《分数的意义》是第二学段“数与代数”领域的内容。“分数”是这一学段教学中的重要内容，“分数的意义”是学生学习与“分数”有关的所有内容的核心概念，同时也是比较抽象的数学概念。对于重要的数学概念，教材一般是采用逐级递进、螺旋上升的安排方式，分多次完成对分数的认识：“分数的初步认识”一般安排在第一学段，“分数的意义”一般安排在第二学段。《分数的意义》是让学生在对分数有了初步认识的基础上，进一步系统地认识分数，其重点是把第一次的初步认识进一步扩展，其特点是：(1)单位“1”由“一个”拓展到“一些”；(2)给出分数初步的定义性概念。夏老师在充分唤醒学生“已经知道了什么”的基础上，围绕分数的本质，抓住学生认知的难点，组织学生进行深度体验。其经典之处，体现为他对课堂教学结构的重新思考，以及从多种角度认识单位“1”意义的扩展，通过理解部分与整体的关系以及具体与相对的关系，实现了分数与整数的交融，并且对分数意义作了“无痕”的概括。
一、课前交流
师：同学们，今天夏老师将和大家一起度过40分钟，你们欢迎吗？
生：欢迎！
师：是真欢迎还是假欢迎？
生：真欢迎！
师：是真欢迎的话，老师建议，同桌之间互相笑一笑，好吗？(学生都不由自主地笑起来，台下部分教师也发出了笑声。)
师：今天，还有来自全国四面八方的近千名老师，来到了我们的学校，和同学们一起学习。作为学校的小主人，我们想对客人们说些什么吗？
生：欢迎老师们来到我们学校。我们的大门永远敞开，欢迎您——(台下教师自发鼓掌。)
师：夏老师也代表全体老师感谢同学们的热情欢迎。课前，你们的数学老师跟我说，今天在座的各位，个个都是头脑聪明、思维积极、发言大胆，你们是这样的吗？(学生含笑点头。)
师：好！耳听为虚，眼见为实。老师要考考大家。(屏幕出示一张青蛙素描图。)
师：你看见了什么？
生：蟾蜍。
师：是青蛙啊。(众笑。) 哦，我画的是青蛙，你说的是蟾蜍啊。
师：不反悔吗？(转动图片，青蛙图变成了马头图。)
师：你又看到了什么？
生：我看到了一个马头。
师：看来，从不同的角度看，可以看到不同的事物。(再出示一张图。)
师：看见了什么？
生：一个人在吹喇叭。
生：一个大鼻子的人在抽烟。
师：有没有看到一张漂亮女孩的脸？
生：没有。
生：我看到了。
师：不同的角度可以看到不同的东西。
师：我再问大家一个非常简单而又非常难的问题。不用举手，直接抢答。1加1等于几？
生：等于2。
师：等于2？错了。你看(左右手各拿一块橡皮泥)，这是一块橡皮泥，这也是一块橡皮泥，合在一起——看，还是一块橡皮泥。所以说，1加1等于1。你们老师教错了。(众笑。)
师：不仅1加1等于1，2加3、7加5等都等于1，你们相信吗？
生：相信。
师：相信？那你说说3＋5，怎么会等于1的？(学生回答。)
师：从不同的视角看1，它也有不同的含义。
师：今天我们学习的内容是五年级学生学习的，可是你们才三年级刚结束，你们有信心学好今天的内容吗？
生：有！
师：真好！有信心，还要有好方法。老师在面对一个新知识的时候，通常会这样想：哎，这个知识我已经知道些什么？我还想知道些什么？再看看书，它上面又能告诉我些什么？我还有哪些地方不明白。老师觉得这种方法还是蛮管用的，不妨我们这节课也来试试，好吗？
二、整体感知
师：咱们今天要学“分数的意义”。分数，大家原来学过吗？
生：学过。
师：那好，把你所知道的分数知识说出来，让我们大家分享分享，好吗？(屏幕打出：“关于分数，我已经知道了什么？”)
生：分数有分子、分母和分数线。
师：好的，你能举个例子吗？(学生举例。)
生：把一个苹果分成2份，取1份就是 。(学生纷纷举手。)
师：大家都想说？你能再说一遍吗？
生：把一个苹果分成2份，取其中的1份就是 。(学生纷纷反对。)
师：呵呵，你再说一遍。
生：把一个苹果平均分成2份，取其中的1份才是 。
师：对，平均分，非常好，请坐。关于分数，你还知道什么？
生：我还知道了分数的大小。比如： 。
生：我还知道分母表示平均分的份数，分子表示取的份数。
师：大家知道的可真不少。我也想说说我所知道的一些知识。(投影依次出示下面4幅图。)

师：同学们认识这些数吗？(学生有些点头并说 ，有些摇头。)
师：同学们，其实这四个数都表示 这个分数。早在3000多年前，古埃及人就用像嘴巴形状的图形来表示分数，早在2000多年前，咱们中国人用算筹来表示数，这样就是 ，后来古印度人发明了数字，再后来阿拉伯人发明了分数线。分数就成了现在这个样子。
师：好啦！咱们说出了自己知道的知识。今天开始，我们又要学习分数，关于分数，我还想知道什么呢？(屏幕打出：“关于分数，我还想知道什么？”)
生：我想知道最大的分数是什么？
生：分数能乘除吗？
生：分数可以做应用题吗？
生：为什么会有分数？
师：真好！同学们的求知欲很强。有的问题，待会儿咱们通过讨论交流，可以在本节课解决；有些问题，我们可以在课外通过自学课本、阅读课外书、上网查资料等方法自己去探索解决，好吗？不管怎样，咱们带着问题去学习，就非常的好。
师：请大家阅读一下课本，看看上面的内容，哪些我已经明白，哪些我还不太明白；通过看书，我又学会了哪些新的知识？(屏幕打出：“自学课本后，我又学会了哪些新的知识？”学生看书。)
师：通过看书，我们又获得了哪些新的知识呢？
生：我知道了分数的产生。就是当人们在测量和计算的时候，往往得不到整数的结果，因为需要，就产生了分数！
师：Very good! 其他同学也懂得了这个道理了吗？
生：懂了！
生：我还知道了分数的意义！
师：噢？那什么是分数的意义呢？
生：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数。
师：真不错！还有吗？
生：我知道了，不仅可以把一个东西平均分，还可以把一些东西平均分，可以把它们看成一个整体。
师：8只苹果可以看成一个——
生：一个整体。
师：20只苹果呢？
生：也可以看成是一个整体。
师：还有吗？
生：分数线下面的是分母，上面的是分子。
师：同学们的自学能力真的很强，把今天的知识都掌握了。那你们还有什么不太明白的地方，提出来大伙儿讨论讨论，好吗？(屏幕打出：“我还有哪些问题不明白？”)
生：什么叫单位“1”？
师：是啊！什么叫单位“1”？谁来解答这个问题。
生：单位“1”就是把所有东西都可以看成是一个单位。
生：单位“1”就是把要分的东西都用“1”来表示。
师：大家同意他们的回答吗？
生：同意。
生：分数线下面的数为什么叫分母？
师：对呀！干吗叫分母呢？
生：就像你的名字叫×××一样，它只不过是一个名称，随便取的！
师：但是有一点，先有分母才有分子，有了分母才会有分子！
……
三、深入体验
师：同学们对分数的知识已经有了一定的了解。为了检测自己究竟掌握得怎样，老师这里带来了一个“闯三关”的练习，我们试试好吗？
第一关：猜一猜
1.屏幕出示图1
图1

师：阴影部分可用什么分数表示？
生： 。
生： 。
师：怎么都认为是 呢？
生：我把这个长方形平均分成3份，阴影部分是这样的1份，就是 。(屏幕显示三等分线，如图2。)
图2

师：那也就是说，这里的 是表示？(学生说，教师完成下面板书“把一个长方形平均分成3份，表示这样1份的数。”)
图3

2.屏幕出示图3
师：阴影部分又可用什么分数表示？
生： 。
师：这次不是 ，但已经很接近正确答案了。
生： 。
生： 。(屏幕显示八等分的虚线，如图4。)
图4

师：这次能说出是几分之几了吧？
生：我认为是 ，因为它把这个圆平均分成8份，阴影部分占了其中的3份。
师：好的。那反过来说，这里的 就是表示？(师生共同完成板书“把一个圆平均分成8份，表示这样3份的数”。)
3.屏幕出示图5
图5

师：露出的部分是一个整体的 ，这个整体该是个什么样子呢？你能大概地把它画出来吗？(学生画。)
师：谁愿意把你的作品与大家分享？(展示学生作品如右下图)可以这样画吗？

生：可以。因为这里一共有4个小三角形，露出来的是1个，就是它的 。
师：还有不同的画法吗？(学生纷纷展示自己的作品，如下图。)

师：判断这些图形是否符合要求，关键看什么？
生：关键看是否一共画了四个三角形。
师：怎样的四个三角形？
生：和露出来一样的四个三角形。
师：好。看大家是否猜中了。这个整体究竟是什么呢？(屏幕出示右图。)

生：老师，不对。这四个三角形不连在一起，不是一个整体。
生：我觉得是对的。虽然它们不连在一起，但是我们可以把它看成是一个整体。
生：我觉得它不能看成一个整体，因为一个三角形就是一个整体，而这是四个三角形。
生：我认为它是一个整体。比如，一个人，我们可以看成是一个整体；一组人，我们也可以看成是一个整体；一个班，也可以看成是一个整体。(学生经过交流与辩论，最后大家基本统一了意见。)
师：正如大家交流的结果那样，四个三角形也可以看成一个整体。(屏幕出示如右图。)

第二关：想一想
师：把6支铅笔平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔数是？
生：3支。
师：把8支铅笔平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔数是？
生：4支。
师：把一盒铅笔平均分给两位同学，每位同学得到铅笔数是？
生： 。
师：为什么不说几支了呢？
生：因为不知道有几支铅笔。
生：我们可以把它看做一个整体。
师：每位同学得到的铅笔数就是这个整体的？
生：2份中的1份。
师：平均分成2份后的1份，就可以用？
生： 来表示。
师：真好！如果把它平均分给5位同学呢？10位呢？50位呢？(学生回答。)
师：可是这个文具盒里只有6支铅笔。(拿出6支铅笔。)现在把它平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔数还能用 表示吗？
生：能！
师：为什么还能呢？这不是3支了吗？
生：因为这也是2份中的1份。
师：那还能用3支表示了吗？
生：能。
师：它既能用 表示，又能用3支表示。那这 和3支是什么关系呢？
生： 也就表示这里的3支。
生：也就是说，3支铅笔占6支铅笔这个整体的 。
师：如果把8支铅笔平均分给两位同学，每位同学得到的铅笔数还能用 表示吗？
生：也能用 表示。
师：3支可以用 表示，4支也可以用 表示，为什么？
生：因为3支是6支的 ，而4支是8支的 。
师：真好，整体不同， 所代表的铅笔支数也就不同。如果是100支铅笔呢？1000支铅笔呢？5吨苹果呢？
师：怎样拿出这些铅笔(6支)的 呢？(学生回答略，教师引导时，突出分子2是表示2份而不是2支。)
师：这里有三个粉笔盒，里面放了一些粉笔。老师从第一盒中拿出1支，就拿出了整盒的 ，这盒粉笔一共有几支？老师从第二盒中拿出2支，就拿出了这盒的 ，这盒粉笔一共有几支？老师从第三盒中拿出3支，也拿出了这盒的 ，这盒粉笔一共有几支？请你想一想，画一画。

(学生独立练习，然后交流，主要画法如下。)

师：为什么第一盒是1支1支地画，第二盒是2支2支地画，第三盒是3支3支地画呢？
生：因为它的每份数分别是1支、2支、3支。
师：这三个 ，有什么相同点和不同点呢？
生：它们都表示平均分成5份，而拿出了其中的1份。
生：它们粉笔的总数不同，所以每份数也不同。
……
第三关：分一分
师：同学们手头上都有12根小棒。根据老师提供的分数，能拿出它的一部分吗？
屏幕上显示：拿出12根小棒的 
首先出示： 
有些学生马上举起了1根小棒。
师：大家想想看，举起1根小棒，对吗？
生：不一定对。如果是分母是2，它应该就是6根小棒。
师：很好！这里的1，是表示1份，还是表示1支？
生：1份。
屏幕相继显示： 、 、 、 、 。学生拿出相应的小棒支数。
屏幕再显示： 
师：现在能拿吗？
生：不能。
师：虽然不能拿，但是我们可以做一件事。什么事？
生：把12根小棒平均分成6份。
生：每份是2支。（屏幕相继显示： 、 、 、 、 、 。学生拿出相应的小棒支数。） 
师：同桌同学试试看，一个说分数，一个拿小棒，看谁反应快。
四、抽象概括
师：在刚才的学习过程中，出现了好多分数。咱们再来说说它们所代表的意思。（指黑板上的 、 、 、 等，让学生分别说说它们代表的意义，教师在黑板上写出“ ”。）
生：把一个物体平均分成7份，表示这样的5份的数。
生：把一盒铅笔平均分成7份，表示这样的5份的数。
生：把一个整体平均分成7份，表示这样的5份的数。
师：到底把一个什么平均分呢？我们能不能用一个词概括一下？
生：用一个单位。
生：用一个整体。
师：反正都是一个什么！就用“1”吧！书上称为——
生：单位1(教师在相应位置板书单位“1”)。
师： 。学生说出意义。教师再出示“ ”。
生：把单位“1”平均分成……(这里有几种不同的声音出现)表示这样的3份的数。
师：平均分成的份数不确定，用什么词来概括？
生：若干份。(教师板书，学生完整说一遍意义。)
师：出示“ ”谁又能说说它所表示的意义呢？
生：把单位1平均分成9份，表示这样若干份的数。
师：真好！用若干份来代替这不确定的份数。可是好像与前面有重复的感觉。能换一个词吗？
生：几份。
师：好的，就用这个词。(教师板书，学生齐读。)
师：再出示“ ”怎么样，再说说！
生：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的1份或者几份的数。
师：这就是分数的意义！齐读一遍。
师：自己随意写两个分数，同桌互相说说它们所表示的意义。(学生说。)
师：大家顺利闯过了三关。最后，咱们再来一次比赛，看谁说得又多又好。(师生交流。)