重/难点

重点：认识和理解反比例的意义。

难点：发现和理解成反比例的量的变化规律。

重/难点分析

重点分析：在学习理解正比例意义的基础上，认识和理解反比例的意义。学会判断两种相关联的变量是否成反比例，有利于学生在正反比例的对比中，建立完整的知识结构体系。同时，还增强学生发现量的变化规律以及应用反比例知识解决实际问题的能力。因此，认识和理解反比例的意义是本节课的学习重点。

难点分析：与正比例相比，反比例是刻画某一现实背景中两种相关联的量变化规律的另一种数学模型。需要学生从两种量的变化规律中，抽象出成反比例关系的解析式，这对学生的能力要求比较高。所以学生在学习上还存在一定的难度。因此，发现和理解成反比例的量的变化规律是本节课的学习难点。

突破策略

1. 通过填一填、看一看、想一想的方式，发现两种变量之间的关系，帮助学生建立反比例数学模型。出示汽车行驶120千米的路程，让学生接着填写表格（如下表1）。先让学生想一想，填写行驶3时、4时和5时分别对应的汽车速度的依据。再从表格中思考这两种量的变化规律，以及它们之间的关系。即汽车行驶的速度与行驶的时间是两种相关联的变化的量。如果行驶时间越长，那么每小时行驶的千米数就越少，因为总路程120千米不变。其中“…”符号表示的是随着行驶时间的变化，速度也随着变化。让学生初步感受两种数量之间的联系与变化的关系，感受成反比例数量关系及其变化规律的数学模型，为下面学习反比例的意义作好铺垫。

表1

2. 通过比一比、写一写、说一说的方式，归纳出两种变量的数量关系式，理解反比例的意义。根据上面表格，让学生写出每一种情形下，行驶时间与速度的乘积，并求出这些乘法算式中，相同与不同的情况，说一说有什么发现。学生通过对120×1=120；60×2=120；40×3=120；30×4=120；24×5=120……这些乘法算式的观察不难发现：在这些乘法算式中，时间与速度是两个相关联的变量，一个量变化，另一个量也随着发生变化，并且它们的乘积，即总路程不变，都是120。用一个数量关系式来表示这样的规律，即速度×时间=总路程（一定）。如果用字母来表示这两个相关联的量的关系，速度用x表示，时间用y表示，总路程用k表示，那么，得到：x×y=k（一定）。在此基础上归纳反比例的概念：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。当一种量与另一种量相对应的乘积总是一定时，那么这两种量成反比例关系，这两种量是成反比例的量。

3. 联系生活实际，通过对比，让学生感受成反比例关系的量。在日常生活中，两种相关联的量，一种量增加，另一种量反而随着减少，那么这两种量是否一定成反比例关系呢？比如教师可以出示这样一道题：一辆汽车从甲地开往乙地，已知甲、乙两地间的路程是120千米。那么，这辆汽车已行驶的路程和剩下的路程之间也是一对相关联的量（如表2），随着已行驶路程的增加，剩下的路程就减少，而已行驶的路程与剩下的路程的和，即总路程是不变的。根据反比例的意义，这辆汽车已行驶的路程和还剩下的路程不成反比例关系。因为成反比例关系的两种变量它们乘积是一定的。

表2

突破反思

反比例表示的是两种相关联的变量之间的另一种抽象的数学模型。因此，在学生的认识过程中，需要结合学生能够经常接触到的变化的数量来进行理解。在教学中，出示具体的数量及其变化，让学生观察发现它们的变化规律，再抽象出两种变量的数量关系，从而归纳得到反比例意义。并且与其他的两种变量进行比较，从而形成对反比例关系的深入理解。