（一）教学目标
1.在用小正方形拼长方形的活动中，经历探索质数和合数的过程，理解质数与合数的概念.
2.能判断一个数是质数或合数.
3.在研究质数的过程中丰富对数学发展的认识，感受数学文化的魅力.
（二）教学重点、难点
重点：理解质数与合数的概念.
难点：正确判断一个数是质数还是合数.
（三）教学准备
多媒体课件、练习卡、展台.
（四）课前预习任务
1.分别用2～12个相同的小正方形拼出不同的长方形（包括正方形），画出示意图并制成表格.
2.观察表格，思考下列问题：①是不是小正方形的个数越多，拼法就越多？②小正方形的个数在什么情况下，只能拼出一种长方形？③小正方形的个数在什么情况下，能拼出两种或两种以上的长方形？
3.认真自学教材内容，填写书上的空白.
4.什么是质数？什么是合数？1 是质数吗？是合数吗？为什么？
[设计意图]从预习题设计开始，就力图体现“数形结合”这一思想.让学生在画示意图的过程中，逐渐积累经验，隐约感觉到拼法的多少与小正方形的个数的特点有关，然后依据自己拼摆画的过程中建立的活动经验思考三个问题.在有了初步的思考之后，再认真自学教材内容，用教材上的知识回答这三个问题.学生把活动经验与教材上的知识建立了联系，丰富了对质数与合数概念的认识，为课堂上的交流讨论积累了素材.
（五）教学过程
1.谈话引入，指向数形
（1）谈话
师：知道今天要研究什么吗？
生：质数与合数.
师：今天还是研究“数”，我们在研究数的时候经常借助于图形.还记得学习倍数和因数时，是怎么借助于图形的吗？
生：把12个小正方形拼成大长方形，然后把拼的方法用算式表示出来，通过乘法算式认识了倍数和因数.
（2）追问
师：每一种拼法可以找出12的几个因数？
[设计意图]在预习之后的课堂上，引导学生重点围绕“数形结合”展开交流.从开始谈话，提出“研究数的时候经常借助于图形”，到对倍数和因数的认识过程的回忆，到强调“每一种拼法可以找出12的2个因数”都是在为下面的交流指明方向、埋下伏笔.
2.展示交流，建构概念
（1）交流画法（预习任务1）
①交流：先小组内交流预习任务1，看有没有画得不完整的.
②学生展示画法，课件逐步出示如图1-16完整表格.
（2）交流预习任务2中的思考问题①
①师（设问）：在画的过程中你们有什么体会？
②交流：
生1：我发现有时候只能画出一种拼法，有时候能画出多种拼法.
生2：我发现只有一种拼法的，都是拼成一排的.
生3：我发现并不是小正方形的个数越多，拼法就越多.
追问：你说的正是思考问题①，大家同意他的说法吗？能举例子证明一下吗？
（3）交流预习任务2中的思考问题②
生1：我先认为是在只能拼成一排的情况下，看书后我认为是在质数的情况下.
生2：我开始认为是在单数的情况下，看书后我知道是在质数的情况下.
师（追问）：你们认为单数对不对？举个例子.
生3：我认为只能拼成一排是因为只有两个因数，只有两个因数也就是质数.
师（追问）：只有两个因数，是哪两个因数？
师（引导）：咱们把这些数的因数都写出来看一看.
（生汇报，课件逐步出示如图1-17）
（4）交流预习任务2中的思考问题③
师（设问）：从图中我们可以看出来，只有一种拼法，是因为小正方形的个数的因数只有1和它本身.那么，在什么情况下，拼法不止一种呢？
生1：在因数的个数多于2个时.
生2：除了1和它本身还有别的因数时.
生3：也就是小正方形的个数是合数时.
[设计意图]在学生充分交流拼摆体验及思考的基础上，发挥课件的优势，在每一种摆法的前面对比着出示因数，数与形的强烈对比，自然地建立了“只能拼成一排——只有1和它本身两个因数——质数”“有别的拼法——还有别的因数——合数”这一过程的联系，实现了由形到数、由直观到抽象的建构过程，并在交流过程中厘清了“单数”与“质数”的区别.
（5）交流自然数的分类
①师（引导）：那我们能把这些数分分类吗？（出示集合图，图1-18）
②师（设问）：大家通过预习知道了，这两类分别叫什么数？
师（追问）：谁能完整地说一说什么样的数是质数，什么样的数是合数？
③师（质疑）：质数与合数是不是就只有这几个呢？所以还要在这些数后面加一个什么符号？
师（追问）：有没有发现这里漏了一个数？
师（设问）：我们研究的是非0自然数，那么1 应该属于哪一类呢？
生1：我认为1 是质数，因为1的因数是1和它本身.
生2：它本身就是1，所以1的因数应该只有一个.它不是质数.
师（追问）：它是合数吗？
④师（引导）：那这样，我们的这种分类方法就有问题了吧？课件重新分类.（分成三类，一类是质数，一类是合数，还有一类就是1）
⑤师（反思）：对事物进行分类，都应该有一个标准，那我们今天把非0 自然数这样分类，是以什么为标准的？
师（追问）：这三类数各有多少个因数呢？
（随着学生的回答，课件逐步出示如图1-19.）
[设计意图]通过对预习题中出现的数的分类，到质数与合数更大范围的讨论，再到对“1”的特例分析，实现了对分类过程的从不完善到完善的经历，整个过程过渡自然、一气呵成，最后的反思则进一步加深了对概念的理解.
3.优化方法，练习提升
（1）师：判断下面各数是质数还是合数？（课件逐个出示，让学生判断）
13、14、321、23904992、3930044985、97
①判断14时，追问：判断合数是不是一定要把所有的因数全找出来？
②判断321 时，追问：你发现它除了1和本身外，还有哪个因数？
③判断23904992，3930044985 时，追问：这么大的数，你怎么一眼就看出它是合数呢？
④判断97时，追问：你怎么知道的？不是2、5、3的倍数，有没有可能是别的数的倍数呢？
（2）制作100以内的质数表
①谈话：
师：97是个质数，而且是100 以内最大的一个质数，下面我们先来找一找100以内所有的质数.（出示2到100的数表）
②师（质疑）：为什么这里没有1？
③师（设问）：你们准备怎样找出质数？
师（追问）：合数容易找，你能一眼看出哪些是合数吗？可以先把合数划去.
生1：个位上是2、4、6、8、0、5的都是合数，因为它们都是2或5的倍数，但是2和5 不能划，它们两个是质数.
生2：还有3的倍数.
生3：还有49，它是7的倍数.
④师（质疑）：2，3，5，7的倍数都划去了，还要再划吗？
生（交流）：因为4，6，8，9，10的倍数都是2，3的倍数已经划去了，11的2倍、3倍、4倍……也都是2，3，4等的倍数也划去了，不用再找了.
（3）观察讨论质数表
师（设问）：观察这张质数表，你有什么发现吗？
师（追问）：为什么老师把这个2标成红色的呢？
师（追问）：最小的合数是几？合数都是偶数吗？
[设计意图]此环节设计力图体现螺旋上升地理解概念，首先能运用概念判断自然数是质数还是合数；然后思考判断一个数是质数还是合数抓第三个因数，只要能找到第三个因数，这个数就是合数.进而发现制作“100 以内的质数表”的基本方法：去掉2，3，5，7的倍数（2，3，5，7本身除外），也就去掉了合数，以及对“还要不要再划”的思考与讨论.整个过程充满浓浓的数学味，培养了数学的思维方式.
（4）比较两种分类
①师：咱们前面还曾把非0自然数分成奇数和偶数两类，那种分类的标准是什么？
②课件出示分类对比图.
③师：你能说一些数符合下面的要求吗？
既是质数又是偶数（）；既是质数又是奇数（）；既是合数又是偶数（）；既是合数又是奇数（）.
[设计意图]通过比较和交流，帮助学生建立有关分类的思想，明确相同的事物按照不同的分类标准，得到的结果也不相同.
4.拓展知识，感受思想
（1）课件播放录音：介绍哥德巴赫猜想的由来及我国数学家的努力.
（2）师（引导）：你能举例验证哥德巴赫猜想吗？通过举例，你认为哥德巴赫猜想是否正确？
（3）谈话：数学上的结论不能仅仅通过举例就确定它的正确性，可能举了一万个正确的例子，到了第一万零一个例子就是一个反例了.所以要能从理论上证明它的正确性，希望有一天同学们能从理论上证明哥德巴赫猜想，摘取数学皇冠上的明珠！
[设计意图]通过对哥德巴赫猜想的介绍、举例验证，感受数学的魅力.再通过对“举例”与“证明”两种方式的讨论，让学生感受数学结论的确定性及数学的严谨性，激发学生探索数学的激情.
（六）案例点评
本节课教学中，教师本着“以人为本”的教学理念，着眼于学生的可持续发展，不仅仅局限于使学生获得一般的知识，更重要的是注重学生数学活动经验的积累，以形助教，让学生在数学学习过程中，获得数学的基本思想和方法，激发有效思考，体验问题解决的过程.
1.注重学生数学活动经验的积累，以形助教
教师精心设计了“预习任务”.学生在课前预习的基础上，有了初步的思考之后，再认真自学教材内容，把活动经验与教材上的知识建立了联系.学生不仅提高了动手操作的能力，更重要的是发现了分别用1～12个正方形摆长方形，得到了不同的摆法，这就为后面的研究打下了基础.
2.教学过程，环环相扣
纵观整节课教学，画正方形拼法的目的是为了得出不同的摆法，而不同的摆法又是为了把1～12这些数进行分类，在把数分类的过程中又及时与因数及因数个数进行了沟通，最终还是为了建构质数、合数的概念.在这一紧凑的教学过程中，学生或动手、或动口、或动脑，兴致盎然.整个过程充满浓浓的数学味，培养了数学的思维方式.
3.学生学习是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程
教师努力为学生自主学习创设足够的学习空间，通过引导学生进行“观察—讨论—汇报—解惑”等探究、建构活动，建立和理解“质数”和“合数”的意义，使学生形成自己对数学知识的独特理解.这样，让学生经历知识的发生、发展、形成过程，既避免对课本现成结论、概念的死记硬背，又发展学生的分析、比较、判断等数学能力，促进学生对通过自主探索而获得的知识保持持久而深刻的记忆.
（评析：山东省淄博师范高等专科学校 石红芳）
