不要低估了学生的想象力——王冬梅老师执教的“圆柱的体积”课堂纪实与评析

潍坊市教科院 侯京友 评析

本节课是山东省青岛版六年制小学数学教材培训的一节示范课。这节课是数学教学中的研究性学习课型，具有很强的代表性。教师如何组织类似的课，给学生创造一个什么样的学习环境，教师充当什么样的角色，把握一个什么样的“度”，都是大家关心的。本节课教师教学理念先进，在遵循儿童认知规律的基础上，让学生经历了“从生活中提取数学信息—提出数学问题—猜想解决问题的方法—感知数学模型—数学化（实验、验证、推理、想象）—形成理性概念（公式）”的过程。教学中教师实行的是“再创造”的教学策略，也就是由学生本人去发现和创造要学的东西，教师只是充当了“助产师”的角色，引导和帮助学生进行这种再创造活动，而不是把现成的知识灌输给学生。在教学的过程中，学生通过动手动脑，在“做”中学，在积极思考中合作交流，“放”得到位，“收”得及时，学生的学习和探究能力得到了充分的培养。教师尊重了学生学习的差异性和多样性，个性化的教育理念深入其中。教师把教会学生学习作为教学的首要任务，使学生学会了从特殊到一般，从直观到抽象，从猜想到验证的研究方法和推理方法。

一、创设情境，提出问题，研究问题

1.谈话导入

同学们，春天来了，天气越来越暖和了，我心里特别高兴，因为在炎热的天气，可以吃到我最喜欢一种食品了!（屏示：冰激凌）用数学的眼光看，这两种冰激凌的包装盒分别是什么形状？（生答：圆柱形，圆锥形）继续观察，你能提出什么问题？同学们提出的问题还真不少。这节课咱们就先来研究一下怎样求圆柱的体积。（板书课题：圆柱的体积）

2.新课

师：（手持实物冰激凌盒）这是一个圆柱体冰激凌盒，你想怎么求它的体积？

生：把盒子倒满水，把水倒入量筒里直接量得水的体积。

师：这个方法很不错! 那如果是一块圆柱形橡皮泥呢？还能用倒水这种方法吗？（不能）快想想还有什么别的办法!

生：用手捏，把它转化成长方体。（板书：圆柱体转化成长方体）

师：哦，用转化法来求它的体积，这个方法很好!（出示金宝乐园图）

好! 下面我们就用刚才的方法来求金宝乐园圆柱形门柱的体积吧!（停顿）能捏吗？这个方法还行吗？

生：不行了。

师：那怎么办呢？大胆猜想一下，你觉得圆柱体的体积可能和什么有关？

生：可能和底面积、高……有关。

师：那到底和它们有什么样的关系呢？

生：我们在学习圆面积的时候，曾经把圆转化成长方形来推导，圆柱体的底是圆形的，我猜可能把底面转化成长方形，这样，圆柱体就变成了长方体。因为长方体的体积等于“底面积乘以高”，我猜圆柱的体积也可能等于“底面积乘以高”。

【赏析】从生活入手，激起学生的学习动机，明确了学习的目标和学习的方法，通过挑起学生的认知冲突，诱发学生的探究欲望，使学生初步感知数学的学习过程，知道如何从生活中提出问题，如何经过试验、操作等直观经验走向数学的理性推理，从数学猜想走向数学验证。

师：这个同学的猜测有理有据，非常好，我也有这种感觉。那么，咱动手验证验证好吗？

屏示小组合作提示板。

（1）发挥集体智慧，利用手中材料动手操作，试试能否将圆柱体转化为已学过的立体图形。

（2）转化前的圆柱体和转化后的物体之间有什么关系？

温馨提示：用小刀一定注意安全哦!

师：操作时第1题用1号袋的学具（小刀，圆柱形萝卜块），第2题用2号袋的学具（圆柱体转化成长方体的标准数学学具）。

（师深入小组，参与小组活动）

师：哪个小组先来展示你们的验证过程？

1组：像圆面积推导那样，我们沿着圆柱体萝卜块的底面直径把它平均分成8份，就可以拼成一个近似的长方体。我们还发现，转化前后它们只是形状变了，体积没变，高也没变。

师：你们组其他成员还有补充吗？其他小组还有补充吗？

生：我们是把圆柱体萝卜块平均分成了16份，也拼成了一个近似的长方体。我们还发现转化前后不光是体积没变、高没变，底面积也没变。

师：你们为什么平均分成了16份呢？

生：我们觉得分的份数越多，拼成的立体图形越接近长方体。

师：同学们，你们同意吗？其他小组还有补充吗？

2组：我们有补充! 我们组是用学具来验证的。我们发现，圆柱的体积就等于长方体的体积，圆柱的底面积等于长方体的底面积，高也没变。根据长方体的体积公式，我们推导出：圆柱体的体积就等于底面积乘高。我们还发现，正方体、长方体、圆柱体都是直柱体，体积都是底面积乘高。

师：你可真博学! 其实不仅正方体、长方体、圆柱体，以后还要学到的直三棱柱、直五棱柱、直六棱柱等都叫直柱体，它们的体积都等于底面积乘高。

2组：我们的汇报结束了。其他组还有问题吗？

生：我有问题! 刚才操作的时候，我把圆柱体转化成了底面是平行四边形的物体。我想问你们组一个问题，转化后的物体的体积和它底面的形状有关吗？

2组：无关，不管变成什么形状，转化前后体积不变。

生：我还有问题! 请问转化前后表面积变了吗？

师：谁能回答这个问题？

生：我能! 请同学们看手中转化后的长方体，它比圆柱体多了两个面，是左、右这两个面。

生：（低头看着手中的学具）是的，我明白了，表面积变大了，因为多了两个面。

师：还有问题吗？

生：没有了。

师：好，我们一起来梳理一下同学们刚才的验证过程。

（课件演示）

师：同学们来看，这几个是转化后的立体图形：第一个是平均分成4份的，第二个是平均分成8份的，接下来平均分成16份的、32份的，是不是像刚才那位同学说的那样，分成的份数越多，越接近长方体呢？那还可以继续分吗？如果有足够高明的技术，当然还可以继续分下去。请同学们想象，平均分成64份、128份、256份……分的份数越来越多，无限多下去，会怎么样？

生：越来越接近长方体。

师：这样，我们就成功地把圆柱体转化成了近似的长方体，那转化前的圆柱体和转化后的长方体之间，有什么关系呢？（屏示关系）体积没变，底面积没变，高没变。

师：你们认可它们之间的关系吗？

生：认可!

师：那我把你们认可的写在黑板上，好吗？

生：好!

师（边说边板书）：长方体的体积=圆柱的体积，长方体的底面积=圆柱的底面积，长方体的高=圆柱的高，因为长方体的体积=底面积×高，所以圆柱的体积=底面积×高。我们用字母v表示圆柱的体积，字母s表示底面积，字母h表示高，圆柱的体积公式用字母就可以表示为v=sh。

【赏析】教师的教学方式决定着学生的学习方式。当把学生作为探索者、研究者放入一个开放的学习环境中时，学生的潜力就会是无穷的，解决问题的方法也将是多样的。在圆柱体体积公式的推导过程中，教师充分给予学生合作学习的空间、研究学习的时间，不求一统的学习方法，学生借助于已有的数学知识和思维方法，通过动手、动脑，“再创造”地推导出了圆柱体的体积公式，从而验证了自己的猜想和推理，这对学生来说是多么愉悦的学习过程啊！

二、巩固提高，拓展应用

师：同学们，刚开始上课的时候，我们用做实验的方法来求圆柱体的体积，发现实验法有局限性，很多圆柱体体积不能用实验法来求，而用公式计算就不存在这个问题了，只要知道了相关数据，就都可以计算。我们先来算一算这个冰激凌盒的体积，好吗？

（主题图问题屏示）

生：要先根据直径求半径，然后求出包装盒的底面积，再根据体积公式求出圆柱的体积。

底面积：3.14×（12÷2）2=113.04（平方厘米）

体积：113.04×20=2260.8（立方厘米）

答：这种包装盒的容积是2260.8立方厘米。

师：请同学们打开课本第26页第一题，每人任选一个来计算，看谁做得又对又快。（屏示下面图形的体积。单位：厘米）

求下面图形的体积。（单位：厘米）

（出示金宝乐园大门柱）

师：现在，你会求圆柱体门柱的体积了吗？你认为需要知道哪些条件？只说思路，不计算。

生：底面积和高。

生：可能量半径或者直径和高。

生：（争论怎样测量半径和直径的问题，没法量直径和半径）我们认为这个方法不太好，还是周长和高比较好量。

师：其实测量直径要借助一个工具，叫卡尺，它是专门用来测量直径的。

……

师：好了，同学们，不管知道了直径还是周长，最后都要求出半径，再求出底面积，然后乘高来求体积。对吗？

生：对!

师：这是我得到的数据。（屏示周长和高的数据）有兴趣的同学课后可以计算一下! 同学们，这节课我们用猜想和验证的方法、转化的思想探究出了圆柱体体积的计算方法，不仅学会了怎样计算，而且明白了为什么要这样算。真的是在学习中学会了学习。祝贺大家! 下课!

（本文获山东省首届课程实施优秀成果一等奖，

发表于《山东教育》2010年第7～8期）