启发点拨，激活思维——“质数与合数”的教学

孔子曰，“不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也。”这是典型的启发式教学方法。启发式教学中教师通过自己对教材的理解，对学生的了解，精心设计问题，循循善诱巧妙地引导学生思考、讨论探索、发现总结规律，学生则根据问题各述其志，畅所欲言，举一反三。这样的教学，课堂气氛生动活泼，兴味盎然。

【课堂案例】

执教：上海市宝山区第一中心小学 潘小明

师：（电脑出示3个同样的小正方形）每个正方形的边长为1，用这样的3个正方形拼成1个长方形，你能拼出几个不同的长方形？（生独立思考）

生：我能拼出两个长方形。

师：说说是怎样的两个长方形。

生：是横着的1个，还有竖着的1个。

师：横着的这个长方形的长是几？宽是几？

生：长是3，宽是1。

师：还有1个呢？

生：还有1个长方形的长也是3，宽也是1。

（其他学生发出“啊”的声音，以表示不同意这种说法，有的学生帮助纠正说“长是1、宽是3”）

师：这无关紧要，反正长方形相邻的两条边，一条叫长，另一条就叫宽。同学们，这两个长方形实质上是怎样的？

生：实质上是同样的长方形，只是放的方式不同。一个是横着放，另一个是竖着放。

师：是呀，我觉得还可以斜着放。其实，我们只能拼出一个长方形，它的长是3，宽是1。（电脑演示：将3个同样的正方形拼成一个长方形，接着出示了4个同样的小正方形）

师：这样的4个小正方形能拼出几个不同的长方形？（生各自独立思考，后举手回答。）

生1：1个。

师：只能拼出1个？请说出该长方形的长和宽。

生1：长方形的宽是1，长是4。

生：我认为还有1个，它的四边都是2。（话音刚落，生议论开了）

生：他说的是正方形，我认为是对的。因为正方形是特殊的长方形。

师：正方形也属于长方形，是一种特殊的长方形。所以，用4个同样的小正方形可以拼出几个不同的长方形？（结合学生回答，电脑演示拼成的两个长方形）同学们再想一下，如果有12个小正方形，你能拼出几个不同的长方形？（生思考并动手画图）

师：我看到许多同学不用画就已经知道了。

生1：能拼出3个不同的长方形。

师：是怎样的3个呢？

生1：长是12、宽是1 的，还有长是6、宽是2 的和长是4、宽是3 的3个不同的长方形。

师：你们能想象出拼成的这些长方形吗？

生：第一种是把这12个正方形摆成了1排；第二种是每排6个，摆2排；第三种是每排4个，摆3排。

师：同学们，如果给出的正方形的个数越多，那拼出的不同的长方形的个数，你们觉得会怎么样？（生几乎是异口同声地说，会越多）

师：（装作没听清楚）给出的正方形的个数越多，拼出的长方形的个数，你们是说——（生清楚又响亮地回答，越多，此时，师一声不吭，保持着沉默）

生：不一定的。

师：（故意重复）他说不一定，对吗？

生（部分）：对。

师：说话得有根据呀！（生情绪更加激动）

生：刚才4个正方形能排出2个，如果用5个正方形只能排出1个。如果按照潘老师的说法，5个正方形排出的不同的长方形应该不止2个，所以，这话是错的。

师：同学们听明白了吗，他说得好不好？

生：好。

师：我觉得他说得还不太好，他说“潘老师说的”，我什么时候说过“小正方形个数越多，拼出的长方形的个数也越多”这话，这可是你们说的呀。不过，你们觉得刚才这位同学举的例子好不好？

生：好！

师：一个例子就把你们刚才的结论给否定了。多有说服力的反例！同学们，用小正方形拼长方形，有时只能拼出一种，有时拼出的长方形不止一种。你们觉得当小正方形的个数是什么数的时候，只能拼一种？

（生思考，之后，相互之间展开了热烈的讨论）

生1：我觉得当小正方形的个数是奇数……（还没待该生说完，有些学生便忍不住打断他的发言）

师：慢！尊重人家，让人家把话说完。

生1：是奇数的时候。

师：我们首先要学会尊重别人，倾听别人的发言，然后对他人的发言作出自己的思考，有不同意见的再与他人进行讨论。

生2：我有反对意见。我想问××，9 是什么数？用9个小正方形能排出几个长方形？

生1：9 是奇数，用9个小正方形能排出两个长方形。我知道了，当个数是奇数时，也不一定只能摆出一个长方形。

师：那该是什么数的时候呢？

生3：如果小正方形的个数在除法里只能被1 整除的话，这些小正方形只能拼出一个长方形。例如，1个小正方形。

师：用1个小正方形怎么去拼呢？

生4：那零呢？零是可以被任何数整除的。

师：他说的是那个数能被1 整除。

生4：但是，零可以被任何数整除呀，也能被1 整除的。

师：噢，我明白了。你的意思是零也能被1 整除，那么零个正方形你怎么拼呢？

生5：我想问前一位同学，你能找出只能被1 整除的数吗？

生3：43。

生5：43 还能被43 整除。

师：是呀，43 能被1 整除，还能被43本身整除。

生5：我认为，这个数只能被1和它本身整除。

师：我们一起来举些例子，检验她这话说得对不对？

（生举例：3，5，7，11，13……）

生：还有1。

师：只有1个正方形就不用拼了。（同学们同意地点着头）

师：我们发现表示正方形个数的数只能被1和它本身整除的时候，只能拼成一个长方形。什么情况下拼得的长方形不止一种？

（生举例：4，6，8，9，10，12，14，15……）

师：说得完吗？

生：说不完。

师：那么，应该怎样回答这个问题呢？（一些学生发出无奈的叹气声：“啊”……）这些数有什么共同的特征？

生1：这些数中，第二个、第三个每次都比前一个数增加2，然后第四个增加1，后面又每次增加2……（话没说完，一些学生“呀”地表示不同意）

生2：我觉得这些数都能被两个以上的数整除。

师：这些数都能被两个以上的数整除，你能结合例子说得具体点吗？

生2：4 能被1，4 整除，还能被2 整除；6 能被1，6 整除，还能被2，3整除；8 能被1，8 整除，还能被2，4 整除；9 能被1，9 整除，还能被3整除。

师：这些数有着共同的特点，那就是它们除了能被1和它本身整除外，还能——

生：还能被别的数整除。

师：同学们，像上面这些数（指前面板书的3，5，7，11，13 等数），在数学上我们把它们叫做质数，下面的这些数（4，6，8，9，10，12，14，15等数），我们把它们叫做合数。什么样的数叫质数，什么样的数叫合数呢？

（生独立思考后，在小组内进行交流，然后再全班交流）

生：质数就是只能被1和它本身整除，合数是能被两个以上的数整除。

生：我们小组在讨论了质数与合数后，还讨论了一个零。零到底是质数还是合数？我们认为是合数。

师（笑着）：这个零的问题，我们待会儿再说，好吗？现在看来，大多数同学的意见是这样的，质数只能被1和它本身整除，而合数除了能被1和它本身整除外，还能被别的数整除。一个数能被1 整除，说明1 是它的因数，能被它本身整除，说明它本身也是它的因数。

（结合学生回答，师板书，接着，让学生判断哪些数是质数，哪些数是合数）

生1：17 是质数。

师：为什么？

生1：因为它只能被1和它本身整除。

师：嗯，能不能运用概念进行回答？

生1：因为17 的因数只有1和它本身，没有别的因数，所以，17 是质数。

师：对！运用概念去判断。

生2：我觉得21 是合数，因为它的因数有1和它本身，还有3和7。

师：对！它的因数除了1和它本身外，还有别的因数3和7。

生3：29 是质数。

生4：我觉得48 是合数，因为它的因数除了1和它本身外，还有别的因数，譬如说24，2 都是它的因数，所以它是合数。（一些学生认为她的回答“不完整”）

师：有人说她的回答不完整，那谁能回答得完整？

生5：我认为，48 的因数除了1和它本身外，还有2和24，12和4。

师：看来你的回答也“不完整”。

（这时，其他学生补充说，还有3和16，4和12，6和8）

生6：我有一个问题，刚才××说的是“例如”，他并没有说全部的因数。

师：那你说，要不要说出全部的因数？

生6：不用的！只要说出1 至2个就够了。

师：1 至2个，到底是说出2个还是说出1个就够了？（生齐答，1个）

师：××同学，你同意吗？

生5：同意。

师：其实，刚才那位同学已经回答得非常好了，而这位同学的解释也很有道理。你要说48 是合数的话，它的因数除了1和48 外，还有什么，这“还有”我只要举几个？

生：1个。

师：对！管它还有几个，我只要举出1个，就足以说明它是1个合数。（师在刚才板书的质数、合数的定义中的“没有”与“还有”下面打上着重号）

（接着师生继续进行判断。当电脑慢慢地显示出217813 时，一些学生发出“噢”的惊奇声，稍顿，电脑又显示出该数的最后一个数字“5”，此时，寂静的教室又热闹了起来，一些学生积极地举手争取发言）

生1：是个质数。（话刚出口，其他学生异口同声地“啊”）

师：你能说说理由吗？

生1：它的因数除了1和它本身外，没有别的因数。

师：如果真的没有别的因数，那么这个数就是质数。不过，这个数到底还有没有别的因数？你再思考一下，好吗？

生2：根据我们上学期学的能被5 整除的数的特征，我们知道个位上是0或5 的数能被5 整除，所以，这个数有别的因数5，它是合数。

师：你们觉得他回答得怎么样？

生：好！

师：你们说的“好”很不具体，能不能说出到底好在哪里？

生3：我觉得他好在能运用上学期学的知识和现在学的概念来分辨一个数是质数还是合数。

师：你们觉得他回答得好不好？（生响亮地回答“好”）他好在哪里？（同学们及听课的老师会意地笑了起来）是呀，他能自觉运用我们已经学过的能被2，3，5 整除的数的特征等知识来回答今天的问题，这就好！（接着，电脑屏幕上又渐渐地显示出“10000032”，同学们激动地说是“合数”）

师：这么大的数，同学们都能迅速作出正确的判断，小的数更不在话下，对吗？（成功的喜悦洋溢在同学们的脸上，大家非常自信地回答“对”。这时，教师随手板书“1”，许多学生都笑了起来）

师：请同学们人人发表自己的意见。你认为1 是质数就打手势“1”，认为1 不是质数就用手势“2”表示。

（大家作出了思考，随着教师的一声口令，同学们都打出了手势。结果，班上只有5个学生认为1 不是质数，其余学生都认为1 是质数）

师：同学们，你能说出选择的理由吗？（大家非常自信地回答“能”）

生1：1 能被1 整除，1 还能被它本身整除，没有别的因数，所以1 是质数。

生2：他说1只能被1 整除，那么，我想问“1 除以43”呢？

（教师提醒，1 能被43 整除吗？该生马上发现了自己的错误。课后，教师了解到，生2 认为“1 除了整除它本身，还能整除任何一个自然数”，但举例时却说成“1 除以43”。同学们也马上发现了问题，提醒道“是整除”）

生3：那我想问你……

师：你想问潘老师？

生3：是的。

师：好呀，问潘老师，当然可以。请问吧！

生3：它的规定上面没有说要整除。（许多学生提醒该生是“因数”）

师：噢，你说什么是“因数”？

生3：在整除的情况下，除数是被除数的因数。

师：对呀，那你说规定上还要写明是“整除”吗？（该生点着头，满意地坐下）

生4：我继续有反对意见！那零呢？

（该生话刚说出口，其他的同学一起向他指出“零不可以作除数”）

师：零能被1 整除，零能被100 整除……

生5：（师的话还没有说完）零还能被它本身整除。（一石激起千层浪）

生：1 除以零呢？我认为零是不能作为除数的，因为零乘以任何数不会等于1 的。零作除数是没有意义的。

师：同学们的讨论很不错。对于“1”是不是质数，大家都从概念出发进行判断。有的同学认为1 是质数，也有的认为1 不是质数，在认为1 不是质数的人中间，还有一个人，他是谁啊？

（师举着手问大家，同学们却转头相互看着，终于有学生说出“是老师”）

师：我告诉你们，这1 确实不是质数！

（同学们怀疑地发出“啊”的声音，有的学生补充道“也不是合数”）

师：（肯定地）对！1 也不是合数。

生：我想问你，1 是什么数？（有些学生回答说1 是自然数）

师：（承接着）1 是自然数呗。可是，1 好像是符合质数的条件的，为什么说1 不是质数呢？

生：因为1和它本身是一个数。

师：是呀，1 是1 的因数，它本身也是1 的因数。同学们，问题到底在哪里？（一些学生窃窃议论着，可能是概念有问题）

生：可能是编书的老师编错了。

师：有可能是“编书的”编错了，编书的老师今天也在。（大家哈哈大笑了起来）

师：那怎样说，才能说明1 不是质数呢？

生：当1和它本身是相同的时候，这个数就不是质数。

师：也就是说1只有1个因数，它不是质数。那么，质数的因数应该是几个呢？

生：是两个因数。（结合学生的回答，教师在前面板书的“一个数除了1和它本身”后插入“两个因数”）

师：同学们，现在运用这个概念，你们能判断吗？

生：1 不是质数也不是合数。

生：零是什么数？

师：零肯定不是质数。这零的问题，我们以后再好好地研究，好吗？

（电脑出示：73，生思考它是不是质数）

师：要想马上知道73 是什么数还真不容易。如果有质数表可查就方便了。（同学们都说“是呀”）

师：这表从哪来？（一生举起一张课前印发的纸，高兴地说质数表在这儿）

师：这上面是1 到100 这100个数。（一些学生大声地说“99个数”）它不是质数表。

师：对！因为1 既不是质数，也不是合数，所以我把它丢了。你们怎样找出100 以内的质数，制成质数表？（生一听，马上开始找）

师：刚才，我们有些同学接受任务后，马上就去找。要是我，我可不急于去找，而是想想用什么方法去找。说说你们是怎样找的。

生：我是按照质数的概念一个一个地进行判断，是质数的用一种符号表示，是合数的用另一种符号表示。

生：我是将质数用符号表示出来，剩下的数划去。

师：（若有所思地）把质数留下，其他的数去掉，古代数学家就是用这种筛选的方法制作质数表的。我们都来“筛”吧！

（学生各自用筛选的方法在制作质数表。在进行了一段时间的实践后，由学生进行介绍。结果，大多数的学生是用对逐个数判断的办法筛选出质数的）

师：怎样筛选得更快？

生1：我先把偶数都划掉。（话没说完，许多只手举得高高的，一些学生急不可待地说着“不对，2 不能划去”）

师：同学们，你们应该让人把话说完，再发表你的意见，好吗？

生1：我刚才说错了。应该把2 留下，因为2 是质数，把2 以外的其他偶数都划去；接着把3 留下，其他的3 的倍数都划去；把5 留下，其他的5 的倍数都划去；把7 留下，其他的7 的倍数都划去……

（此时，同学们一起回答着“把11 留下，其他的11 的倍数都划去……”）

师：表中11 的倍数是哪些呢？你能说出几个吗？

（同学们在列举着，从中发现22，33，44，55，66，77，88，99 在前面都已经划去了）

师：再看看，表中还有要划去的数吗？

（生自己发现了规律，高兴地说“不用再划下去了”）

生：我有更快的方法，第一列留2，其他都划去；第二列留3，其他都划去；第三列都划去；第五列都划去；再接下去，只要在第四列和第六列中去找质数。（这时下课的铃声响了）

生：我发现，除了2和3两个质数外，其他的质数都在第四或第六列中。

师：第五列的数有什么特点？

生：它们都能被6 整除，是6 的倍数。

生：我知道2，3 以外的质数比6 的倍数少1 或比6 的倍数大1。

生：我发现1 到20 的数中有8个质数，可80 到100 的数中只有3个质数，以后的质数会不会越来越少？质数的个数是不是有限的？

师：同学们善于观察、肯于动脑、敢于提问，太好了。关于质数与合数的学问多着呢！你们听说过数学皇冠上的明珠——哥德巴赫猜想吗？若感兴趣，就上网去查查资料吧。

【教学延伸】质数与合数概念的教学往往是枯燥的。在课堂上，一般不是教师和学生的不断重复就是很多的练习题训练。这两节课的教学使我们感到特别兴奋，它一改概念教学的枯燥与乏味，让学生在做中学，源于课本又超越了课本。通过轻松愉快的师生互动与交流，逐步完善了学生对质数和合数的理解。

【小结】苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。”学生的这个愿望的实现，需要教师为其提供充分的时间和空间，需要教师把学习的主动权交还给他们。但“倍数和因数”和“3 的倍数的特征”的知识又是十分抽象的，单靠学生自己的探索是无法达成对概念的充分理解与把握的。因此，在课堂中教师应注意把握好“探”与“引”的关系，凡是学生自己能解决的问题，就充分让学生通过操作、实验、讨论、交流等方式自主地进行探索，教师绝不包办代替，而概念的关键之处，教师则精心引导、归纳。这样的教学既满足学生探索的欲望，又充分发挥了教师的引导作用，让学生把抽象的概念理解透彻，为学生的灵活应用打下坚实的基础，同时又培养了学生科学的学习方法、思维方法和学习态度。