让学生在探究中感悟数学——刘松教《找次品》

《找次品》是人教版实验教材五年级下册《数学广角》的内容。此前的“沏茶”“田忌赛马”“打电话”等问题中已渗透简单的统筹优化思想方法，学生已经具有初步的逻辑推理能力和综合运用所学知识解决问题的能力。在此基础上，以“找次品”这一实践活动为载体，让学生通过观察、比较、猜测、验证等方式感受解决问题策略的多样性，通过分析、归纳、推理的方法体会运用优化策略解决问题的有效性。课中，从新课的引入到问题的探究，再到总结规律，最后运用规律解决问题，学生的认识从具体到抽象，由感性认识到理性认识，由具体方法层次到策略思想水平，完成了认识上的一次质的飞跃，体验了化归、优化等数学思想的价值与魅力。刘老师将深刻的思想寓于轻松幽默的互动中，达成了数学与儿童的一种深度和谐。
一、谈话引入
1．实话实说——请吃糖
师：同学们仔细看看老师，能用几句简短的话描述一下老师的特点吗？
生：老师中等身材，头发很平。
生：老师脸很方，眼睛很小。(教师用鼓励的目光激励学生发言，随便学生怎么说，说得越奇怪越好。不管学生说什么，教师都大肆表扬同时表示感谢，以激起其他学生想说话的欲望。待三四个学生发言后，教师话锋一转，提出第二个问题。)
师：同学们非常善于观察，这么短的时间就发现了老师这么多的特点。既然如此聪明，请允许我请教第二个问题，你们必须实话实说，说实话的，老师奖励吃糖。(拿出一瓶真的木糖醇，此时学生都好奇地等着老师出问题，或者看着老师手里的木糖醇，老师故意矜持一会儿才说出问题。)
师：你觉得我和你们原来的数学老师相比，谁更像一位优秀的数学老师？(听课教师有的发出了笑声。学生也都面面相觑，微笑着不知如何作答。)
生：老师您更优秀。
师：(笑着说)瞎说！你还没听过老师上课呢。
生：两个都像。
师：不许都选，只能选一个。
生：那就选我们原来的老师吧。
师：说得对！你们今天表现得如此优秀，一定是原来老师的功劳。请吃糖！(从木糖醇瓶中倒出一粒放入该学生手中，继续面向其他学生)谁还想吃糖，请实话实说。
生：是我们原来的老师，因为他辛辛苦苦教了我们好几年。
师：真是一个懂得感恩的孩子，说得对，请吃糖！(从木糖醇瓶中再倒出一粒放入该学生手中。) 
师：同学们不用说了，老师已经知道结果了，应该是你们原来的老师更优秀。(话锋一转)当某个人或某项事物不足够好时，我们可以称之为——
生：次品。
师：对，次品。(随机板书。)
师：今天在座的这么多优秀教师中找出我这样的“次品老师”是很容易的，可有些时候，找次品就不那么容易了。刚才谁吃我糖了，请给我站起来！(假装生气。吃糖的学生刚才还美滋滋的呢，现在被迫站起来。)
师：(继续假装生气)谁让你们吃糖的？(学生苦笑。)瞧瞧你们惹麻烦了吧。老师刚刚买了3瓶一样的木糖醇，其中一瓶就被你们“偷吃了”两粒(老师出示3瓶一样的木糖醇)，吃掉两粒的那一瓶重量自然就变得轻一些。重量变轻了我们就可以称之为——
生：次品。
师：对。怎样很快地知道哪一瓶是次品呢？(示意吃糖的学生坐下。)如果用天平称来称，至少几次才能保证找到呢？请独立思考。(学生独立思考约30秒钟。)
2．初步建立基本思维模型
师：谁来说说至少要几次才能保证找到？(此时学生基本有两种意见，大部分人认为需要2次，部分思维好的同学会认为需要1次。老师请认为1次的同学上台展示。)
师：你见过天平吗？
生：见过。
师：天平长什么样子？(学生茫然。教师走过去示意学生把双手向左右两边伸平，笑着说：“这就是一架美丽的天平。”该生不自然地笑了，全体同学则会心地一笑。)
师：别人都认为要2次，你说1次就行了。别瞎说！怎么称的？称给我们瞧瞧！(该生演示：任意拿两瓶放在天平左右两边，两手伸平。)
生：如果是这种情况，剩下的那一瓶就是次品。
师：如果天平左右两边不平呢？(该生再演示：天平左高右低的情况。)
生：如果是这种情况，左边高的那一瓶就是次品。
师：还有一种情况呢？(该生马上反应过来，立刻演示：天平左低右高的情况。)
生：如果是这种情况，右边高的那一瓶就是次品。
师：大家看明白了吗？刚才这位同学任意从3瓶中拿出2瓶放在天平的左右两边，如果平衡了，次品在哪？
生：剩下的那一瓶。
师：如果天平有一边翘起呢？
生：翘起的那一瓶。
师：不管是哪一种情况，几次就可以找到次品了呀？
生：1次。
师：1次果然就可以找到次品是哪一瓶了，表扬给我们带来这样思考的同学。(掌声响起。)谁还能像刚才这位同学一样给我们演示一下怎么1次就能找到次品了呢？(学生再次演示，教师适时强调。)
师：开始认为需要2次的同学，现在清楚了吗？3瓶当中有1瓶次品，用天平称称，至少几次就可以保证找到？
生：1次。
3．拓展延伸，引导猜想
师：3瓶当中有1瓶次品，用天平称称，至少1次就可以保证找到。如果不是3瓶，假如今天来听课的老师每人1瓶，大概有两千多瓶吧。我们暂且估计有2187瓶。(随机板书)如果2187瓶中也有1瓶次品，用天平称称，至少几次才能保证找到呢？请你们猜一猜！(停顿约20秒，找两三个学生回答。)
生：2186次。
生：2185次。
生：一千多次。
生：729次。
师：2187瓶中有1瓶次品，用天平称称，怎么也要两千多次、一千多次或好几百次，都是这么认为吗？
生：是。
师：如果你们都是这么认为，今天这节课就非常有研究的必要。我们今天这节课就来研究，如果真有2187瓶木糖醇，其中1瓶是次品，用天平称称，究竟至少几次才能保证找到，好吗？
生：好！
二、组织探究
1.体会化繁为简
师：要解决这个问题，大家觉得2187这个数据是不是有点大呀？
生：是。
师：解决问题时，面对一些比较庞大的数据，我们往往可以采取一种策略，谁知道是什么？
生：简化。
生：化简。
师：对！解决问题时，面对一些比较庞大的数据，我们往往可以采取一种策略——化繁为简(随机板书)，也就是把数据转化得小一些，就是两位同学说的化简。化简到什么程度呢？3瓶刚才我们研究过了，现在我们研究几瓶好呢？
生：4瓶。
生：5瓶。
师：5瓶和我们书上的例1刚好一模一样，我们就先来研究如果5瓶当中有1瓶次品，用天平称称，至少几次保证找到？好吗？
生：好！
2.第一次探究
师：请先独立思考。可以拿出5枚硬币动手试一试。(约1分钟后)同桌可以小声交流交流。(约1分钟后)谁来说一说至少几次保证能找到？
生：1次。
生：2次。
生：3次。
……
师：你是怎么称的？请描述称的过程？
生：我在天平左右两边各放1瓶，如果有翘起，就找到了。
师：这种情况是有可能的，但能保证吗？如果天平平衡了怎么办？你先请坐！(该生意识到自己考虑问题的不足，带着思考坐下。)
生：我也在天平左右两边各放1瓶，如果平衡了，说明这两瓶中没有次品；就从剩下的3瓶中再任意选两瓶放在天平的左右两边，如果平衡了，剩下的那瓶就是次品，如果有一边翘起，翘起的那端就是次品。一共称了2次。
师：他的方法可行吗？
生： 可行。
师：刚才这位同学的称法，开始时，把5瓶分成了怎样的3份呀？
生：(1、1、3)。
师：真聪明！1和1要称一次，剩下的3瓶中再找1瓶次品，就像我们课刚刚开始的问题一样，当然也要1次，一共就是2次。这种称法如果用数学符号简单地记录下来，可以写成这样(板书“5→(1、1、3)→(1、1、1) 2次”)，其中“-”表示称一次。这样表示可以吗？
生：可以。
师：有没有也是2次，但称法不一样的？
生：我在天平左右两边各放2瓶，如果平衡了，说明这四瓶中没有次品，剩下的那瓶就是次品，但这不能保证。如果有一边翘起，说明次品在翘起的那一端里，然后再把翘起那一端的2个放在天平左右两边，再称一次，一定可以找到。一共称了2次。
师：真了不起！同样也是称2次，称法还真的不同。这位同学的称法如果也用数学符号简单地记录下来，可以写成这样(板书“5→(2、2、1)→(1、1) 2次”)。
师：比较两位同学的称法，过程不同，但结果一致！除了结果相同外，还有没有发现别的共同点？(学生略作思考，老师随机点出)老师发现刚才的两种称法，不管开始时如何分组，在每一次称的时候，天平左右两边始终保持瓶数一样，这是为什么呀？为什么不天平一边放2瓶，一边放3瓶呢？
生：瓶数不一样，比较不出来。
师：由于正品和次品的差距往往很小，所以当瓶数不等时，用天平称量时是无法判断的。找次品自然要追求次数越少越好，所以这种“浪费”的称法我们当然不提倡。
师：(笑着对说要3次的同学说)3次当然能称得出来，但并不是至少的方案，明白了吗？(该生点头示意明白。)
3.第二次探究
师：5瓶我们研究过了，离2187瓶还差得远呢。再靠近点，接下来我们研究多少瓶呢？
生：8瓶。
生：9瓶。
生：10瓶。
师：同学们说的都可以，但我们上课时间有限，在一位数中9最大，我们来研究9瓶好不好？(其实例2就是9瓶。)
生：好！
师：谁再来明确一下问题？
生：9瓶木糖醇中有1瓶是次品，用天平称称，至少几次保证找到？
师：问题已经很明确，请先独立思考。可以拿9枚硬币分组试一试，也可以像老师一样用数学符号画一画。(教师静静地巡视约1分钟。)
师：请前后桌4位同学一组，讨论交流你们认为至少几次才能找到次品。(教师参与讨论约2分钟。)
师：老师刚才在下面听到有的同学说要4次，有的说要3次，还有的说2次就行。到底至少要几次呢？看来需要交流交流。先从多的来，谁刚才说要4次的？请说说你是怎样称的。
生：我在天平左右两边各放1个，每次称2个，这样4次就一定可以找到。(教师随着学生的表述相机板书“9→(1、1、1、1、1、1、1、1、1) 4次”。)
师：他的称法可行吗？
生：可行但不是次数最少的。
师：好！让我们一起来听听次数再少一些的称法。3次该怎样称？
生：我把9分成4、4、1三组，先称两个4，如果天平平衡了，剩下的1瓶就是次品，但这是很幸运的。如果不平，把翘起的那4瓶再2个对2个称，如果平——(老师礼貌地打断学生的话。)
师：这时会出现平衡吗？(提醒“次品就在这4瓶里，天平左右两边各放2瓶”。)
生：一定会有一边翘起，然后再把翘起的2瓶天平两边各放1个，再称1次，共3次就可以找到次品是哪一瓶。(教师随着学生的表述相机板书“9→(4、4、1)→(2、2)→(1、1) 3次”。)
师：他的称法可行吗？
生：可行。我也是3次，但称法与他不一样。
师：真的吗？同样是3次，称法还可以不一样？赶快说给我们听听。
生：我把9分成2、2、2、2、1五组，先称两个2，如果有一边翘起，再称1次就可以了，但这是幸运的；如果天平平衡了，再称剩下的两个2，如果天平还是平衡了，剩下的1瓶就是次品，但这也是很幸运的。如果不平衡，再把翘起的2个分开，天平左右两边各1个，再称1次就一定找到次品了。这样也是3次保证找到了次品。(教师随着学生的表述相机板书“9→(2、2、2、2、1)→(2、2、2、2、1 )→(1、1) 3次”。)
师：还真不错！同样是3次保证找到，称法还真不一样。刚才好像还有人说2次就够了，不太可能吧？是谁说的？(说2次的学生起立。)
师：别人都是4次、3次的，你说2次就行，还坚持吗？(学生坚持。)
师：好！我们大家刚才辛苦了老半天才弄明白至少要3次才能保证找到次品，他竟然坚持说2次就够了。请认真听听他是怎么称的！如果他说错了，我们要罚他唱首歌。(故意这样说，引起学生都来关注他的2次是怎样称的。)
生：我把9分成三组，每组3个。先称两个3，如果天平有一边翘起，次品就在翘起的那3瓶里；如果天平平衡了，次品就在剩下的3瓶里。不管怎样，接下来就只要研究3瓶就可以了。前面刚学过，从3瓶里找1瓶次品，称1次就够了。这样2次就保证找到了次品。(教师随着学生的表述相机板书“9→(3、3、3)→(1、1、1 ) 2次”。)
师：现在都听懂了吧！这个同学的称法完全可行，称2次就解决了问题。为什么我们别的称法次数就比他多呢？我们的问题出在哪儿？这个同学的高明又在哪呢？请仔细观察黑板上的四种称法，看谁能最快发现其中的奥秘？(此时，黑板上的板书如下。)
9→(1、1、1、1、1、1、1、1、1) 4次
9→(4、4、1)→(2、2)→(1、1) 3次
9→(2、2、2、2、1)→(2、2、2、2、1 )→(1、1) 3次
9→(3、3、3)→(1、1、1 ) 2次
生：2次的称法一开始把9瓶分成了3组，每组3个。这样称1次，就可以断定次品在哪一组里。
师：说得好！把9瓶分成了3组，每组3个，也就是把物品总数均分3份，这样称1次，就可以淘汰2份6瓶，从而让剩下的瓶数变得最少，自然总的次数就会少下来。而4次的称法，称1次后，最多只能淘汰2瓶；3次的两种称法，称第一次后，也最多只能淘汰4瓶，所以最终的次数就会相对多起来。
4．第三次探究
师：刚才9瓶中找1瓶次品，那位同学一开始把9瓶平均分成3份来称，最后的次数最少。是不是所有的可以均分成3份的物品总数，一开始都平均分成3份来称，最后的次数也是最少呢？刚才那位同学是否偶然呢？我们还需要怎么办？
生：继续验证。
师：说得好！仅仅一个例子不足以推广，我们还需要进一步验证。验证多少呢？比9大一些，可以均分3份的？(有学生立刻回答。)
生：12。
师：好的！我们就来研究12。如果12瓶中有1瓶是次品，用天平称称，至少几次保证找到？请先用刚才那位同学的思路，均分3份来操作。看看至少要几次？(学生说，教师板书“12→(4、4、4)→(2、2)→(1、1) 3次”。)
师：按照刚才那位同学的思维模式推理，至少要3次才能保证找到。3次是否真的就是最少的次数呢？有没有比3次还少的呢？如果有，说明刚才的那位同学纯属偶然。请2人一小组，拼凑12枚硬币操作操作，或者用笔画一画，看看有没有更少的可能？(学生思考讨论，教师巡视参与，约1～2分钟后交流。)
生：我是均分2份做的，也是3次。(教师随着学生的表述相机板书“12→(6、6)→(3、3)→(1、1) 3次”。)
师：有没有比刚才的3次少？
生：没有。
师：谁找到比3次还少的称法了？
生：我没找到，但我一开始均分4分来做的，最后也是3次。(教师随着学生的表述相机板书“12→(3、3、3、3)→(3、3、3、3)→(1、1、1) 3次”。)
师：两位同学真不错，再次给我们展示了最终结果一样时，中间过程丰富多彩。但我们都没有找到比3次还少的方案。如果再研究下去，我们会发现次数只会越来越多，比如，“12→(2、2、2、2、2、2)→(2、2、2、2、2、2)→(2、2、2、2、2、2)→(1、1) 4次”。其实刚才那位同学的思维模式并非偶然，真的具有一定的规律性。时间关系，我们不再继续验证。刚才那位同学的思维模式是什么？
生：物品总数如果能均分3份，就把物品尽量平均分成3份来操作。
师：为什么呢？
生：把物品总数平均分成3份来操作，这样称1次就可以断定次品在哪一份里，每一次都最大限度地淘汰，最后的次数自然就会少下来。
三、强化训练
师：通过刚才的探究，我们已经找到了内在的思维规律，现在老师想考验一下咱们班同学的数学感觉如何，看看谁的反应快？如果不是12瓶，而是27瓶中有1瓶次品，用天平称称，至少几次保证找到？(提醒运用刚才发现的思维模式，马上有学生举手。)
生：3次。
师：别乱说，不可能吧？27瓶蛮多的，3次怎么可以保证找到？
生：我把27瓶平均分成3份，每份9瓶；称1次就可以推断次品在哪个9瓶里。然后9瓶就像刚才那位同学那样再均分3份来称，2次就够了。我这里只增加了1次，所以3次就找到了。(教师随着学生的表述相机板书“27→(9、9、9)→(3、3、3)→(1、1、1) 3次”。)
师：真聪明！把27瓶平均分成3份，每份的9瓶，也可以假设看成一个超大瓶。这样，27瓶就转化为了3个超大瓶，称1次，自然就可以断定次品在哪个超大瓶里，也就是哪个9里。然后把9再平均分成3份，以此类推，每称1次，都淘汰两份，剩下一份。最后的次数一定就是最少的。如果不是27瓶，而是81瓶呢？(有学生脱口说要9次，可能是想到了九九八十一。)
师：嗯！有可能。是至少吗？(马上有学生反应过来。)
生：4次就够了。
师：请问怎么称？
生：把81瓶平均分成3份，每份27瓶，称1次就可以知道次品在哪个超大大瓶27里。27瓶刚才是3次，所以81瓶中有1瓶次品，用天平称称，4次就够了。
师：真了不起！他也学会转化了。如果不是81瓶，而是243瓶呢？
生：5次。跟上面一样，把243均分3份，只比81瓶多称了1次。所以是5次。
师：反应真快！有没有哪位同学猜到老师接下来会出哪个数？
生：729。
师：真是英雄所见略同！老师真的要出729，如果真有729瓶，其中1瓶是次品，用天平称称，至少几次保证找到？
生：6次。
师：接下来就到哪个数了？
生：2187。
师：现在大声地告诉老师，如果真有2187瓶，其中1瓶是次品，用天平称称，至少几次保证找到？
生：7次。
师：开始时猜需要2186次的是哪位同学，请问此时此刻有什么想说的吗？(该生起立，笑着无言以对。)
师：是什么让这位同学无言以对？从两千多瓶中找一瓶次品，起初我们本能地感觉怎么也要两千多、一千多或好几百次，其实7次足矣。前后相差之大，远远超出了我们的想象。这就是数学思考的魅力。也正是这种无穷的魅力，才让我们这位同学感觉无言以对。其实不只是这位同学，刚开始时，我们都没有想到啊！(轻轻摸摸该生的头，示意他坐下。)
四、全课总结
1.全课小结
师：(指着板书上的“次品”)请问我们今天上的什么课？
生：次品课。
师：(故作生气状)瞎说！你才上次品课呢。(顺手在“次品”前写上一个大大的“找”字，全体听课教师则会心地哈哈大笑。)
2.提出问题
师：今天我们找次品的物品总数不管是9、12，还是27、81、243……都是3的倍数，也就是可以直接均分三份来操作，如果物品总数不是3的倍数，又该怎样操作呢？这个问题，需要我们下节课来继续研究。