直面现实 着眼发展——“‘鸡兔同笼’问题”教学实录及评析
名师简介
贲友林：江苏省南京市名师，参与苏教版小学数学教材的编写。曾在全国赛课中荣获一等奖。从教以来共发表了600多篇文章，出版教学随笔集《此岸与彼岸》。
教材分析
苏教版小学数学教科书六年级上册第七单元“解决问题的策略”中的例2是一道类似“鸡兔同笼”问题的例题。其教学目的在于通过解决这个问题，让学生了解“鸡兔同笼”问题，初步掌握用“假设”的策略分析和解决问题，加深对“假设”策略的理解，增强解决问题的策略意识，提高解决问题的能力，激发学习兴趣。教材在提出问题之后，直接提出：你准备怎样来解决这个问题？启发学生在讨论中主动想到“假设”的策略。之后，教材通过画图和列表呈现了两种不同的假设方法，引导学生对假设后数量关系的变化情况进行研究，推算出正确的答案。此外，教材还安排学生对解决问题的过程进行反思，进一步明确应该如何来实施“假设”的策略。
课堂实录
（教师出示题目内容：全班42人去公园划船，一共租用了10只船）
师：你想到了什么？
生：平均每只船坐4.2人。
生：每只船上坐的人数，可能不一样。
师：你是想说，10只船都坐满，有的船上的人数多于5人，有的船上的人数比5人少。
（教师继续出示内容：每只大船坐5人，每只小船坐3人）
师：你能提出什么问题？
生：大船有几只？小船有几只？
（教师出示问题。学生完整读题，口述如何理解题目。结合学生的回答，教师板书：42人、10只、大船5人、小船3人。）
师：你能解决这个问题吗？大家独立思考，尝试做一做。
（学生试做。教师巡视，了解学生的解题情况。几分钟后，有的学生做完了。教师用投影仪展示学生黄祺媛的解答。）
师：黄祺媛的方法是——
生：用方程式解。
师：如果设大船为x只，那小船的只数如何表示？列方程所依据的等量关系是什么？
（学生回答）
师：用这样的方程解，我们还未学过。黄祺媛能列出方程式并正确解答，值得表扬!
师：我再请于粲介绍她的解法。
（教师用投影仪展示于粲的解法）
于粲：我先假设10只船全是大船，这样可坐50人，比总人数42人多了8人，再用8除以2，得到4，是4只小船。之后计算大船的数量：10-4=6。
师（指着算式，追问）：如何理解这里相除算出的是小船的只数？
（学生回答）
师：我们可以画图探讨。
（师生共同完成画图）
生：假设10只船都是大船，这样可以坐50人，比总人数多了8人，就把大船换成小船，也就是每只船上减少2人，这样就能得出有4只小船，6只大船。
焦芙蓉：于粲假设10只船全是大船，其实，还可以假设10只船全是小船。
（教师用投影仪展示焦芙蓉的解法）
师：你能边画图边解释吗？
焦芙蓉（边画图边解释）：假设10只船全是小船，每只船坐3人，一共可以坐30人，42人中还剩下12人，于是每只船增加2人，把小船换成大船，这样可以得出大船有6只，小船有4只。
师：这样解决问题，关键是要理解哪一步？
生：“12÷2=6”表示把6只小船调整成大船，所以得出的结果表示6只大船。
师：刚才不会做的同学，现在选择一种方法解答。刚才已经正确解答的同学，比较一下两种解法有什么不同的地方？有什么相同的地方？
生：一种解法是把所有船假设成大船，一种解法是把所有船假设成小船。
生：都是把两种船假设成某一种船。
生：都是假设之后，坐船的人数不是42人，与题目中的总人数有矛盾，于是进行调整。如果假设全是大船，就要把大船调整成小船；如果假设全是小船，就要把小船调整成大船。
（结合学生的回答，教师板书：假设、调整、检验。之后，教师引导学生用代入的方法进行检验，板书算式：6×5+4×3=42。）
师：关于这道题，还有问题吗？用这种方法解决这个问题，一定要假设全部是大船，或假设全部是小船吗？
郑嫣然：我还有一种方法，不过有点繁琐。因为每只大船上坐5人，那么大船上人数的数字的个位上要么是5，要么是0。用42减去大船上坐的人数所得到的数，个位上应该是2或7。这样可以想到小船有4只，可以坐12人；大船有6只，可以坐30人。
（教师结合郑嫣然的发言板书）
师：郑嫣然是根据数据特征来推算的，很巧妙。我们再来看一位我们非常熟悉的小朋友，他是怎样思考这个问题的呢？当时，我把我们今天要解决的这道题目念给他听，并让他进行记录。
（教师出示蔡培元小朋友做的记录）
（注：蔡培元，8岁，二年级学生，听课学生所在班级班主任李菲老师的儿子。全班学生都认识、熟悉蔡培元。以下对话文字在出示了上面的图片之后，逐行出示。）
蔡：答案是4条小船，6条大船。
贲：你是怎么想的？
蔡：5乘6等于30，12除以3等于4。
贲：你怎么想到5×6=30？
蔡：我想到5的乘法口诀，一五得五、二五一十……五六三十，这样42人中还有12人，12÷3=4。
师：大家看懂蔡培元的方法了吗？
生：蔡培元的方法，就是先假设有1只大船，然后假设有2只大船……这样慢慢调整，再检验，从而找到正确答案。
生：我们还可以作不同的假设。如果假设大船有5只，那么小船也就是有5只，这样大船和小船一共能坐40人。这样坐船的人数就少了，所以要增加大船的只数。大船6只，小船4只，正好42人。
（结合学生的回答，教师出示表格并随机输入数据）
生：这种方法也需要假设、调整、检验。假设“5大5小”比假设“1大9小”，调整的次数少。
生：大船增加1只，小船就减少1只，坐船的人数就增加2人。
生：我发现，把10只船全部假设成大船，也就是假设“10大0小”，或者把10只船全部假设成小船，也就是假设“0大10小”，这样调整起来比较方便。
师：具体说说你的想法。
生：如果假设有大船，有小船，那么调整时就必定要考虑是把大船调整成小船，还是把小船调整成大船；如果假设全是大船，那么调整时就应该把大船调整成小船；如果假设全是小船，那么调整时就应该把小船调整成大船。
师：你的分析很有见地!回顾这个问题的解决过程，我们应用的策略是——假设、调整、检验。解答这个问题时，有的同学应用了方程式。现在我们再来看一看这个方程式。
（用投影仪再次展示黄祺媛的解答）
师：设大船有x只，其实也就是假设大船的只数，这时小船也就是有（10-x）只，根据这样的假设，我们再来求x的值。
生：方程，其实也是假设。
生：不过，列方程式时假设的不是一个具体的数，而是一个用“x”表示的未知数。
师：哈哈，我们的认识又提升了。在解决问题的过程中，我们应用的策略还有摘要整理题目、画图、列表等。请大家再看一道题目。
（教师出示题目：鸡和兔一共有8只，数一数，腿有22条。你知道鸡和兔各有多少只吗？）
生（脱口而出）：鸡兔同笼。
师：对!有同学在课外已经学过“鸡兔同笼”问题的相关内容。我想了解一下，有多少同学课外学过？请举手。
（全班有32名学生举手，占了总人数的一大半）
师：通过今天这节课的学习，你们有什么收获呢？
生：我们学习了“假设”这种策略，知道可以通过假设、调整、检验，找到答案。
孔令宇：不一定是“鸡兔同笼”问题可以用假设的方法，大船、小船问题也同样可以用假设的方法，我们要学会举一反三!
生：以往都是老师告诉我们要假设都是鸡、假设都是兔，今天我们还懂得了为什么要这样做。
生：我们知道了有不同的假设方案，关键在于如何调整。假设全是鸡或全是兔，调整时比较简单。
师：说得真好!这道题你会解答了吗？如果有困难，可以先画图，再解答。
（教师展示一位学生的解答，其他学生解释这位学生的解题思路）
师：“鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题之一。在我国古代的《孙子算经》中有这样的题目——
（教师出示：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？——《孙子算经》）
师：你能用大家都听得懂的语言来解释这道题目吗？
（学生解释，教师出示译文）
师：日本也有这样的问题，不过，他们的问题中，不是“鸡”与“兔”，而是什么呢？
（教师出示：龟、鹤共有35头，94脚，问龟、鹤各有多少？——日本）
师：在这里，“龟”相当于“兔”，“鹤”相当于“鸡”。我在美国的一本小学数学教科书中也看到了这样的问题——
（教师出示：一位摄影师拍了一些音知鸟和水獭（tǎ）的照片。她共拍了35只动物，有94条腿。她各拍了几只音知鸟，几只水獭？——美国）
生：“音知鸟”相当于“鸡”，“水獭”相当于“兔”。
师：日本、美国的这两道题目，请大家任选一题解答。
（学生解答）
师：回头看，解答了其中一题之后，知道其他两题怎么解答了吗？
生：动物虽然不同，但问题的实质是一样的。
生：我现在的想法，大船相当于“5只脚的动物”，小船相当于“3只脚的动物”。先假设，等出现矛盾后再调整，问题就能解决。
师：你的想法和孔令宇的想法有异曲同工之妙!今天的数学课，就到这儿!下课!
教学反思
1.关于教学目标的思考
“鸡兔同笼”问题是我们熟悉的中国传统数学问题，不仅苏教版小学数学教材中以其作为案例，而且在其他版本的小学数学教材中基本都有这一内容。苏教版小学数学六年级上册教材在“解决问题的策略”这一单元以其为案例分析介绍，旨在让学生初步学会用“假设”的策略分析和解决问题，增强解决问题的策略意识，提高解决问题的能力。
虽然我觉得小学六年级学生可能已经会解答“鸡兔同笼”问题了，但在上课之前，我难以对上课班级的学生的情况作一个准确的“前测”。而且，如果“前测”中出现“鸡兔同笼”问题，会对学生之后的课堂学习产生影响。于是，我有了和一位二年级学生探讨“鸡兔同笼”问题的经历。而这，也成了我这节课的教学资源。
有不少学生都已经在课外的各种学习中接触了“鸡兔同笼”问题，这是我必须直面的现实。面对学生的“已有”“已知”，我们常常困惑该怎么处理？甚至有教师可能视学生的“已有”“已知”为“洪水猛兽”。在思考中，我逐步明确了这一课时的教学目标，并在课堂教学中逐步落实。在交流上完课的收获时，几位学生相互兼容、相互补充的发言，让我更清晰地意识到了本节课的教学价值。其实，学生所说的几点正是我课前的预设想法。在课堂中，学生把我的想法化成了他们的认识。
本节课的主题是探讨解决问题的策略，但解决问题的策略的学习和解决问题的过程的学习是统一的。解决问题的策略的学习，不可能脱离具体的解决问题的过程，它是和解决问题的过程紧密结合在一起的。在例题学习过程中，问题是策略学习的载体；在应用练习中，策略是解决问题的工具。也就是说，解决问题的策略的学习是基于解决问题的目的，是为了解决问题。“鸡兔同笼”问题只是策略学习的载体，学生学习的不应该仅仅是怎么求得“鸡兔同笼”问题的解，而应该要对解决“鸡兔同笼”问题的过程有一个清晰的认识，习得“假设”这一解决问题的策略。
2.关于教学方法的思考
学生的“已有”“已知”也是一种教学资源，教师应当充分地加以利用。我认为，教师引导学生将他们原有的认识表达出来与全班交流，是更有效的引导。于是，我组织“兵教兵”，而自己只在关键处追问——如何理解这里相除算出的是小船只数；在无疑处设问——用“假设”的策略解决这个问题，一定要假设全部是大船或全部是小船吗，从而让学生的思考不断深入，认识得到提升。
这节课的教学重点是学习“假设”这一解决问题的策略，但并不排斥以往学过的解决问题的策略的应用。学生学习解决问题的策略的过程，不应像小猴子下山掰玉米，喜新弃旧，而应在整合应用不同策略的过程中，不断丰富自己解决问题的经验，在遇到新问题时能主动、综合、灵活应用各种策略解决问题。那么，当学生用方程式解这道题时，教师是否需要回避？若用方程式解，那“假设”又如何处理？
学生探索“大船和小船”问题时，全班有9人列出了方程式且正确地解答了。我认为，方程解法与算术解法应当并驾齐驱。不过，本节课的教学重点是“假设”这一策略。于是，我在学生试做之后，先是让学生展示方程解法，并对如何设未知数和列方程所依据的等量关系等问题进行了解答，继而与学生交流“假设”思路。在学生对“假设”有了充分的认识之后，我又杀了个“回马枪”，学生豁然开朗：方程，其实也是假设。
从学生的作业来看，学生解决“鸡兔同笼”问题的方法并没有唯一化。其实也不必唯一化。优化，应当是有个体差异的。对于不同的学生，在某一学习阶段，教师最好不要强制性地要求大家统一用某一种方法解决问题。
我在想，解决问题过程中的画图，意图是什么？是为了探索问题的答案吗？这是小学六年级学生首先想到的方法吗？这种方法好像太“低级”了些。于是，我在学生对“如何理解这里相除算出的是小船只数”这一问题解释不清时，引导他们画图，让他们明白此时画图是理解问题、解释说明问题的好方法。
教师的指导在学生的学习过程中是不可缺失的。课堂教学伊始，我分步呈现例题，并引导学生边读边想；在完整出示题目后，我让学生复述、摘要整理，这其实都是在用行动指导学生如何收集和处理信息，并进行分析。怎样收集和处理信息，不是我们利用一节数学课就能完成教学的，而需要教师在平时的教学中点点滴滴地加以指导。
3.关于学生课堂中作业的分析
为了了解学生在学习过程中真实的思考情况，我在上课之前发给每位学生一张白纸，并和学生约定：今天这节课，老师要求大家思考的所有问题的答案都写在这张纸上，即使你出错了，也不要擦掉，直接在下面重写。
全班44位学生上课。关于“大船和小船”的问题，学生的解答情况如下：
备注：
（1）因为有一位学生（焦芙蓉）用了两种方法解答，她既用了假设全是大船的方法，又用了假设全是小船的方法，所以上述的人数合计是45。
（2）除14人不会解答外，其余学生都解答正确。有意思的是，还有学生用“凑”的方法解答，可谓方法多样。这里，我把11位学生的解法一一呈现。
方宁彦的解法：
——这是典型的一一列举法。上课时，我呈现了二年级学生蔡培元的解题思考过程，全班学生兴致盎然，但我如果展示方宁彦的解法，班级中的其他同学是否会认为他的方法比较“笨”而加以嘲笑？我没有在课堂中展示方宁彦以及下面各位学生的解答，正是基于此考虑。其实，我认为在探索问题阶段，学生应用的各种方法没有优劣之分，但这只是我的想法，学生常常不这样想。我不能让某一位学生因为其解法被展示而受到嘲笑。
姜周曦林的解法：
——从“10大”到“9大1小”，再到“6大4小”的调整过程，可以清晰地看出姜周曦林的思考过程。
林佩璇的解法：
——从“倍数”的角度思考，有新意!
潘泽颖的解法：
——这里用的正是“5大5小”的假设。为何潘泽颖会先从中间开始作“5大5小”的假设？她怎么会这样想的呢？
成晓萱的解法：
张天宇的解法：
林超毅的解法：
刘熙临的解法：
唐诚粲的解法：
张芮齐的解法：
——这6位学生呈现的都是计算后得出总人数是42的算式。他们是如何想到有6只大船、4只小船的，对我来说，是个谜。
李佳钰的解法：
——若42人全坐大船，就要8条大船，人数多了2人，怎么办？大船减2条，这样6条大船一共可以坐30人，剩下的12人坐小船，需要4条小船。李佳钰是这样想的吗？
这些都是能解读学生真实思考过程的资料。有效的教学要建立在对学生的真实情况和想法了解的基础之上。我想起了蒙台梭利的告诫：“我们成人习惯于用自以为是的方法来解释孩子的行为，用自以为正确的方式来对待孩子，这不仅造成学校教育的偏差和整个教育体制的误导，更导致社会采取了一连串完全错误的行动。”
专家点评
听了贲老师的这节课，我对每一位教师每天都在进行的学科教学及教师应具备的素养有了一些新的认识和感悟。
1.教师的专业伦理：尊重学生，更欣赏学生
我们常说要“蹲下来和孩子说话”，这句话的前提其实是“孩子比我矮”，只能屈身将就孩子，可尽管蹲下来，“我还是比孩子高”。这样的尊重，是人格上的尊重，但不一定是智慧上的尊重。在这节课的教学中，却同时体现出教师对学生的双重尊重，教师不仅给学生以展现智慧的机会，更善于欣赏学生。也许，直面现实中的“现实”，正是弗赖登塔尔所说的“数学现实”，即每个人都可以拥有的对数学的理解。罗丹说：“世界上并不缺乏美，缺乏的是发现美的眼睛。”确实，当教师真的具备了“专业眼光”时，就会发现学生世界、学生的“数学现实”中的美。在此基础上，学生不仅可以在认知方面获得提升，更能在其他方面得到提升，从而使“三维目标”真正得以实现。
2.教师的专业能力：以立体的参照系，提升学生的发展境界
一般的教师在上课时主要关注学生对知识和技能的掌握情况，顺带关注学生的能力与态度培养。不过，从这节课中可以看出：教师在培养学生的能力时，不仅关注到了计算技能，更关注到了思维策略，以及更高境界的数学思想。“技能—策略—思想”这样一个立体参照系，成为切实提升学生发展水平的关键参照系。
不仅如此，立体的参照系还被用于策划动态的教学过程，从而使教学智慧成为教师专业能力的新标志。“学生相互兼容、相互补充的发言”“在例题学习过程中，问题是策略学习的载体；在应用练习中，策略是解决问题的工具”“关键处追问”……这类体现教学智慧的话语，显示出了教师的教学能力与水平。
当然，在我个人看来，如果能发动学生相互合作（包括小组合作），并设计一些更具有整体性的课内外练习，也许更能激发学生进行有效而主动的探索。
（华东师范大学教育管理学系副教授 李伟胜）