生活中的推理——“简单推理”教学实录及评析

名师简介

刘延革：北京市中学高级教师，被中国教育学会、北京师范大学、内蒙古教育学会等教育机构聘为特约讲师，2001年代表北京参加全国第五届小学数学课堂教学评优课获一等奖，在国家级刊物上发表十余篇教育教学论文。

教材分析

儿童在学习和说话的同时也学习推理，在学习语文、数学等任何学科的同时，也在训练逻辑思维。但正因为“逻辑推理”渗透在人们日常的每一个行为中，人们太“熟悉”却未必有意识地去“熟知”、有意识地培养推理能力。因此，在数学课上有必要专门训练学生的推理能力。在小学的低年级，很多版本教材都有专门训练学生推理能力的教学内容，例如，在人教版小学数学二年级上册就有如下训练逻辑推理能力的内容。

在低年级，推理主要是“简单推理”。“简单”主要体现在推理都属于“二值逻辑”的范畴，即要么属于某种情况，要么不属于某种情况，而且所涉及事件比较简单，推理的步骤也比较少，可以通过“列表”解决推理问题。

高年级要解决的推理问题要比低年级的复杂，问题的解决要依赖于学生日常的生活经验、已有的数学知识以及特定的推理方法。

因此，本节课是在学生已有推理能力的基础上，进一步让学生：

1.在具体生活情境中认识推理，感受推理的重要性，学习推理的一些简单方法。

2.通过经历观察、猜测、判断、验证等数学活动，初步培养学生思维的有序性、逻辑性和全面性。

3.在自主研究和探索过程中，使学生感受到数学知识的趣味性和挑战自我的成就感。

课堂实录

一、课前谈话

师：同学们，下午好!

生：老师好!

师：谁已经猜出我就是本节课的上课老师了？你是怎样知道的？

生：我看见您刚才拿着麦克风。

师：他抓住了这个细节，判断出我是上课的老师。谁从不同的角度也猜出了我就是上课老师？

生：听课老师都坐在后面，而您站在前面，所以我认为您是上课的老师。

师：只有我在前面忙碌着，一会儿肯定是我来上课。还有谁从不同角度观察出我就是上课的老师吗？

生：我看见您在黑板前忙着擦黑板。

师：我在擦黑板，因为一会儿我要用它。同学们很善于观察，通过看到的这些信息判断出我就是上课的老师。接下来，刘老师就和同学们一起上一节数学课。

[评析：课前谈话，让学生感受到要留心观察身边的事物，因为许多信息能够帮助我们判断和解决许多问题。]

二、初步感受推理过程

师：同学们想知道刘老师的年龄吗？

生：想!

师：先凭借你的生活经验观察一下，你觉得我大概会是多少岁？

生：我觉得您42岁。

生：我觉得您35岁。

生：我觉得您37岁。

生：我觉得您32岁。

生：我觉得您34岁。

师：其他同学还有不同的观点吗？

生：我觉得您40岁。

师：刘老师今年到底多少岁呢？给你们两条信息，请你们再来分析一下。

（课件出示，如图1。）

图1

生：我认为您是36岁。

师：说一说你的理由。

生：因为是4的倍数，所以您的年龄可能是36或32岁。然后，您工作了18年，如果是32岁的话，您应该是14岁开始工作，可是14岁太小了，所以您是36岁。

师：她先有了一个大概范围——三十多岁，然后根据第一条信息，找到了32岁和36岁，再根据生活经验觉得32岁不可能，最后选定了36岁。很好! 还有不同的答案吗？

生：我认为您40岁。因为22岁才能大学毕业，加上工作了18年，我觉得是40岁。

师：出现了两个答案，认为我36岁的同学觉得我18岁开始上班，认为我40岁的同学觉得我22岁上班，一个是高中毕业，一个是大学毕业。这两个开始工作的年龄在我们日常生活中是不是都有可能？

生：是的。

师：我是60年代出生的人，请你们再来判断一下。

生：40岁。

师：好! 回顾一下刚才猜测老师年龄的过程。首先，你们凭借生活经验观察、猜测刘老师的年龄，然后根据第一条信息排除了不是4的倍数的年龄，再根据第二条信息补充上了36岁，最后又根据老师补充的条件，推断出刘老师今年多少岁？

生：40岁。

师：同学们经历了观察、猜测、分析、判断等一系列的过程，在这个过程中我们就是做了一个简单的推理。

（师板书：推理。）

师：在日常生活中，我们经常要对周围的事物进行观察、选择、判断，进而通过推理作出决策，这就是用推理的方法解决问题。

[评析：教师能从学生的心理出发，通过猜测老师的年龄拉近了师生之间的关系，消除紧张感、陌生感，又激发了学生的学习情趣，并让学生初步感知推理的一般过程。]

三、运用推理解决问题

1.根据生活经验进行推理

（课件出示，如图2。）

图2

师：图中的两个箭头分别指向哪里？

生：上海和北京。

师：这是来往于两地之间的一辆大巴车，如果这两个人想前往上海，他们能否搭乘这辆车？

生：不能!

师：为什么？

生：通过观察，我发现这辆车是在内侧的，就说明它是开往北京的。

师：你是通过哪个信息把路分成内外侧的？

生：路中间的黄线。

师：他观察到路中间的黄线，车既然在黄线的那一侧，就说明车肯定是开往北京的。还有同学能从不同角度判断吗？

生：我观察到，冲着北京箭头的方向是车头。

师：这位同学又给我们指出了一个重要的思考方向，判断哪边是车头。同学们可以根据车头、车尾的区别思考一下。

生：车头有反光镜，而车尾没有。

师：仔细观察一下，车露出的那一端有反光镜吗？

生：没有。

师：这说明反光镜肯定在另一边，也就说明车头是什么方向？

生：北京方向。

师：还可以从哪些地方判断它是开往北京的？

生：中国大巴车的门在右边，而我们看不到这辆车的车门，说明门在另一侧，这辆车是开往北京的。

师：太好了，又给我们提供了一个思考的角度，通过观察车门的位置也可以帮我们判断出车行驶的方向。同学们从不同的角度观察，得到的答案却是一致的。回顾整个过程，我们推理这个问题时是凭借生活经验，也就是对车的了解来思考的。你们说，生活经验重要不重要？

生：重要。

师：真的很重要! 而且，生活经验是我们学习数学知识非常重要的基础。

[评析：通过猜测汽车行驶方向这个实际问题，使学生看到推理在生活中的应用价值，同时让学生感受生活经验在解决问题中的重要性，教育学生重视生活经验的积累和培养。]

2.运用数学知识进行推理

师：一个刚刚毕业的大学生来到一家广告公司，他向接待他的小姐提出了一个问题：我想知道贵公司员工每月的收入是多少？接待小姐怎么回答的？

（课件出示，如图3。）

图3

生：我们公司每月员工平均工资1500元。

师：他又在想什么？单凭收入而言，他去不去这家公司？

生：不去。

师：理由？

生：因为接待小姐说公司员工收入是每月1500元，这样大学生每月将一分不剩。

师：这位同学认为，大学生给自己设定的消费额度是1500元，而进公司之后才挣1500元，这样就没有结余了，所以不去! 你有不同意见吗？

生：接待小姐所说的是平均工资1500元，也许有的人工资会高一些，像他这样的大学毕业生，也许能赚3000元呢! 3000元肯定够了。

师：这个同学提到了一个重要的概念——平均工资。什么叫平均工资？

生：所有人的工资加起来除以总人数。

师：也就是说，不是某个员工的工资数，而是一个公司工资的水平值。在这个公司的员工中，肯定有拿1500元以上的，也会有拿1500元以下的。刚才这位同学的观点是这个大学生能拿3000元，也就是拿到平均工资以上，其他同学有不同意见吗？

生：我不同意，我觉得他刚刚毕业进入这个公司不可能拿到那么高的工资，一开始可能还不到1500元呢，所以我觉得不能去这家公司。

师：这位同学的意见是，一个刚刚毕业的大学生进入工作单位后，他拿到的工资应该是平均工资以下。我们来交流一下，什么人能拿到平均工资以上？

生：工作经验比较丰富的人。

生：工作年限比较长的，职位比较高的人吧!

师：你们觉得，刚刚毕业的大学生进入一家公司，应该拿到平均工资以上还是以下？

生：以下。

师：去不去这家公司工作？

生：不去!

师：同学们在推理这个问题的过程中，不仅用到了我们的生活经验，而且用到了所学的数学知识，也就是对平均数概念的理解。所以，生活经验和数学知识都是重要的，我们在日常生活和学习的过程中要不断地去积累它们，然后用它们帮助我们解决各种问题。

[评析：通过此问题的解决，再一次让学生感受到生活中需要推理解决的问题无处不在，初步学会利用已有生活经验和知识经验进行分析判断事物的结果。]

四、学习推理简单方法

（课件出示，如图4。）

图4

师：一场激烈的赛车比赛正在进行，你能知道哪些信息？

（生读题。）

师：请同学们排列一下此时这几辆车的前后顺序。

（生独立解决，师巡视指导。）

师：已经有答案的同学，思考一下，你能不能用清晰简洁的语言把你的思考过程说出来。

生：我的答案是DBAC。

生：B车在A车前2千米处，就是说B车在前，A车在后。D车在A车前5千米处，所以D车肯定比B车快，现在的顺序是DBA。又因为C车在D车后10千米的地方，所以肯定是C车最慢。

师：这位同学的语言表达非常清晰。我们再来看看这位同学是怎样思考的？请他把思考的方法给大家呈现在黑板上。

生：我是用画图的方法。

（生到黑板前操作，如图5。）

图5

师：同学们觉得他的方法怎么样？

生：挺好的。

师：怎么好？

生：我认为他这种方法比较直观，一下就能看出来是怎样的顺序。

生：这样看着画比凭空想清楚，不容易重复，不容易乱。

师：真好，也就是说，画图中能看着上一个环节推理的结果继续往下想，这样比较直观，思考起来就显得轻松一些。

生：是的。

师：怎样使这幅图一看就知道谁在前，谁在后？

生：标上顺序。

生：写上终点、起点。

生：画一个箭头。

师：哪个更好？

生：画箭头!

（生到黑板前操作，如图6。）

师：一个小小的符号，就把我们想说的话表达得很清楚了。回顾刚才这位同学推理的过程，他从第几个条件入手，接着又用了哪个条件？

图6

生：先用第二个条件，再用第五个条件。

师：为什么不用第三个条件？

生：第三个条件与第二个条件没有任何联系，用不上。

师：第二个条件与第五个条件有什么联系？

生：都有A。

师：同学们推理这个问题用了几个条件？

生：3个。

师：同学们在解决问题的时候一定要睁大眼睛，认真地观察摆在我们面前的这些信息，选择有用的条件来用，用的时候还要紧紧抓住条件和条件之间的关系，遇到比较抽象的问题，还可以用画图的方法帮助自己思考，这样可以清晰地看到条件和条件、条件和问题之间的关系。你们说，推理有没有方法？

生：有。

师：真的，推理是有方法的。

[评析：学生通过这个问题的推理，初步认识推理的一般方法，即对已知信息的筛选、分析，通过抓住联系，有序地一步步寻求答案的思维过程，而且必要的时候可以运用直观的方法帮助自己思考。]

师：快看看下一个问题，又会用到推理的什么方法呢？一个国际联谊会，彼得、孙慧、汤姆、木子、玛丽被分配到了一桌，他们每一个人都会两种语言，谁挨着谁坐便于他们交流呢？请看信息。

（课件出示，如图7。）

（生思考，师巡视。）

师：让我们看一看这些同学在做什么？

图7

（课件展示学生作品。）

生：他们在整理条件。

师：你觉得他们的做法怎么样？

生：我觉得把条件列举出来，可以使我们看得更清楚。

生：把信息整理出来，更方便我们思考。

师：也就是说，我们在解决问题的时候，面对这些纷繁复杂的信息，应该先把它们进行整理和简化，这样可以清晰地看到条件之间的关系。请同学参照整理好的信息继续把任务完成，有了自己答案的同学可以互相交流一下。

（生思考，并交流。）

师：哪位同学说一下你的答案？

生：我是从孙慧入手的，孙慧挨着木子用中文交流，木子挨着彼得用日语交流，彼得挨着玛丽用法语交流，玛丽和汤姆也用法语交流，汤姆和孙慧用英语交流。

生：我是从最特殊的条件入手的，也就是只有玛丽一个人会西班牙语，她只能用法语交流，所以汤姆和彼得是挨着玛丽的。再看汤姆还会英语，所以孙慧挨着汤姆。而彼得还会日语，所以木子挨着彼得。

师：这个同学从最特殊条件入手想，一下就安排出来几个人的座位？

生：3个。

师：然后只需安排哪两个？

生：木子和孙慧。

师：你们觉得这个方法怎么样？

生：太好了!

师：怎么好？

生：非常方便快捷!

师：从特殊的条件入手，可以比较快找到答案! 你们说，推理有没有方法？

生：有!

师：随着以后的学习，你们还会学到许多有关推理的方法，推理这部分内容有没有意思？

生：有!

师：能说一说这节课的体会或者收获吗？

生：做事有条理，要分析，有顺序地做。

生：解决一个问题是有多种方法的，但有一种是最优的，应该选最优的方案去解决问题。

生：生活中多观察，积累经验，对于我们做数学题也是有帮助的。

生：对复杂的信息要简化，这样可使我们更容易看清关系。

师：同学们有了收获，就是刘老师这节课的收获。下课!

[评析：推理的过程就是对信息处理、加工、分析的过程，教师通过最后一个问题的推理，使学生深刻认识到整理信息的必要性，观察信息特征、把握内在联系的重要性。]

教学反思

逻辑推理在生活中无处不在，培养学生的推理能力是数学教育的重要目标。新课程标准中明确指出，推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

新课程标准首次将“推理能力”单独作为学习内容，而不仅仅渗透在其他的学习活动中，将这一隐性的、长远的、不易直观感知其存在和作用的推理能力明确地推到了“台前”，并强调推理能力的发展应贯穿整个数学学习过程。当然，推理能力不是与生俱有的，需要通过学习锻炼才能形成和提高。

为了落实新课程标准中提出的这一教学目标，各版本教材（基本上都在低年级段）中编写了训练推理能力的教学内容。但在高年级段，各版本教材中都不再单独编写训练推理能力的教学内容，而是将推理能力的培养融入其他教学内容中。

那么，小学高年级是否有必要再单独设计“推理”一课呢？设计这一课的教学目标是什么？选取什么样的“推理问题”来达成教学目标？

首先，我认为学生在低年级虽然学习了一些简单推理的内容，在高年级的学习中也在不断培养推理能力。但是，学生并没有认识到，推理既是一种思维方式，又是一种重要的解决问题策略，而且推理的过程是有方法在辅助的。这些内容的学习对学生是有必要的，并且只能在高年段的学习中学生才能认识和感受。基于上述的认识，我在五年级的学生中做了大胆的尝试，选取了大量生活中的素材，让学生经历运用推理解决问题的过程，学习推理的简单方法，感受推理内容的趣味与价值。

专家点评

逻辑推理是一种重要的思考工具，任何人都能意识到它的重要性。在日常生活中，一个人的思维可以出偏差，可以有不合逻辑的小错误。但在学习和工作中则不同，如果没有逻辑推理能力，则会出现逻辑混乱，导致错误的结果等严重的问题。尤其在当今和未来社会中，人们面对纷繁复杂的信息经常需要作出选择和判断，进而进行推理、作出决策。因此，专门的逻辑思维训练，无论对学生还是对要求提高工作能力的成年人而言都是十分有必要的。

推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则证明（包括逻辑和运算）结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。在推理过程中，要遵循逻辑的基本定律，即同一律、矛盾律、排中律，否则就会得出荒谬的结论。“同一律”指的是，在同一思维过程中，每一思想与其自身是同一的，用公式表示：A 是A。“矛盾律”指的是，在同一思维过程中，相互否定的思想不能同时为真，必有一假，用公式表示：A不是非A。“排中律”指的是，在同一思维过程中，相互矛盾的思想不能同时为假，必有一真，用公式表示：A或非A。

小学阶段主要是发展学生的合情推理的能力。刘延革老师执教的“简单推理”（五年级）一课，就是借助学生的生活经验和知识经验，在具体的情境中进行观察、猜测、分析、判断等思维活动，从而发展学生的推理能力。

1.根据学生特点与教学目标选取教学素材

有效学习数学的关键是学生能够自主、主动地参与到数学学习活动中去。学生参与学习的程度与学生最初接触学习对象时所产生的情感和意动要素密切相关，如对学习对象的喜好、成功的学习经历、适度的学习焦虑、成就感以及对数学与数学学习价值的认可等。虽然不同的个体，其情感和意动要素不完全相同，但相同年龄段的学生有着整体上的一致性。通过阅读文献资料，我们知道不同年龄段的学生在整体上有比较明显的差异。

小学低、中年级的学生更多地关注“有趣、好玩、新奇”的事物。因此，学习素材的选取、呈现以及学习活动的安排都应当充分考虑学生的实际生活背景和趣味性（玩具、故事等）。

小学中、高年级的学生开始对“有用”的数学更感兴趣。此时，学习素材的选取、呈现以及学习活动的安排，更应当关注数学在学生的学习（其他学科）和生活中的应用（现实的、具体的问题解决），使学生感觉到数学就在自己的身边，而且学数学是有用的、必要的（长知识，长本领）。

小学高年级、初中的学生开始有比较强烈的自我意识和自我发展的愿望，因此对与自己的直观经验相冲突的现象，对有挑战性的任务很感兴趣。素材的选取除去关注数学的用处以外，也应当设法给学生经历“做数学”的机会（探究性问题、开放性问题），使学生能够在这些活动中发展自我，初步形成“我能够，而且应当学会数学的思考”的愿望和能力。

除了上述“理性思考”外，为了“创设现实而有吸引力的学习材料”，刘延革老师在课前做了学生调研，了解学生在数学课上对什么样的问题比较感兴趣，如熟悉的（有生活体验，“能说上话”）、有难度的（有挑战性）、开放性的（多种解决方法）、有时代气息（新鲜事物）的问题。

本节课所用的素材，就是根据学生的年龄特点和心理特点以及教学目标进行设计的，都是学生在日常生活中能够见到的、熟悉的事情。

坐车问题：在城市中经常有“上班追车”情况发生。让学生经历“搜集相关信息，进行推理”的过程，培养搜集有效信息进行推理的能力。

找工作问题：理解“平均工资”，让学生感受到所学习的数学知识能帮助解决实际问题。

赛车问题：电视中经常会出现赛车的情景，生活中经常会遇到排序的问题。另外，增加了多余条件，让学生学会选择有用信息进行推理，并且强调了“画图”这一重要的问题解决策略。

安排座位问题（开会和吃饭）：将条件的顺序打乱，整理信息后进行推理，强调找解决问题的“突破口”——从特殊条件入手，是解决问题的重要方法。

总之，教学素材的选取不仅仅凭借教师的经验来主观选择，而且要通过文献资料阅读来研究学生的心理生理特点和兴趣爱好，要对学生进行实际的调查研究，更要时刻不忘记教学目标是什么，从而选择恰当的教学资料实现有效的教学。

2.教学中让学生经历“过程”，培养推理能力

能力的发展绝不等同于知识技能的简单习得，能力的形成是一个缓慢的过程，它不是学生“懂”了，也不是学生“会”了，而是学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法等。这种“悟”，只有在数学活动中才能得以进行，因此教学过程中必须给学生提供探索交流的空间，组织、引导学生经历观察、实验、猜想、验证等数学活动过程。

刘延革老师的这节课，就给学生提供了充分的从事数学活动的时间和空间。每一个问题提出后，学生都有自主探索的时间，他们在看一看、想一想、试一试的思维活动中进行学习，而教师不做任何提示，使他们有了独立观察、分析、判断的思考空间。当思考有了答案或遇到困难时，教师再组织学生进行讨论，在交流中解除困惑、明确思想。汇报时，教师启发学生能用数学的语言清晰地、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据。

更为重要的是，刘老师在解决一个问题后，总要留出时间和学生一起进行“回顾、反思、总结、提升”。

师：好! 回顾一下刚才猜测老师年龄的过程。首先，你们凭借生活经验观察、猜测刘老师的年龄，然后根据第一条信息排除了不是4的倍数的年龄，再根据第二条信息补充上了36岁，最后又根据老师补充的条件，推断出刘老师今年多少岁？

生：40岁。

师：同学们经历了观察、猜测、分析、判断等一系列的过程，在这个过程中我们就是做了一个简单的推理。

“回顾”的是问题解决的过程（条件、问题、思维过程），“反思总结”的是问题解决的方法和策略，只有经历这样的过程，学生才能掌握方法、提升问题解决的反思能力。

3.转变学生的数学观，强化数学的理性精神

数学是什么？美国数学家R·柯朗在其著作《什么是数学》中提出：“数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要素是，逻辑和直观、分析和构造、一般性和个别性。虽然不同的传统可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成了数学科学的生命、用途和它崇高的价值。”显然，逻辑严谨性、推理性是数学的基本特征。学生如何感受这些特征？

数学不应当是独立于学生生活的“外来物”，不应当是封闭的“知识体系”，更不应当是由抽象的符号所构成的一系列数学事实，如概念、定理、公式、法则等（在学生们的头脑中“数学”除了计算就是数量关系）。

通过这样的推理教学，学生感受到除了基础知识和基本技能以外，数学还包括作为解决问题的数学（数学是一种工具）、作为交流的数学（数学是一种语言）、构成思维方式的数学（是一种意识、观念、精神、态度）和作为艺术的数学（严密的逻辑关系、规律美、图形美）等，拓展了数学学习的主题，扩展了学生对“数学”的认识。

这实际上就是转变学生对数学的态度，即数学观的转变。数学观是第三维目标中“态度”目标的重要内容，“态度”是一个内涵非常丰富但理解起来又非常笼统的概念，其对学生的学习效果及其成长所起的作用非常大，但在教学中如何落实则困难重重。

首先，我们要清楚“态度”的内涵。很多研究者（例如奥尔伯特、杜威、克伯屈、弗里德曼等）都对“态度”进行了深入细致的研究。概括起来说，态度是影响个体行为选择的内部状态，是个体对自我、他人以及这个世界的看法或者是个体的信念系统。具体来说，弗里德曼从以下几个角度对“态度”的内涵进行了分类：对求知的态度、对交往的态度、对学科的态度、对学习方式的态度、对自我发展的态度。由这几个维度不难理解态度的内涵，刘延革老师这节课培养的就是对数学学科的态度以及如何学习数学的态度。

其次，“态度”的培养必须经历“过程”。情感、态度与价值观是紧密结合在一起的，在积极的情感基础上产生正确的态度与价值观，这三者的培养是在充分的数学活动过程中形成的，否则就是“说教”，很难使学生产生积极的情绪、情感，态度与价值观的养成也就流于形式。即如著名心理学家马斯洛所说，不要以外部“行为”代替“感受和体验”，必须经历“体验”的过程，经历这一过程，才能有态度的培养。刘老师这一课，正是让学生充分经历了前面所分析的“过程”，真正做到了有态度的培养。

（北京教育学院教师教育人文学院 刘加霞）