案例描述

1.复习梳理，引出新课

复习梳理因数和倍数概念。

2.动手操作，揭示概念

（1）学生动手填写表格，列出1—20各数的所有因数。

（2）汇报表格的填写情况，集体订正。

（3）根据因数个数分类，抽象出质数和合数概念。

师：观察以上各数所含因数的个数，你能把它们分成几类？（学生回答）

师：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）。观察这两个因数有什么特点？（学生回答）

师：像这些除了1和本身外，还有别的因数的数，就是合数。

师：想一想，1的因数有几个？它是质数吗？它是合数吗？

师：自然数按因数的个数可以分为：质数、合数和1。

3.练习巩固，理解概念

（1）出示百数表，先让学生试找100以内的质数和合数，然后集体订正。背诵50以内的质数。（教师关注的是学生找得是否准确，即关注的是找的结果，没有让学生用语言描述“找”的依据，讨论“找”的方法）

（2）判断下面各数，哪些是质数？哪些是合数？

1、15、28、31、53、77、89、111

师：哪些是质数呢？

生：31、53、89。

师：同意吗？

生：同意。

师：哪些是合数？

生：15、28、77、111。

师：那1呢？

生：既不是质数，也不是合数。

（3）判断题。

① 所有的质数都是奇数。

② 所有的偶数都是合数。

③ 自然数中不是质数就是合数。

④ 两个质数的积一定是合数。

4.全课总结（略）

问题诊断

《课程标准（2011年版）》在总目标中提出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和初步的演绎推理能力，清晰地表达自己的想法”。可见，数学语言表达能力作为学生重要的数学素养，已引起足够的重视。然而本案例中，不论是通过观察、操作揭示概念还是猜想、证明巩固概念环节，教师非常重视学生在“做”中学，如“写”20以内数的因数，“找”100以内的质数；而忽视了让学生在“言”中悟，忽视学生通过用自己的语言尝试概括概念的内涵，进而通过思想碰撞深入理解概念。本案例的主要问题是重操作轻语言。

1.概念形成中概括的缺失

小学数学教材中的概念，根据小学生的接受能力，表现形式各不相同，其中描述式和定义式是最主要的两种方式。不管哪种表现方式，概念的形成都要用语言概括。学生有时理解某个概念，并不一定能清晰地用语言表达出来，但如果能够运用语言清晰地表达、解释某个概念，那就说明学生理解了这个概念。但如果学生对概念的表达是建立在背诵的基础之上，没有经历用自己的语言尝试概括的过程，这样的识记也只是机械识记，而非意义识记，这样的理解也只能是暂时理解，随着时间的推移会很快淡忘。本案例在揭示概念时，教师让学生通过自主列出1—20各数的因数，然后分类，最后教师直接揭示质数和合数的概念。其实学生在列表、分类时已经对概念有了模糊的意象，只是不能用精准的数学语言概括，教师没有引导学生用自己的语言尝试概括概念，没有通过师生对话、生生对话理解概念，而是直接揭示概念，通过背诵记忆概念。这在一定程度上影响了学生逐步舍弃事物的非本质属性而突出本质属性的抽象概括过程，既不利于学生建立和理解概念，也不利于学生抽象概括能力的发展，导致学生对概念的理解只停留于表面，并没有触及本质。

2.概念巩固中表达的缺失

在教学中，教师大多能通过练习巩固概念，但在练习的过程中，常常忽视引导学生有条理、有根据地思考问题，忽略引导学生比较完整地用语言叙述思考的过程，忽略引导学生运用数学语言合乎逻辑地进行讨论、质疑和判断。如在本案例找百数表中的质数和合数环节中，教师关注的是“找”的结果，忽视了让会找的学生说说“找”的方法，忽略了让学生讨论这样找的依据，这样既浪费了“找”的时间，又导致了“找”的低效；在判断质数与合数环节中，教师关注的是学生的判断是否正确，忽视了让学生运用合乎逻辑的数学语言说说判断的依据，没有让学生通过语言表达进一步的理解和巩固概念。

矫正策略

《课程标准（2011年版）》明确指出：学生能“清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理，落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑”。在概念的教学中，教师要重视培养学生利用数学语言描述和分析概念的能力，克服重操作轻语言的偏向。针对以上的问题诊断，可以采用以下策略进行矫正。

1.本真语言，尝试概括概念

在概念形成阶段，由具体向抽象过渡时，教师在给学生提供丰富素材的基础上，可引导学生通过观察、猜测，用自己所理解的本真语言尝试描述概念。学生的语言最初可能不规范不科学，但经过与同伴的对话、教师的对话，与概念的对话以及自我的对话后，会逐渐脱去那层看似羁绊的外衣，最后形成具有个体特征的对概念本质理解的语言。本案例中，教师可以让学生根据观察到的数字的因数个数的特点，让学生试着用自己的语言描述特征，然后在师生交流、生生交流中概括概念。学生经历“尝试描述—揭示概念”的过程，在将自身的理解与揭示的概念进行对比的过程中，不断矫正和接纳概念，最后理解概念。这个过程既是将学生感知的概念特征内化的认知建构过程，也是逐步舍弃事物的非本质属性而突出本质属性的抽象概括过程。

2.逻辑语言，描述推理过程

“运用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑”是《课程标准（2011年版）》对学生在数学思考方面提出的要求。语言是思维的物质外衣，教师要培养学生有条理有根据地思考问题，引导学生比较完整地用语言叙述思考的过程。在本案例中，判断一个数是质数还是合数，教师要引导学生用逻辑语言描述自己推理的过程。如判断31是质数，可以引导学生用这样的语言描述判断推理过程：因为质数的因数只有1和本身两个，31的因数只有1和31本身，所以31是质数；在百数表中找出质数，可以先让学生说说怎样找，为什么这样找，然后再让学生独立找，这样既可以节约学生“找”的时间，又可以在讨论中进一步理解概念。用语言描述判断推理的过程，不仅能加深学生对概念的理解，更重要的是，在这样的逻辑推理过程中，能提高学生运用数学语言合乎逻辑地讨论和判断的能力，培养学生有序推理的意识。

矫正案例

1.复习梳理，引出新课

复习梳理因数和倍数概念。

2.动手操作，揭示概念

（1）学生动手填写表格，同桌分工合作列出1—20各数的所有因数。

（2）汇报表格的填写情况，集体订正。

（3）根据因数个数分类，抽象出质数和合数概念。

师：观察以上各数所含因数的个数，你能把它们分成几类？（学生回答）

引导学生根据自己的分类标准，把它们分成几类。

师：（指着2、3、5、7……）请大家认真观察，这些数的因数个数有什么共同的特征呢？

生：这些数都有两个因数。（教师板书）

生：我补充，这些数的因数只有1和它本身两个。

生：我同意第二个同学说的。因为只有1和它本身两个因数，就说明这些数的因数只有两个，除了1和本身外没有别的因数。（板书：1和它本身）

师：谁明白他的意思？（再请几位学生说）

师：看来我们得把这个“只”字加上去。（教师用彩色粉笔在板书中加上“只”字）

师：数学中，像这样的数叫质数，也叫素数。你能跟同桌说说什么叫质数吗？

师：在自然数中很多数的因数个数不只有两个，如（指着4、6、8、9……）它们的因数的个数……

生：不是只有1和本身两个，至少有三个。

生：也就是说这些数的因数除了1和它本身外还有别的因数。

师：谁理解他说的意思？

生：比如4这个数，它有三个因数，除了1和它本身4以外，还有一个因数2。

生：像6、8、9等，它们都有除了1和本身以外的其他因数。

师：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫合数。你能跟同桌说说怎样的数是合数吗？

（4）讨论1的归属。

师：那1是质数还是合数呢？

生：它应该不是质数也不是合数。

生：质数的因数只有2个，合数的因数至少有3个，而1的因数只有1个，所以它既不是质数也不是合数。（教师板书）

3.练习巩固，理解概念

（1）教师出示题目：判断下面各数，哪些是质数？哪些是合数？

8　　15　　27　　31　　53　　77　　89　　1

师：哪些是质数呢？

生：31、53、89。

师：你是怎样判断的？

生：质数的因数只有1和本身两个。31的因数只有1和31,53的因数只有1和53,89的因数只有1和89，所以它们都是质数。

师：哪些是合数？

生：8、15、27、77。

师：你是怎样想的？

生：8是合数，因为8的因数有1、2、4、8，除了1和本身8外，还有因数2和4，所以8是合数。

师：也就是说咱们把8的因数都列出来，看看它的因数有哪些。

生：不一定要把8的所有因数列出来。还可以这么想：8的因数除了1和本身，只要想到它还有因数2，那就说明它是合数。

师：谁听懂他的意思了？

生：他的意思是：合数指的是如果除了1和本身以外，还有别的因数。我们在判断一个数是不是合数时，只要想想它除了1和本身外，还有没有别的因数——只要它还有1个别的因数，那这个数就是合数。不需要把它的所有因数都列出来，浪费时间。

生：15是合数，只要看它的个位数字是5，就知道它的因数除了1和本身外，肯定还有5，所以它就是合数。

……

（2）在百数表中找出100以内的质数。

师：怎样能很快地找出100以内的质数呢？

生：我们只要想想这个数是不是只有1和本身两个因数，如果找不到别的因数，它就是质数；只要想到它还有别的因数，那它肯定就是合数。

生：我们可以先把除了2以外别的偶数都划掉，因为它们的因数除了1和本身，都还有因数2。

生：还可以把除了5以外个位是0和5的都划掉，因为它们的因数除了1和本身外，肯定还有5。

……

（3）判断题。

① 所有的质数都是奇数。

② 所有的偶数都是合数。

③ 自然数中不是质数就是合数。

④ 两个质数的积一定是合数。

（教师关注学生是否能运用概念，运用数学语言，合乎逻辑地进行判断推理）

4.课堂小结（略）