“因数和倍数”教学案例分析

济南市洪家楼小学　王军亮
问题提出
“因数和倍数”是一节数学概念课。数学概念是抽象与具体、个别与一般的辩证统一。在以往的教材中，都是通过除法算式来引出整除的概念，每个除法算式对应着一对有整除关系的数，如b÷a＝n表示b能被a整除，b÷n＝a表示b能被n整除，在此基础上再引出因数和倍数的概念。人教版新教材在引入因数和倍数的概念时与以往的教材有所不同。教材中没有用数学语言给“整除”下定义，而是利用一个简单的实物图（2行飞机，每行6架）引出一个乘法算式，通过这个乘法算式直接给出因数和倍数的概念。新教材这样编排有利于教材结构与学生的认知结构产生同化，有利于学生主动构建新知。基于新教材带来的优势，我选择了《因数和倍数》一课。
案例概述
“因数和倍数”第一稿
“兴趣是最好的老师”。在初步设计课时，我从学生喜闻乐见的趣味成语导入，并通过成语展开教学。
一、成语引入
（课件出示）（　）面（　）方　　（　）光（　）色　　举（　）反（　）
二、探究因数和倍数的意义
（一）四面八方
1.探究8的因数
（1）板书：4×2=8 这是一个乘法算式，在数学上这几个数就具备了一种关系。这时4就是8的因数（过去叫约数），8是4的倍数。（板书）
因数和倍数就是今天我们要研究的内容。
（2）2呢？相邻两个同学互相说一说。
（3）8的因数只有2和4吗？
（4）学生找8的因数还有1和8。（小组说1和8之间的关系）
（5）你能在练习纸上写出8的因数吗？（指名上台写并评价写的方法）
（6）画集合图表示8的因数。
2.探究8的倍数
（1）我们找出8的因数了，那8的倍数有哪些数呢？你能说一个吗？
（2）在练习本上写出8的倍数。指名上台写。（写得完吗？怎么办？）
（3）那找8的倍数你有什么小窍门吗？
（二）五光十色
1.根据刚才大家研究8的经验，再来研究10，找出10的因数和倍数，你行吗？（学生自己写，指名板演）
2.你是怎样找出10的因数（倍数）？（课件出示，板书）
（三）举一反三
1.研究了8和10，其他数还行吗？
出示：你能从中选两个数，说一说谁是谁的因数？谁是谁的倍数吗？
3、5、18、20、36
2.刚才老师在听的时候，发现有好几个数都是36的因数，你发现了吗？在这里36的因数都有谁呢？
3.你能把36的因数全都找出来吗？（学生在练习纸上独立写出）
4.汇报。（评价方法）
5.学习到这儿，你有什么发现吗？（课件出示）
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
6.我们说的数是什么样的数？（课件出示）
为了方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）。
三、巩固深化
1.向自己挑战：用今天学的知识介绍一下你自己。（指名说，组内介绍）
2.“找朋友”游戏。
3.介绍“完美数”。
教后反思
上完课之后，我感到有很多不足之处，听课领导和教师也给我提出了中肯的意见和建议。存在问题主要有：
1.导入环节的这几个趣味成语，学生很容易猜出，对于激发学生的兴趣效果不是很明显。
2.由于在教学设计中没有考虑到因数和倍数之间相互依存的关系，所以学生理解得不是很深刻，这也导致了出现“2是因数，8是倍数”这样的情况。
3.在研究因数的方法上，学生体会得不很深刻，掌握得不很扎实。整节课学生的思维能力没有得到有效锻炼和提高，尤其使学生能有序地找出一个数的因数这一环节设计上，选择的数偏大（36）。因数个数比较多，对学生来说有一些难度，导致了这一环节层次不清晰，学生也不能够有效地掌握找一个数因数的方法。
“因数和倍数”修改稿
课后，对于以上出现的问题，经过与教师共同的深入研究，作了以下调整和修改：
（1）课前交流，渗透因数和倍数相互依存的关系。
教学片段一：
师：今天王老师给大家带来了一张照片，不过我先不给你们看，先让你们来猜猜。照片有两个爸爸两个儿子。请你猜猜照片上至少几个人？
生：3个。
师：你是怎么想的？
生：儿子的爸爸是一个爸爸，爸爸的爸爸又是一个爸爸，所以有两个爸爸。爷爷的儿子是一个儿子，爸爸的儿子又是一个儿子，所以有两个儿子。
师：正像同学所说的，爸爸或儿子是不能随便叫的，是相对于另一个人而言的。得说清楚谁是谁的爸爸，谁是谁的儿子。
师：看来人和人之间是具有一定关系的。那数和数之间是否也具有一定关系呢？这节课我们就要研究数和数之间的关系。
（设计意图：这样通过生活中人与人之间的关系，迁移到数学中的数和数之间的关系。这样设计自然又贴切，既让学生感受到了数学与生活的联系，初步学会从数学的角度去观察事物、思考问题，激发对数学的兴趣，又潜移默化地帮助学生理解了因数与倍数之间的相互依存关系。在教学中，也达到了预期的效果，学生对因数和倍数相互依存的关系理解得比较深刻。）
（2）数形结合，培养学生的发散思维能力。
教学片段二：
师：先请大家闭上眼睛，我们一起来想象。有一个长方形，它的长和宽都是整数，它的面积是12m²，那长和宽可能是多少呢？想好了就可以把眼睛睁开。
生1：长是6m，宽是2m。
生2：长是4m，宽是3m。
生3：长是12m，宽是1m。
师：长是7m行吗？为什么？
生：不行，因为找不到一个整数与7相乘得12。
师：7m不行，长是8m行吗？
生：不行。
（设计意图：学生对于长方形的面积＝长×宽这个知识非常熟悉，在已有知识的基础上，让他们想长和宽的情况，并通过“反正法”：长是7m行吗？为什么？让学生充分地想象和思考，从而渗透“整除”的含义，这时数和形也在学生头脑中有机结合。同时借助多媒体手段将长方形面积与长、宽的关系更直观、形象地表现出来。这个过程也正好渗透了找一个数因数的方法，便于学生理解和掌握概念。这样较好地把握了教学的起点，学生由已知走向未知的课堂，不仅为后面教学的展开做好了铺垫，而且培养了学生的发散思维能力。）
（3）重组教材，逐步有序地找出一个数的因数和倍数。
教学片段三：
师：刚才我们找出了12的因数。再换一个大点儿的数，你还行吗？
生：行。
师：好，下面请同学们打开信封拿出一号练习纸，用彩笔写出15的因数，一会儿把你的方法和大家分享一下，开始吧。
师：写完了吗？谁来给大家说说。
生：我是根据乘法算式找出来的，因为3乘5等于15，1乘15等于15，所以15的因数有1，15，3，5。
师：这个同学是根据什么找出15的因数？
生：是根据乘法算式一对一对找出来的。
师：我们班同学真不简单，都发现了找因数的方法了。再来一个大点儿的数，还行吗？
生：行。
师：拿出2号练习纸写出18的因数，看谁写得快。
师：写完了吗？先看这个同学写的（1，18，2，9，3，6）。
师：在座的同学有谁知道他是怎么想的吗？
生：他是根据乘法算式找出来的。
师：他说的和你想的一样吗？还有谁也是这样想的？
师：这么多同学啊。再看这个同学的（3，6，2，9），你是怎么想的？
生：我也是根据乘法算式找的，在找的时候忘记了1和18了。
师：大家看，这个同学也是想用乘法算式来找的，那他却漏下了两个，那有什么办法能保证不遗漏呢？
生：可以按顺序找，先想1×几等于18再想2×几等于18，再想3×几等于18，所以有1，18，2，9，3，6。
师：问问大家这种方法行吗？你看这个同学找得多有顺序啊！先想1×几等于18，再想2×几等于18，再想3×几等于18，往下还有吗？这样按照一定的顺序一对对地找出来就能保证不遗漏。
（设计意图：教材上，探究因数这部分的例题比较少，只有一个：找18的因数。根据学生的实际情况，我重组了教材，先让学生根据乘法算式“一对对”地找出15的因数，在此基础上再让学生探究18的因数。通过“质疑”：有什么办法能保证既找全又不遗漏呢？让学生思考并发现：按照一定的顺序一对对地找因数，既能找全又不遗漏。进而又借助体态语言——打手势，让学生说出20和24的因数，达到了巩固练习的目的。这样设计由易到难，由浅入深，符合了学生的认知规律。而在探究倍数时，我则大胆地放手，让学生自主探索找一个数倍数的方法，给学生提供了广阔的思维空间。这样通过多种形式的教学，既激发了学生的学习兴趣，又极大地提高了课堂教学的实效性。）
（4）角色转换，让学生亲身体验数和数之间的联系。
此外，我和学生都进行了角色转换，因数和倍数这节课研究的是数和数之间的关系，知识内容比较抽象。课上我采用了“拟人化”的教学手段，每人一张数字卡片，学生和教师都变成了数学王国里的一名成员。当学生想回答问题时都会高高地举起自己的号码，整节课都沉浸在自己的角色体验中，都把自己当成了一个数。通过对自己这个数的认识，举一反三，从而理解了数与数之间的因数和倍数关系，既充分激发了学生的学习兴趣，又十分有效地突破了教学难点。
教例反思
通过设计调整，这节课解决了原来设计所存在的问题，而且也出现了几个比较鲜明的亮点：
1.数形结合，让学生带着已有知识走进数学课堂。
“数形结合”是一种重要的数学思想。对教师来说则是一种教学策略，是一种发展性课堂教学手段；对学生来说又是一种学习方法。开课教师引导学生进行空间想象：“面积是12的长方形可能是什么样子的”？ 让学生自主体验数与形的有机结合，同时借助多媒体手段将长方形面积与长、宽的关系更直观、形象地表现出来。这个过程正好渗透了找一个数的因数方法，便于学生理解和掌握概念。这样设计较好地把握了教学的起点，使学生带着已有知识走进数学课堂，为后面教学的展开做好了铺垫。
2.收放有度，处理好讲授与探究的关系。
讲授与探究是不相矛盾的，接受与发现对学生来说都是有益的学习方法。在数学知识领域，有许多内容是人为规定的，这时教师就要发挥“传道”的作用。比如本节课初步教学因数和倍数的概念时，教师采用了讲授的方法，帮助学生初步建立概念。“师傅领进门，修行在个人”。这时学生只是停留在“鹦鹉学舌”的思维状态中，关键是由表及里地理解因数和倍数的关系以及找因数、倍数的方法。因而后面的教学，教师可以大胆放手，通过几个具体数的研究，让学生逐步有顺序、有规律地找出它的全部因数、倍数，进而用自己的语言概括找因数、倍数的方法。这个过程不是一蹴而就的，而是学生在独立思考及与同伴的交流中逐步完善的。教学中教师经常说的一句话是“把你的方法与大家共同分享”。这样就将学生推到学习的前台，自主地去体验、感悟，并获得学习成功的成就感。
3.探究因数和倍数的规律，渗透比较的数学方法。
俗话说：“有比较才有鉴别。”通过12，15，18，20，24，16，5，1这几个具体数的研究之后，让学生对比发现：一个数的因数个数是有限的，最小是1，最大是其本身。然后通过研究几个数的倍数，让学生对比因数的规律，发现倍数存在的规律：一个数的倍数是无限的，最小的就是其本身。这样通过形象而又直观的比较，使学生深刻感受到两者的不同，不仅有利于学生掌握，而且在潜移默化中渗透了“比较”的数学思想方法。
4.趣味活动，让学生感受数学学习的无穷魅力。
只有让学生亲身感受到数学知识内在的智趣因素，数学学习的无穷魅力才能深深地打动学生。本课的练习设计紧紧把握概念的内涵与外延，设计有效练习，拓展知识空间。如让学生用所学知识介绍自己、通过数字卡片找自己的因数、倍数朋友等，使学生在游戏中感受、体验、探索、发现，有效培养了学生的自主探究能力和创新思维能力。
5.数学文化的体现，促进了学生的可持续发展。
在课的最后，设计了“完美数”的教学环节。“6不仅有趣，而且数学家还把它称为完美数呢！”、“它是最小的完美数！”这样的完美数还有很多，介绍“496”、“8128”、“33550336”、“8589869056”……一些完美数。“有兴趣的同学可以课下查资料，看看这些数又如何完美呢？”这样设计不仅激发了学生的极大兴趣，而且不断自我学习，促进了他们的可持续发展。整堂课从“问题情境——建立概念模型——应用拓展知识”，不断地呈现给学生有趣而富有挑战性的学习内容，学生对找一个数因数和倍数的方法掌握比较扎实，对于因数和倍数的特点区分清楚，对于一稿教案中的问题和不足都得到了很好的解决，课堂教学效果较好，实现了三维目标的有效达成。