在操作情境中经历分数意义的构建过程——以《分数的意义》教学为例

执教：管小冬 评析：孙丽谷
上课背景
2004年，我代表南通市参加了江苏省小学数学优质课评比。其时，新课程改革刚刚推行不久，第二学段仍然使用苏教版大纲教材，我执教的《分数的意义》这一内容就是属于当时苏教版大纲教材第十册的内容。
当时的教材是在学生已经认识到把一个物体、一个计量单位平均分得到分数的基础上，通过例题引导学生认识到可以把一些物体看做是一个整体进行平均分，从而得到分数。并在此基础上将平均分的对象——“一个物体”、“一个计量单位”、“一个整体”归纳为单位“1”，从而建立起分数的意义。学生对把“一个整体”作为平均分的对象和对单位“1”的理解是本课教学的难点。分数意义的学习是学生理解生活中事物间纷繁复杂的数量关系的基础。
历经校、区、市、省的层层选拔，我的教学预案也几经修改。时至今日，教材已经发生了很大的变化，苏教版课程标准实验教科书对于“一个整体”也提前到三年级下册进行渗透，对分数的归纳仍然放在了五年级下册中。重新审视当时参赛的最终执行教案，仍然觉得历经几度推敲、打磨，其中的不少教学环节竟然与后来苏教版课程标准实验教科书的教学思路相一致，由此，我感悟到好的教学过程就是让儿童在切合的、优化的情境中不断完善自身数学模型的过程。
初始设计
分数的意义
教学目标：
1.在具体情境中认识、理解单位“1”的含义，掌握分数的意义及分子、分母的意义。能通过自己的操作创造分数。
2.能根据具体情境解释分数的意义，能有条理地解释问题解决的思考过程。
3.能用分数进行简单的表述和交流，获得与同伴合作探索和相互交流的体验。能主动地参与数学活动，感受数学与生活的联系，树立学好数学的信心。
教学重点：分数意义的归纳与单位“1”的抽象。
教学难点：把多个物体组成的一个整体看做单位“1”。
教学准备：8个橘子、一个果盘、一块布，每小组10个回形针、6块糖、12根小棒、16个硬币，“《分数的意义》的研究报告”。
教学过程：
一、导入
同学们，在四年级时，我们就对分数有了初步的认识。能说说，你都了解哪些有关于分数的知识吗？
学生回答。（分数的产生、分数的意义、分母、分子、分数线等。教师选择其中一个分数，写在黑板上，并选择适当的图出示在黑板上）
看来，大家知道的还真不少。下面老师想考考大家。
二、单位“1”的抽象
1.出示一个装有橘子的果盘，果盘上用布盖着，学生能看到橘子，但无法看到橘子的个数。
（1）老师这里有一盘橘子，要平均分给两个人，给小红1份。你能说说小红分到多少个橘子吗？（不能，因为不知道橘子的个数）那能换个方法说
说小红分得多少橘子吗？（小红分得这盘橘子的 ）为什么是 ？（把这盘橘子看做一个整体，平均分成2份，小红分得了其中的1份，所以是这盘橘子的 ）
（2）如果要平均分给四个人，你能想到什么呢？
[设计意图：用布盖着的果盘，意在促使学生在具体个数不可知的情况下，将果盘内的橘子看成一个整体进行平均分。]
2.通过刚才分橘子的游戏，我们得到了 、 、 、 这样几个分数。想一想，我们是怎样得到它们的呢？如果这不是一盘橘子，而是一堆糖，一堆小回形针、一堆小棒、一堆硬币……你还能通过不同的分法，得到不同的分数吗？
（1）请大家利用手中的材料先分一分，然后完成研究报告的第一部分——“分数我制造”。操作时请大家注意这样几点：
①每人选取一种材料，分一分，看看能得到哪些分数。
②说一说你是怎样得到这个分数的。
③请一位同学负责记录研究结果。
④独立操作，积极发言，尊重他人。
（2）学生动手操作，教师巡视并进行辅导。
（3）学生以组为单位进行交流。
老师刚才注意看了一下，大家“制造”的分数还真不少？谁愿意上来给大家演示一下你“制造”分数的过程？大家注意听，他的分法跟你有什么不同？待会儿可以补充！（每样东西各请一位同学上台演示，其余同学在下面补充）
[设计意图：通过具体的操作，让学生逐步适应、理解在平均分得到分数的过程中，还可以把许多物体看做是一个整体进行平均分，并通过自己的操作初步感悟平均分的份数、每份的数、总数之间的关系。]
3.抽象出单位“1”。
（1）同学们的分法很多，制造的分数也不少，演示得更是精彩。刚才老师也把这四种不同的东西分了分，但只得到了一个分数，这是怎么回事呢？
（都是把这些物体看成是一个整体，平均分成了4份，取了其中的1份）
看来，把“分的对象”平均分成4份后，表示这样的一份，用什么分数来表示？（ ）与平均分的对象是什么有关吗？（没有关系）那与什么有关系呢？（与平均分成的总份数和要表示的份数有关）
（2）如果不用刚才的材料，你还能用其他的东西表示出 吗？（学生回答）
（3）刚才同学们举了很多表示 的例子，从大家的例子中也可以很清楚地看出，分数 的获得只与什么有关？（只与平均分成的总份数和要表示的份数有关）跟什么无关？（跟平均分的对象是什么无关）
（4）既然这样，我们就可以把这些“平均分的对象”，如一个物体、一个计量单位或许多物体组成的一个整体，起一个统一的名字叫单位“1”。（板书）为了区别于自然数1，我们给它添上引号。
为了帮助大家更好地理解单位“1”，老师还编了一首儿歌。
一块大饼一个梨，
一吨稻谷一克米，
一片树林一群鸡，
都可看做单位“1”。
你从儿歌中找到了哪些单位“1”？
想一想，除了上面举出的这些事物可以表示单位“1”外，还有哪些事物可以用来表示单位“1”呢？（学生回答）
小结：这个单位“1”可真特殊，它可以小到1 厘米，也可以大到一项工程，它可以少到1块饼，也可以多到一群人甚至整个地球村的人。
（5）找单位“1”练习。
①一块饼，小明吃了它的 。
②一根1米长的绳子，用去它的 。
③图书角共有100本书，其中 是第一组捐的。
④桌上有16枚棋子，小刚拿走了其中的 。
⑤这个星期食堂买来500千克白菜，已经吃了 。
[设计意图：通过对比、观察、分析，得出分数的产生过程与平均分的对象无关，与平均分成的份数和要表示的份数有关。同时，以儿歌的形式帮助学生理解单位“1”的意义。]
三、分数意义的获得
1.既然单位“1”表示平均分的对象，那你能用一句话来概括地说说 表示什么？（把单位“1”平均分成4份，表示这样的1份）
说得真好，这里的单位“1”就把我们刚才想到的那些平均分的对象都包括在里面了。
那什么叫分数呢？
（把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫分数。）
（学生回答时教师板书）
小结：这就是分数的意义。（板书课题）
2.你觉得这里面哪几个词比较重要？（平均分，不说平均分还可以说什么？等份？分成几等份也就是平均分）
3.说说下面各分数的意义。
（1）一块饼，小明吃了它的 。
（2）一根1米长的绳子，用去它的 。
（3）图书角共有100本书，其中 是第一组捐的。
（4）桌上有16枚棋子，小刚拿走了其中的 。
（5）这个星期食堂买来500千克白菜，已经吃了 。
[说明：虽然已经概括出了单位“1”表示平均分的对象，但学生在归纳分数的意义以及之后具体语境中分数意义的表述中仍然存在很大的困难。]
四、探究分子、分母表示的意义
1.黑板上这个分数 ，分母分子分别是——？能说出这个小短横线的意义吗？（学生回答）
2.老师这里还有几个特殊的分数，你能说出它的意义吗？
（1）出示 。这个分数的什么不知道？（分母）那怎么说它表示的意义呢？（把单位“1”平均分成若干份，表示这样的7份）
从他的回答中，你明白分母表示的意义吗？（分母表示把单位“1”平均分得的份数。板书）
（2）出示 。谁会说这个分数表示的意义？（表示把单位“1”平均分成8份，表示这样的几份）
这次，你又明白了什么呢？（分子表示有这样的多少份。板书）
（3）出示 ，谁能说出这个分数的意义。听明白了吗？他说的就是……（分数的意义）
对，让我们看着这个特殊的分数，一起回忆一下分数的意义。
五、总结
学到这儿，我们来交流一下，今天你最大的收获是什么？还有什么疑问吗？
六、分层练习
下面，我们就用今天学习的知识来解决几个问题。
1.快速报答，用分数表示下面各图中的涂色部分。




2.仔细推敲。（用下面的分数表示图中涂色部分，对不对？）




3.点击生活。（说说下列每句话中分数所表示的意义）
（1）在雅典奥运会上，我国体育健儿共夺得32枚金牌，占金牌总数的 。
（2）中国用占世界 的耕地养活了占世界 的人口。
（3）南通市土地总面积约占江苏省的 。
磨课研讨与反思
一、反思与提升
初次执教下来，感觉整节课中分数意义构建过程的脉络还是比较清楚明晰的，尤其是让学生自己动手通过分一分、写一写、说一说来创造分数这一环节对于学生分数意义的构建过程有很大的帮助，有关单位“1”的儿歌新颖有趣，适合这个年龄段儿童的认知水平。但在整节课的学习过程中，学生在分数意义的抽象上还是表现出了较大的难度，反映出不少问题。于是，我思考了如下几个问题。
1.如何有效地导入新课
学生在四年级初步认识了分数，到五年级下学期再次学习这部分内容时，已经产生了一定的遗忘。如何有效地唤醒学生已有的认知，为本节课的学习进行适宜的铺垫，这对分数意义的概括起到至关重要的作用。
在初次设计中，我在课始出示“分数”一词让学生自由说说自己对分数的认识进行导入，意在使学生通过相互交流，唤醒分数初步认识阶段学习过的内容。但试教下来却发现学生记忆最深刻的，头脑中对于分数认识最鲜活的表象就是以实物举例来说一个分数，对于平均分的对象——“一个物体”、“一个计量单位”等缺乏明晰的认识。同时，学生在表述过程中经常会忽视分数初步认识中的一个重要的关键词——“平均分”。对此，如何调整自己的教学设计，能够简洁有效地将学生的思维带入有关分数意义的学习中来。
2.如何提高操作活动的实效性
通过分一分、写一写、说一说等操作活动，构建将“一个整体”平均分获得分数的过程是本节课的亮点之一。学生是数学活动的主体，应该让他们主动参与到数学活动中，获取数学知识。如何创设一个高效而富于数学意义的操作情境，让学生在操作中真切地体会到“一个整体”的概念，获得对分数意义的充分认识是本节课需要解决的一个难点。同时，在操作中，作为课堂主导者的教师，如何给学生有效的指导，使学生在观察、思考、合作、表达等多方面获得有益发展，也是需要我在设计教学预案时重点研究的内容。
在初次试教之后，我发现，教师出示“用布盖着的果盘”这一环节，由于学生无法知道其中的数量，被迫学生将其看做“一个整体”。但在课后的访谈中发现，此时学生头脑中所认识的仍然是把一盘水果平均分，并未想到是把许多物体组成的一个整体进行平均分。因而这样的操作活动可以说是失败的。同时，应该通过怎样的契机引导学生得出可以将多个物体看成是一个整体，又如何巧妙地在学生的头脑中建立起一个整体的表象，也是在接下来磨课的过程中需要考虑的一个重点环节。
在“分数我制造”这一环节中，我为学生提供了较为丰富的活动材料，事先提出了活动要求，但在巡视中发现，部分小组并未能像事先预想的那样，进行有效的操作活动，为把一个整体平均分获得分数提供足够的操作经验，看上去，学生对于操作兴趣并不高。
3.如何水到渠成地归纳出分数的意义
《分数的意义》教学中，难点就是如何引导学生将平均分的对象——“一个物体”、“一个计量单位”、“一个整体”归纳为单位“1”。而这一点，也是数学的化繁为简，彰显简洁美的魅力所在。在初始的教学设计中，我想象着只要学生归纳得出单位“1”后，分数意义的概括就应该呼之欲出，然而在实际教学中却并非如此。“把单位‘1’平均分成若干份，表示其中一份或几份的数叫做分数”这样一个复杂而拗口的数学概念，想直接让学生自己得出显然很不切合这个年龄段学生的实际。如何通过有效的引导，让学生能自主地表达出分数意义中的几个关键词，从而获取分数意义的正确表述也是需要思考的一个问题。
4.数学史与数学文化对学生学习分数的启示
分数是实数体系中较为特殊的数，人类对其认识经历了漫长的时间。要想使学生在极短的时间内真正理解分数的内涵与实质，唯有回溯历史，追根求源，学生重温人类历史中分数产生与发展的历程，明白分数的产生也是与人类的生产生活密切相关的，体会到数学来源于生活，应用于生活。同时，在中华民族几千年的语言文化发展中，也早已浸润了诸多数学的色彩，适当地让学生涉足其中，更会给学生打开一扇数学学习的新窗口。
二、在反复磨课中成长
1.化繁为简，从师生实际需要出发
在试教后的讨论中，老师们一致认为课的伊始出示的“分数”一词较为抽象，缺乏一定的指向性，不利于学生对分数知识的回顾。课堂上我也发现，学生对于分数意义中的重点——“平均分”遗忘程度较高，多数学生表述得不够准确。面对这个问题，我阅读了众多名师的教学实录，观察同课题教学录像，力图从中寻找到高效简洁地导入新课的灵感。一位老师简单的话语提醒了我，作为课堂主导者的教师，一定要深刻地明白，在这节课中学生需要获取的是什么，自己的期望是什么。我想，最重要的就是对分数的初步认识进行梳理，唤醒学生的记忆。同时，我给导入环节的限时最多不超过3分钟，必须避繁就简，高质高效。为此，我再次观看试教录像，寻找问题的症结与解决的方法。导入环节的拖沓与教师呈现的“分数”这个词语有关。我想，直接出示一个分数，让学生的思维由此出发应该会更好。思考再三，我选取了在初步认识阶段，具有代表性的一个分数“ ”作为课堂呈现的第一个信息点，请学生说说“看到 你能想到什么”。在后续试教中发现，一旦问题的指向性明确，学生的思考就有了明确的目标，分数各部分的名称、结合具体事物表述 的意义等回答相继呈现。同时，通过学生的举例，教师又可以抓住机会对“平均分”这一重点进行纠正与强调，对分数初步认识中平均分的对象——“一个物体”、“一个计量单位”等一一呈现。
2.高效民主，以数学活动为建构基石
数学的操作活动可以带给学生最直接的经验，伴随活动过程中的思考、表达与交流，对学生知识的建构起着重要的作用。在认识“一个整体”这个环节中，教材是以集合圈的形式来表示多个物体组成的一个整体的。在试教过后，我一直在思考：通过什么契机，以什么样的形式将代表一个整体的集合圈这样一个数学的表达形式和数学符号语言带给学生呢？“就把这个集合圈做出来提供给学生。”市教研室丁锦华老师提出了一个宝贵的建议，让大家眼前一亮。于是，我请学校总务处刘主任制作了20 个集合圈，都涂上红色，使之看上去更美观。
考虑到课堂展示的方便，我把一盘用布盖着的水果改成了一盒糖（水果太大了），学生看到一盒糖后习惯性地还是将之看成是一个物体平均分得到分数。于是我便主动打开盒盖，数出里面一共有12块糖，再问学生：“这时平均分成两份后还可以用分数来表示其中的一份吗？”这个问题对学生产生了极大的认知冲突。但还是有少部分学生能够说出“可以把这些糖看做是一个整体，平均分成两份，其中的一份就是这些糖的 ”这样精妙的话语。借着学生的精彩表达，我适时地进行重复，并拿出集合圈放在上面，告诉学生，“把它们圈起来，表示一个整体”。至此，集合圈的出现水到渠成，不着痕迹，却又给学生以最直观、最强烈的感受。一个整体的印象已深深地烙印在他们的脑海中。借此机会，我又亲自动手分一分，向学生展示把一个整体平均分获得分数的过程，同时再请一位学生上台来试一试。两次演示，为后续的学生操作提供了最直观的范例，为小组活动的成功进行作了最有效的铺垫。
针对学生小组活动中的分工与合作，生家琦、顾文彬、关勇几位老师也跟我一起再三斟酌“活动要求”，既要明确学生操作的流程，同时也应对小组合作的方式、效率等提出要求。几番修改之后，大家一致认为这样的三句话既简洁又清楚——（1）明确分工：每位组员选一种材料分一分，并说一说你得到分数的过程；同时，组长负责把研究结果记录在“研究报告”的第一页。（2）学会交流：一人演示时，小组其他成员认真观察，仔细聆听，积极补充。（3）讲究效率：音乐声响起开始活动，听到铃声，结束讨论。同时，我们还认真细致地修改了分数意义的“研究报告”，考虑到“分数我制造”这样的说法还不能够充分激发学生动手的欲望，顾文彬老师又提出将之改为“分数我创造”，给学生以最大的创新的动力。
经过这样的修改，在后续几次的试教过程中，学生的操作活动显得有条不紊，在交流环节中学生们更是争先恐后地向大家介绍自己小组创造出的分数。
3.步步为营，彰显数学语言的魅力
在整节课中，学生通过动手操作获得了大量的直观经验。可以说，在理解了所有平均分的对象都可称为单位“1”之后，学生脑海中对于分数的意义有了自己的理解与领悟。但课本提示的有关分数的概念——“把单位‘1’平均分成若干份，表示其中一份或几份的数叫做分数”，要想由学生自己概括出仍然有不少的难度。这与数学语言的精练、概括有关。也有老师提出，在这种情形下，我完全可以直接将分数的概念呈现给学生，学生结合前面的活动也完全能理解。思考再三，我还是觉得如果能巧妙地引导学生自己概括出分数的意义，对学生而言更有学习的成功感，对概念的体会也会更深刻。我反复读着分数概念的这一段话，力图从中找到突破口。后来，我学着像学习语文那样，画出了这段话中的关键词——“平均分成若干份”、“其中的一份或几份”。对啊，这不正是分母与分子所表示的意思吗？只要学生能概括出分母与分子所表示的意思，分数的意义不就呼之欲出了吗？在前面的学习中，学生看到的都是一个个具体、有形的分数，这也是影响其提炼出分数意义的一个关键。于是，我再次修改了引入单位“1”的环节，以“在雅典奥运会上，我国羽毛球健儿奋力拼搏，夺得的金牌占该项目金牌总数的 ”为例，先请学生就这一具体的事例说说分数表示的意义，再去除具体事例请学生说 表示的意思。在引出单位“1”后，我再次回到 这个分数，逐步隐去分母、分子，依次将分数以 、 、 的形式呈现给学生。在分数形式的逐步抽象中，学生的表述就越来越接近分数的意义。
赛场教学实录
下面呈现的是2004年我参加江苏省小学数学优质课评比时《分数的意义》一课的教学实录。
教学准备：
教具：两张分数的图、一盒糖（12 块）、一份操作材料、表示整体的圆圈和小棒、多媒体课件。
学具：每组4块橡皮、6块糖、12个棋子、一个圆圈和4根小棒，“分数意义的研究报告”。每人一张作业纸、一支水彩笔。
教学过程：
一、复习导入
1.看 回忆旧知
（1）屏幕出示分数 。
师：还认识它吗？这是一个……（分数）一起读。
师：看到 ，你会想到些什么？
生1：把一个西瓜平均分成4份，其中的1份就是它的 。
生2：把一张纸平均分成4份，其中的1份是它的 。
……
师：刚才这几位同学的话中，都有一个词用得特别好，大家听出来了吗？
生：平均分。
（教师板书：平均分）
（2）把一个物体、一个计量单位平均分成4份，其中的一份是 。
师：这儿有一块饼，仔细观察一下，它被平均分成了几份？其中的一份与这块饼有怎样的关系呢？
生：它被平均分成了4份，1份是它的 。
师：再看这幅图，你能想到什么？

生1：把1米平均分成4份，1份是它的 。
生2：取2份就是它的 。
……
2.小结
看来，同学们以前对分数的知识学得真不错！在刚才大家举的例子中，也有把像一块饼这样的一个物体平均分的，也有把像1米这样的一个计量单位平均分的。但不管是把什么平均分，只要是平均分成4份，取其中的1份，都可以用分数……（ ）来表示。
二、探索新知
1.师生共同创造分数
（1）师生探讨分“一盒糖”。
师：老师这儿有一盒糖，想把这盒糖平均分给4位同学，每人得到的糖是——
生：这盒糖的 。
师：为什么不用几块糖来表示？
生：因为不知道盒子里一共有多少糖。
师：那你们想知道这里究竟有多少块糖吗？
生：想。
师：（打开盒子数一数）里面有12块糖，想想，再把这些糖平均分给4位同学，还能用 来表示吗？
生1：不能，每人分到的应该是3块糖。
生2：不能，每人分到的应该是这些糖的 。
师：看来大家都认为不能，但理由并不完全一样。俗话说“实践是检验真理的唯一标准”，这样吧，我们一起来分一分，看到底能不能。
（2）操作演示。
师：我们可以把12块糖看做是一个整体，把他们圈起来，表示是一个整体。（展示一下表示整体的圈子，并放上去）平均分成4份，他们每人分得4份（指所有的糖）中的一份（指其中一份），所以就分得这些糖的——
生： 。
师：现在明白了吗？
生：明白了。
师：那两人就分得4份中的2份，也就得到这些糖的——
生： 。
师：三人分得这些糖的——
生： 。
（3）学生自主分“一些糖”。
师：刚才老师是想把这些糖平均分给4个人，得到了 、 、 这样几个分数，你还想把这些糖平均分给几个人呢？
生1：我想平均分给两个人。
生2：我想平均分给6个人。
……
师：好，那就请你到前面来分分看。
生：（到前面来分糖）我把这些糖看做是一个整体（放上圆圈），平均分成6份，每人就分得这些糖的 。
师：可以吗？
生：（齐）可以。
师：嗯，声音很响亮，演示得也很到位。掌声送给他！
2.学生小组合作，创造分数
师：同学们，刚才我们通过分糖，得到了 、 、 、 、 （板书分数）这样几个分数。大家想不想亲自动手分一分，得到你喜欢的分数呢？
生：想。
（1）介绍操作要求。
师：好，等会儿就请大家以小组为单位，创造你想要的分数。为了下面的活动能够顺利地进行，我们先听听活动的要求（课件出示操作要求及配音）。
①明确分工：每位组员选一种材料分一分，并说一说你得到分数的过程；同时，组长负责把研究结果记录在《研究报告》的第一页。
②学会交流：一人演示时，小组其他成员认真观察，仔细聆听，积极补充。
③讲究效率：音乐声响起开始活动，听到铃声，结束讨论。
师：清楚了吗？现在我们就开始活动，比比哪一小组合作得最好，做得又对又快！
（2）学生动手操作，教师巡视并进行辅导。
（3）学生以组为单位进行交流。
师：创造的过程是快乐的！刚才老师欣赏到了许多小组精彩的表现。哪些小组愿意展示一下你们的成果？每组可以派两位同学，一位介绍，一位演示。其他小组认真听，如果你们有不同的分法，待会儿可以补充。
（交流）
①第一组：我们把6粒糖看做一个整体，平均分成两份，取其中的1份，得到的分数是 。
师：演示得怎么样？
（生齐鼓掌）
师：用6粒糖，还有哪些小组得到不同分数的？
生1：我们是把6粒糖看做一个整体，平均分成6份，取其中的3份，得到的分数是 。
……
②师：第二次上台演示的机会，哪个小组愿意把握？
第二组：我们把4块橡皮看做一个整体，平均分成两份，取其中的1份，得到的分数是 。
师：虽然分的是不一样的东西，但跟刚才一组一样，都得到了 这个分数。有想补充的吗？
生1：我们把4块橡皮看做一个整体，平均分成4份，取其中的1份，得到的分数是 。
……
③师：最后一次机会，哪一组来？
第三组：我们把8枚棋子看做一个整体，平均分成8份，取其中的3份，得到的分数是 。
师：演示准确，声音响亮。看来，笑在最后的也是最美的！（带头鼓掌）有跟他们不一样的吗？
生1：我们把8枚棋子看做一个整体，平均分成4份，取其中的1份，得到的分数是 。
……
3.单位“1”的抽象
（1）在比较中理解“一个整体”。
师：刚才的展示让我不得不惊叹同学们非凡的创造力。同学们，如果说以前我们是把这些单个的东西平均分得到分数的话，今天我们平均分的对象和以前又有什么不同呢？
生1：以前我们平均分的都是一个一个的东西，今天我们平均分的是许多东西。
生2：以前平均分的是一个物体，一个计量单位，今天是把这些东西都看做一个整体来平均分的。
师：对，这些都是由许多物体组成的一个整体。（板书：一个整体）
（2）单位“1”的抽象。
师：刚才同学们创造了很多分数，老师这儿也有个分数（大屏幕显示题目），一起读一读。
生：（齐读）在雅典奥运会上，我国羽毛球健儿奋力拼搏，夺得的金牌占该项目金牌总数的 。
师：想一想，这个分数是怎么得到的？
生：把羽毛球项目的金牌总数看做一个整体，平均分成5份，我国选手夺得了其中的3份。
师：你说得真好！如果我把这段话中的文字去掉，只留分数 （屏幕隐去前面的话），谁还能说出它可能是怎么得到的呢？
生：把10枚棋子平均分成5份，取其中的3份，就得到了 。
师：你说的10枚棋子，也就是刚才我们提到的一个——
生：一个整体。
师：想想，除了把一个整体平均分能得到 外，还可以把什么平均分，得到 的。
生1：一个物体。
生2：还有一个计量单位。
师：那 可能是怎样得到的呢？怎么说才比较全面？
生：把一个整体或一个物体或一个计量单位平均分成5 份，取其中的3份，就得到 。
师：哎呀，你真不简单，一下子就说得非常的完整。大家觉得行吗？
生：行。
师：请大家自己在下面再说说看。
师：刚才你们自己在说的时候，除了觉得比较全面外，有没有其他的感觉？
生：（有点迟疑）我觉得有点麻烦。
师：大家也有这样的感觉吗？
生：（齐）是的。
师：感谢你！你真实地说出了我们每个人的心声。那能不能想个办法，说得不麻烦呢？
生沉默片刻，开始有人举手。
生1：我觉得如果能有一个词可以把这三样都包含进去就好了。
生2：我觉得这三样都可以说成整数“1”。
师：你的整数“1”都代表些什么？
生2：可以代表一个物体、一个计量单位，也可以代表一个整体。
生3：我跟他意思差不多，可以用整体“1”来代表这三样。
……
师：刚才大家提到了整数“1”、整体“1”……虽然说法不同，其实都是想用一个词来概括这里的一个物体、一个计量单位和一个整体，是吧！其实在数学上，这三样都可以用自然数“1”来表示，通常我们称它为单位“1”。（板书单位“1”）
师：日常生活中哪些具体的事物可以看做单位“1”呢？老师这儿有一首有趣的儿歌，大家自己读读看。
（屏幕出示儿歌）
一块大饼一个梨
一吨稻谷一克米，
一片树林一群鸡，
都可看做单位“1”。
师：挺有意思的，是吧。（指屏幕）“一块大饼一个梨”指的是一个——第二句中的“一吨”和“一克”指的是一个——第三句指的又是一个——
师：想一想，除了上面举出的这些事物可以看做单位“1”外，还有哪些事物可以看做单位“1”的？
生1：一群人。
生2：一幢楼房。
……
师：同学们举出了很多单位“1”的具体例子。那就是说，我们在得到分数的时候，无论是把什么平均分，都可以看做是把单位“1”平均分。
4.由具体到抽象逐步得出分数的意义
师：认识了单位“1”，现在谁会用简洁的语言说说 表示什么？
生：把单位“1”平均分成5份，表示这样的3份，就是 。
师：这样说就简洁多了。
师：（出示 ）那你们能说说它表示什么吗？
生：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的3份。
师：他刚才有一个词用得太好了，谁听出来了？
生：若干份。
师：若干份，到底是多少份呢？
生：任意的份数都可以。
（教师出示 的含义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中3份的数。）
师：（出示 ）再看这个，又表示什么呢？
生1：把单位“1”平均分成5份，表示这样的若干份。
师：说得也不错！谁能再换个说法试试。
生2：把单位“1”平均分成5份，表示这样的几份。
（教师出示 的含义：把单位“1”平均分成5份，表示其中的1份或几份的数。）
师：（出示 ）最后一个，比一比，看谁最聪明。
生：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数。
师：哎呀！你说得太精彩了。谁还想再试试？（生再说，老师出示含义）
师：其实，刚才这两位同学所说的就是分数的意义。（板书课题）我们一起来读一读。（生读）
师：你觉得在这句话里，哪些词比较重要？
生1：平均分。
生2：单位“1”。
5.引导学生自主发现分母、分子的含义
师：我们来看，黑板上这些分数中，4、6 都是这些分数的——（分母）那分母表示什么呢？
生：表示把单位“1”平均分成的份数。（师板书）
师：那上面这些数 1、2、3 都是分数的——（分子）分子又表示什么呢？
生：表示取的份数。（师板书）
师：中间的这根短横线称为——（分数线）
三、交流收获
师：学到这儿，让我们来交流一下，通过今天的学习，你对分数有了哪些新的认识和收获呢？谁先来说？
生1：我知道了一个物体、一个计量单位、一个整体可以统称为单位“1”。
生2：我知道了分数的意义。
……
师：大家对分数还有什么疑问吗？
生1：分数有加减法，有没有乘除法呢？
生2：有没有分子比分母大的分数呢？
……
师：看来大家对分数的疑问还真不少。“学贵在有疑”，有了新的疑问，才需要我们去不断地学习。
四、分层练习
师：数学是迷人的，更是富有挑战的。下面就让我们在解决问题中一显身手。大家有信心吗？
1.徐州市位于华北平原东南部，气候温和，资源丰富。主要有平原与丘陵两种地形，其中平原面积占全市总面积的 。在这句话中，是把______看做单位“1”，平均分成______份，平原面积占其中的______份。
2.把6只猴子玩具平均分成3份，2只猴子玩具是其中的______份，4只猴子玩具是其中的______份。
3.用下面的分数表示图中的涂色部分，对的在括号中画√，错的画×。




4.选择一幅图，涂色表示 。



五、介绍分数演变的历史
师：同学们，今天我们在研究中进一步认识了分数。其实呀，早在几千年前，人们就开始研究分数了。大家想知道吗？（介绍分数演变的历史）
师：如果同学们想了解更多有关分数的知识，课后可以按《研究报告》上提供的几个网址到网上去看看。
六、成语中找分数
师：同学们今天表现得都很棒！下面我们一起轻松一下，看几个带有数字的成语。（出示成语“三天打鱼，两天晒网”及相应画面）
师：听说过吗？谁能简单说说这个成语的意思？
师：人们通常用“三天打鱼，两天晒网”比喻做事没有恒心，如果我们就从字面上理解，把它看成是打了三天鱼，晒了两天网。那打鱼的天数是总天数的几分之几？
生：打鱼的天数是总天数的 。
师：你还能找到哪些分数呢？
生1：晒网的天数是总天数的 。
生2：晒网的天数是打鱼天数的 。
师：老师这儿还有一些成语，你能从中找到分数吗？
十室九空、百发百中、九死一生、十拿九稳、百里挑一。
师：其实不仅仅在成语中能找到我们所学的数学知识，在其他各门学科里，在我们的日常生活中，只要你仔细观察，用心去感受，你会发现，数学无处不在，无时不在散发着它巨大的魅力。
总评
分数是小学数学的核心概念之一。作为数概念的第一次扩展，分数既可以表示一个具体的不能用整数表示的数量，也可以表示部分与整体或两个相关联的量之间的关系。后者需要学生摆脱用整数表示物体数量的思维定式，建立一种从数量关系角度进行思考的“关系思维”，而这种思维方式的转换往往造成学生学习的困难。管老师教学的《分数的意义》是在学生直观认识分数，即初步认识把一个物体、一个计量单位等平均分成几份后用分数表示其中一份或几份的基础上，进一步学习把许多物体组成的一个整体，即单位“1”平均分成若干份后用分数表示其中一份或几份。管老师的教学重视学生已有经验，并创设具体情境帮助学生理解分数的意义，具有以下三个方面的特点。
一、以“经验”支撑和促进概念建构
学生在之前的学习中，已经初步认识了分数，对于分数具备了一定的知识经验。奥苏伯尔在《教育心理学：认知观》一书的扉页上写道：“假如我不得不把全部的教育心理学归纳为一条原理的话，我将一言以蔽之：影响学习的唯一最重要的因素就是学习者已经知道了什么，探明这一点并据此进行教学。”管老师在教学中就注意探明并激活学生已有的知识经验，将这些经验从认知结构中提取出来，用于对分数意义的进一步建构。教师首先呈现 这个分数，让学生说说“会想到些什么”，以一个具体的分数带动学生对众多现实情境中 的回忆和联想。而在这些具体分数中又有一些共同的本质属性，都要把物体“平均分”，教师通过提示和板书加以突出和强调，突出了进一步学习分数时仍然需要把握的本质属性。之后，教师又分别出示一块饼的 和1米长线段的 ，既再次明确了分数表示的是部分与整体的关系，又将三个具体情境中的 适当概括，夯实了概括分数意义的知识基础。
而在学生建构抽象的分数意义的过程中，管老师同样注意从学生已有的经验出发，精心引导，帮助学生逐步形成正确的认识。在教学把许多物体组成的一个整体平均分时，管老师没有直接出示把12块糖平均分的问题，而是先出示把“一盒糖”平均分成4份，学生的已有经验使他们容易认识到平均分给4个同学，每人能得到这盒糖的 。之后，再出示把12块糖平均分给4个同学，让学生思考每人分得的糖果“还能用 表示吗”，这一问题十分必要，巧妙地激发了学生的认知冲突，为接下来的教学奠定了良好的心理基础。
为了帮助学生建构分数的意义，教师制作了表示整体的集合圈这一教具，清晰地演示把12 块糖平均分成4 份的过程。这里的“集合圈”是一种强烈的暗示，它能够有效地启发学生排除每一份的具体数量的干扰，理解分数表示的是“其中一份和总数之间的关系”。在学生初步认识把12块糖平均分成4份，其中的一份可以用 表示后，教师又及时放手，让他们把这些糖平均分成其他的份数，强化对12 块糖作为“一个整体”的认知，并初步感悟在整体不变的情况下，分数与平均分的份数有关。
如果按照教材的安排，接下来的活动将是模仿性的练习，看图将许多物体组成的整体平均分后用分数表示其中的一份或几份，这样的练习当然能够帮助学生加深对分数意义的理解，但是学生的认识不深，缺乏体验。基于此，管老师设计了开放的“小组合作创造分数”的活动，可谓一举多得：其一，变教师机械地给出分数的实例为学生自己经历创造分数的过程，学生对分数的认识会更深刻，体验会更充分；其二，变教师按部就班地提问为学生的小组合作和交流，学生的主动性和积极性会更高。更为重要的，学生在操作的过程自然能够积累操作的活动经验，这些经验对于他们建构和概括分数的意义是十分必要的。
二、逐步概括分数的意义
分数意义的概括是以单位“1”的概括为基础的。教师首先引导学生在前面学习的基础上，明确这节课研究的平均分的对象是许多物体，并且把它们看做一个整体，把单位“1”的对象从一个物体和一个计量单位拓展开来。在此基础上，以一个具体的分数 为例，让学生结合不同类型的单位“1”描述它的含义，从而使学生产生“麻烦”的感受，需要加以概括的需求。学生想到可以用整数“1”、整体“1”来表示，这样就使单位“1”的揭示显得十分自然，学生能充分体会这一数学名词的价值。而在学生认识单位“1”之后，教师又出示儿歌，并让学生自己举例哪些事物可以看做单位“1”，将抽象的单位“1”具体化。由此，学生对单位“1”既知其名，也知其实。
在学生理解单位“1”的含义之后，概括分数的意义就有了重要的基础。为了引导学生概括分母和分子的含义，教师又创造性地呈现了不完全的分数形式： 、 和 ，促使学生很自然地将分母概括成平均分成若干份，将分子概括成其中的一份或几份，从而完成对分数意义的概括。由于在之前的学习中，学生在教师的引导和自主创造分数的过程中对分数的意义感悟充分，所以，即使有部分学生对分数的意义形式化的表述感到比较困难，也不会影响其对分数本质属性的把握。
三、引导感悟数学文化的魅力
数学是人类的一种文化。数学教学需要在数学知识和技能的形成过程中潜移默化地发挥数学文化的教育价值。在这节课的教学中，管老师在基本的巩固练习之后，让学生了解分数的演变历史，课后上网去了解更多有关分数的知识，学生在了解分数发展历史的过程中既满足了好奇心，也初步感悟了前人对数学知识的研究和探索的精神。
而在下课之前，教师又结合学生熟悉的成语引导学生从字面上理解每个成语中蕴涵的分数，学生运用分数的意义解读这些成语，感到十分新鲜有趣。进而，教师又引导学生回到现实生活中感受和运用数学，体会数学的应用价值。其实，在整节课的教学中，教师都注意联系学生的现实生活来感悟数学知识，让学生利用糖块、棋子、橡皮这些生活中常见的物体通过“分一分”去“创造”分数，抽象的书本知识一下子变得亲切和活泼起来。当然，让学生在合作和交流中学习数学，这种学习方式本身也是数学研究的重要方式，因而也是数学文化的活动。
总之，在这节课的教学中，管老师基于教材的教学目标和设计意图，注意从学生学习的角度设计教学活动，以对分数意义的理解为核心，体验抽象概括的思维方法，关注学生学习方式的改善，关切学生的情感体验，很好地促进了学生的发展。