设计数学实验，让学生体验和发现——“3的倍数的特征”
设计数学实验，可以给学生大量的机会去观察、猜想、对比、归纳、验证、交流，使学生能够经历知识的产生、形成和发展的过程，从而达到对数学知识的“再认识”和“再创造”的教学境界。
——黄爱华
话题导引
在小学数学课堂教学中，常常会看到这样的情况：有的教师动了很多脑筋，力求把自己所讲解的一切知识都变得明白易懂，毫无困难，使学生用不着再进行思考；有的教师擅长用多媒体技术把“麻烦”的数学实验演示得清清楚楚，非常顺利地得出数学结论，使得学生用不着花费大量的时间去操作实验；有的教师干脆省略所有繁杂的过程，直接告诉学生数学知识是怎么回事，使得学生即使把知识运用得游刃有余，也感受不到数学知识本身的奇妙和魅力。
小学生的思维正处在由以具体形象思维为主向以抽象逻辑思维为主过渡的阶段，而数学恰恰又是一门抽象性与逻辑性很强的学科。教学中，我们必须在数学知识的抽象性和学生思维的形象性之间找到一个连接纽带，引导学生在数学实验活动过程中探究。
设计数学实验让学生经历和发现，是课程改革以来被明确提出和广泛应用的教学方法。让学生通过自己动手操作，进行探究、发现、思考、分析、归纳等活动，最后获得概念、理解或解决问题。小学生年龄小，实际经验少，活泼好动，喜欢游戏模仿，喜欢动手操作，适于进行具体形象思维学习。因此，让小学生用自主操作实验的方法学习抽象的数学知识，不但非常适应儿童心理发展特点，适合儿童的认识规律，能激发起学生的学习兴趣，有利于从小培养学生的探究实验能力和自主创新精神，而且数学实验作为用具体的方法研究学习抽象的知识，能够弥补数学的抽象性，使数学更容易被认识和理解。
课堂回放
“3的倍数的特征”这节课，是在学生已经掌握了因数和倍数及2、5的倍数特征的基础上进行教学的，是求最大公因数、最小公倍数的重要基础，也是学习约分和通分的必要前提。教师要引导学生经历与探索能被3整除的数的特征的过程，通过观察、猜测、验证等活动，归纳出3的倍数的特征，并且能熟练地判断一个数是否是3的倍数，以培养学生观察、分析、动手操作及概括问题的能力，进一步发展学生的数感，体会探索数的特征的一些方法。
镜头一：请你用4颗算珠拨3的倍数
师：同学们，昨天我们已经学习了2和5的倍数的特征，还记得吗？谁愿意说说？
生：2的倍数的特征是它的末尾数字是0、2、4、6、8，而5的倍数的特征是它的末尾数字是0、5。
师：很好！今天，我们一起来研究3的倍数，看看3的倍数有什么特征？（板书：3的倍数）大家应该还记得，我们在研究2和5的特征时，是通过观察数的末尾数字来发现2和5的倍数的特征的。那么，研究3的倍数时，能不能也通过观察一个数的末尾数字得到它的特征呢？下面请大家把“百数表”拿出来，快速地在3的倍数上画图，看看3的倍数的末尾数字有什么特征？
……
师：同学们观察得很仔细，很快就有了自己的判断。下面，我想请几个同学来说一说3的倍数的末尾数字有什么特征？
生：末尾数字是0到9的数都有可能是3的倍数。
生：我认为3的倍数的末尾数字没有什么规律，因为从0到9都有。
师：那我们能不能根据一个数的末尾数字来判断这个数是不是3的倍数呢？
生：既然3的倍数的末尾数字从0到9都有可能，那肯定不能根据末尾数字来判断。我认为它与各位上数的和有关。
师：哦？你不但看出3的倍数的特征与它的末尾数字无关，还为我们研究3的倍数的特征提供了一条很好的思路。你真聪明，谢谢你！
师：同学们刚才观察“百数表”时很仔细，很快就发现了3的倍数的特征与这个数的末尾数字没有关系，那么3的倍数的特征到底与什么有关系呢？我们这节课就想办法把它研究出来。首先我们一起来做一个小实验——拨珠实验。请看活动要求：（电脑显示）
（1）用四颗算珠拨3的倍数。
（2）同桌两人合作，一人拨珠，另一个判断它是不是3的倍数（可以借助计算器）。
（3）把拨的数记在实验报告单相应的方格里。
（生活动，师巡视，生汇报）
师：谁来汇报一下你拨了一些什么数？它是不是3的倍数？
生：我拨了一个112，它不是3的倍数。
生：我拨的数是31，它也不是3的倍数。
……
（师把生汇报的数输入屏幕上的表格中）
师：这说明一个什么问题呢？有没有人拨出的数是3的倍数呢？
生：用4颗算珠不能拨出3的倍数。
师：对！刚才我们的同学在拨珠时，有些同学把4颗算珠分散放在几个数位上，有些同学干脆全放在一个数位上，可无论怎么放，都拨不出3的倍数。
策略分析
用实验的方法来教学3的倍数的特征，改变了以往让学生在百数表中圈出3的倍数，然后要求学生计算他们的数字和，通过计算找出3的倍数的特征的做法。这样做，不但提高了数学知识本身的趣味性，而且让学生可以更好地经历探究3的倍数的特征的过程。本节课前，学生刚刚学习了2、5的倍数的特征，知道判断一个数是不是2、5的倍数要看它的末尾数字，而3的倍数的特征就完全打乱了这个思维定式。学生从观察数的末尾数字到观察这个数的数字和，具有很大的思维跨度，很难通过独立的探究得出3的倍数的特征，教师采用让学生进行拨珠实验的教学策略较好地解决了这个问题。教师引导学生首先用4颗算珠拨3的倍数，这一任务看似简单，实则不可能完成，课堂教学的进程也证明了这一点。用4颗算珠拨3的倍数，学生一开始都非常投入，可是怎么拨都拨不出3的倍数。是巧合，还是老师给的时间不够？刚开始，学生还归结为运气不好，可是全班汇报时，竟然没有一个人能用4颗算珠拨出3的倍数来，这是怎么回事呢？在这里，教师巧设“陷阱”，让学生在操作、结论中产生困惑——为什么4颗算珠就拨不出3的倍数呢？如果用其他数量的算珠呢？困惑越大，探究的欲望就越强，不待老师吩咐，他们已迫不及待地想进入下一个环节的学习。
镜头二：到底要多少颗算珠才可以拨出3的倍数呢
师：好！既然用4颗算珠拨不出3的倍数，那么，大家愿不愿意再做一次拨珠实验，看看到底要多少颗算珠才可以拨出3的倍数？
生：愿意！
师：在下面的拨珠实验中，用多少颗算珠由自己决定。还是一个人拨，另一个人判断是不是3的倍数，并把拨的数记在实验报告单相应的方格里。
（生活动，师巡视）
师：刚才同学们都非常认真，谁愿意上来展示你的实验单？
（师请一个学生到投影仪上展示“学生拨数实验报告单”，并做汇报）
生：我们用了3颗算珠，拨了120、111、30三个数，它们都是3的倍数；我们用5颗算珠拨出了32、41、113、230四个数，这些数都不是3的倍数；我们还用了6颗算珠拨了15、60、222三个数，这三个数全都是3的倍数。
师：还有谁也是用了3颗算珠拨数呢？
生：我们也是用了3颗算珠，拨出的数是102和21，它们是3的倍数。
（师板书：102、21）
师：从这两个数上怎么能看出你是用了3颗算珠呢？
生：“102”这个数百位上的“1”用了1颗算珠，十位是“0”不用拨珠，个位上的“2”用了2颗算珠，所以一共用了3颗算珠。21也是同样的道理。
[师板书：102：1+0+2=3（颗）；21：2+1=3（颗）]
师：有没有谁用3颗算珠拨出一个不是3的倍数呢？
生：没有。
师：我们再来看看用5颗算珠拨出来的数，哪些同学用5颗算珠拨数了呢？
生：我们用5颗珠子拨了一个140和11111，它们都不是3的倍数。
……
师：有没有人用5颗珠子拨出的数是3的倍数呢？
生：没有。
师：那还有谁用了6颗算珠呢？
生：我们也用了6颗算珠拨数，我们拨的数是51和123，都是3的倍数。
师：同学们，谁能看出他是用了6颗算珠呢？
生：“51”这个数的十位用了5颗算珠，个位上只用了1颗，可以看出他是用了6颗算珠。而“123”这个数的百位、十位、个位分别用了1、2、3颗珠子，所以也是6颗。
[师板书：51：5+1=6（颗）；123：1+2+3=6（颗）]
策略分析
教师安排让学生用任意颗算珠拨3的倍数的拨珠实验，通过拨数实验和全班学生的汇报，使学生初步发现用4颗、5颗算珠拨数，都拨不出3的倍数；而用3颗、6颗、9颗算珠拨数，怎么拨都是3的倍数。学生对3的倍数的特征认识有了初步的感觉，他们在实验和探究过程中建构起对3的倍数的特征的整体认知，而且随着实验的不断深入会越来越清晰。
镜头三：请你用3颗、6颗、9颗算珠……拨3的倍数
师：同学们，学到这里，我想请大家猜想一下，3的倍数的特征可能是什么？
（生独立思考后，同桌之间交流）
生：如果算珠的数量是3的倍数，拨出来的数一定是3的倍数。
生：如果一个数各位上的数字加起来是3的倍数，这个数一定是3的倍数。
……
师：好！你能说说你是怎么想的吗？
（板书：猜想一：珠子的总数是3的倍数；猜想二：各位数的和是3的倍数）
生：用3颗珠子怎么放都是3的倍数，而用5颗珠子怎么放都不是3的倍数……
师：这两个猜想有什么联系吗？
生：不一样，他们思考的方向不相同。第一个猜想想的是算珠，而第二个猜想主要看的是数字。
师：有什么不同意见吗？
生：我认为这两种猜想是一样的，因为各位数字的和其实就是一共用了多少颗算珠。
师：大家同意吗？
生：同意。
师：好！我们应该怎样验证这些猜想是否正确呢？
生：老师，可以再实验一次，用3的倍数颗算珠去拨3的倍数，这样就可以判断猜想是对还是错。
师：好吧，请你任意取一些算珠，但颗数必须是3的倍数，然后任意拨一些数，看是否是3的倍数。如果是3的倍数，老师就请你把拨的数和用了多少颗珠子输入屏幕上这个表格中。
（师生共同输入数据）
策略分析
教师让学生用3的倍数颗算珠任意拨一些数，并且把大家拨的数全部输入实验报告单中，这样很好地弥补了不完全归纳法的缺陷，使学生通过表象的累积，思维能力产生飞跃，脑海中形成比较清晰的数学模型。当教师给学生大量的机会去观察、实验、归纳、对比、推理、猜想、验证、交流的时候，他们就会被数学知识本身的魅力深深吸引。他们通过数学实验、数学活动，经历知识的发生、形成和发展过程，从而达到对数学知识的“再发现”和“再创造”的境界，这样的学习活动才是真正的生动活泼、富有个性的认知过程。
理性思考
一、数学实验教学重视知识获得的过程和方法
小学数学操作实验教学让学生的“探”在前，教师的“导”在后，注重的是知识的获得过程和方法，注重的是对学生探究能力的培养。操作实验教学法的最大特点是课堂教学中，先通过学生的自主操作研究学习，使学生初步发现并认识知识规律，然后再通过教师的评价指导使学生进一步认识掌握知识规律。操作实验教学法在学生学习数学知识方面可能不如讲授法或其他教学法学得快，但它比讲授法能使学生理解得深刻，记得牢固。操作实验教学法把学生知识形成的过程作为教学重点，而把学生对数学知识的获得作为培养学生探究实验能力过程中的载体和产物。
二、数学实验符合小学生的认知特点
人的认识的发展是有规律可循的，是从动作思维到言语思维，从具体形象思维到抽象逻辑思维，即从低级到高级的发展过程。对小学生来说，他们认识事物需要借助动作以及与动作相关联的表象，他们可以理解的对象，首先是自己的动作，然后是具体的形象，最后才是言语和词。数学教学中的实验操作以动作为认识起点，在操作中形成事物的表象，并逐步达到对事物的本质认识。通过人人动手操作，克服了学生被动地看教师演示，机械记忆的弊端，充分调动了学生多种感官，使他们主动地参与认识活动。即使班内的一些后进生，经过让其实验操作，也为他们领悟所学知识，体会获得知识的方法起到了一定的效果。
三、数学实验可以使抽象的数学知识向形象性转化
数学知识具有高度的抽象逻辑特点，而小学生的思维却具有很大成分的具体形象性，要使抽象的数学知识向学生能够理解的知识转化，必须找到某种中介，运用实验操作达到这个目的。学生在操作中通过观察、比较、分析、抽象、概括等思维活动，掌握了抽象的数学概念，同时也得到了自我探索求知的能力锻炼。
数学教学中实验操作最大的特点就是学生亲自动手、亲自实验、亲自操作，从动作出发，通过操作有结构的物质或物质化的学具，感知并形成有关事物的表象，为进一步掌握数学知识打下基础。
四、数学实验可以调动学生学习的兴趣
小学生天生具有好奇、爱玩的特点，特别是对各种实验操作、探究体验活动，都乐于参加。而小学数学操作实验教学以学生的自主动手操作学习为主，能充分调动学生的学习积极性，激发学生兴趣。借助实验操作，在教学中让每个学生都参加到实验操作活动中来，满足儿童好奇、好动的心理，使他们积极主动地进行观察思考去发现问题和解决问题，使抽象的数学知识变得生动有趣，使传统的单调死板的纸笔教学方式变得丰富多彩，从而把学习与兴趣融为一体，有利于学生产生积极的学习态度，激发学生强烈的求知欲，提高学生的学习效率。
（徐永红）